高等數(shù)學(xué)教學(xué)中啟發(fā)式教學(xué)的認(rèn)識與應(yīng)用

李治飛

（西安建筑科技大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710055）

1 啟發(fā)式教學(xué)

啟發(fā)式教學(xué)不應(yīng)被理解為一種具體的教學(xué)方法或教學(xué)技巧，而應(yīng)是一種以啟發(fā)式為主的教學(xué)指導(dǎo)思想.凡是從學(xué)生的實際出發(fā)，能夠有效地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動性，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣及求知欲，激發(fā)學(xué)生提出問題、解決問題的熱情，引導(dǎo)學(xué)生通過自己積極的努力去獲取知識和發(fā)展能力的任何教學(xué)方法及教學(xué)手段都應(yīng)被視為啟發(fā)式教學(xué).

其宗旨是以學(xué)生為教學(xué)活動的主體，采用能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動性、創(chuàng)造性的教學(xué)方法，使學(xué)生學(xué)會思考、學(xué)會學(xué)習(xí)，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力以及提高學(xué)生專業(yè)素質(zhì)的教學(xué)目的.

啟發(fā)式教學(xué)認(rèn)為教學(xué)過程是一種雙向活動，是在教與學(xué)兩者的互動中得以實現(xiàn)的.在其過程中教師的主要責(zé)任在于誘發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生思考問題、解決問題的內(nèi)在動力以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和求知的欲望，從而使他們能夠積極主動地投入到教學(xué)活動中去.學(xué)生作為教學(xué)活動的主體，在教師的引導(dǎo)、啟發(fā)下，通過自己獨立的、積極主動的思維活動來獲取知識、提高能力.因此，啟發(fā)式教學(xué)的主要特點就是：教師僅是教學(xué)過程中的組織者、指導(dǎo)者，學(xué)生才是教學(xué)過程中的主體，一切教學(xué)活動都是以學(xué)生的需求為出發(fā)點，學(xué)生對知識的獲取能力的提高必須通過自身積極的、主動的思維活動來得以實現(xiàn).

與之相反的是注入式的教學(xué)指導(dǎo)思想，它是僅從教師的主觀愿望出發(fā)，采用“填鴨式”的教學(xué)方法，簡單地使教學(xué)變成了一堆概念、知識的羅列和注入，學(xué)生只有被動地接受和記憶.這不僅使學(xué)生對所學(xué)的內(nèi)容難以理解、消化，更主要的是它壓制了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，扼殺了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和創(chuàng)造力，阻礙了學(xué)生的全面發(fā)展.

啟發(fā)式教學(xué)對于數(shù)學(xué)課的課堂教學(xué)尤為重要.首先，這是由數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容所決定的.數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容最主要的特點是具有高度的抽象性，這種高度抽象的教學(xué)內(nèi)容使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只能在教師的指導(dǎo)下，有計劃、有組織的在課堂上進行，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)幾乎就是數(shù)學(xué)教育的唯一途徑，所以在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何采用啟發(fā)式教學(xué)直接決定著數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的高低.其次，這是由數(shù)學(xué)教學(xué)的目的所決定的.數(shù)學(xué)教學(xué)目的中最重要的就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法及應(yīng)用數(shù)學(xué)方法的能力，即“教學(xué)生學(xué)會思考”.只有采用啟發(fā)式教學(xué)，以多種形式激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和求知欲，才能使學(xué)生積極地、主動地參與到數(shù)學(xué)教學(xué)活動中去，實現(xiàn)“要我學(xué)”到“我要學(xué)”的轉(zhuǎn)變，克服對教師的依賴性，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考問題、解決問題的能力，從而使學(xué)生在學(xué)會數(shù)學(xué)知識的同時逐漸地了解、領(lǐng)悟、掌握數(shù)學(xué)的思想方法，提高思考問題、分析問題、解決問題的能力，實現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目標(biāo).

2 如何實施啟發(fā)式教學(xué)

實施啟發(fā)式教學(xué)的基本步驟是：根據(jù)學(xué)生的實際情況，按照思維流程設(shè)計相應(yīng)的啟發(fā)式問題，依據(jù)所設(shè)計好的問題啟發(fā)學(xué)生進行思考，并逐漸過渡到讓學(xué)生自己提出問題，進行自我啟發(fā).那么，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)該如何有效地實施啟發(fā)式教學(xué)呢？即在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中教師應(yīng)該如何進行有效的組織和有效的指導(dǎo)呢？筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗從備課、授課、課后作業(yè)這三個教學(xué)環(huán)節(jié)來談一些自己對實施啟發(fā)式教學(xué)的體會.

2.1 備課

如何根據(jù)每次不同的教學(xué)內(nèi)容及學(xué)生的具體情況設(shè)計授課思路、設(shè)計相應(yīng)的啟發(fā)式問題是能否有效地實施啟發(fā)式教學(xué)的關(guān)鍵所在，因此，備課就成為了整個教學(xué)過程中最重要的環(huán)節(jié).在備課的過程中應(yīng)該做好以下三個方面的工作，其一，教師對所要教授的內(nèi)容以及其在本課程中的重要性等要有著非常深刻的理解和整體上的把握，這樣才能把所授內(nèi)容處理地既簡單明確、又重點突出；其二，在設(shè)計教案時要特別注重對教學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思想方法的挖掘、整理和講解，只有不斷地、有意識地突出數(shù)學(xué)思想方法的講解，才能使學(xué)生從中逐漸地學(xué)會應(yīng)該如何思考問題、如何解決問題，進而逐漸地形成正確的數(shù)學(xué)思維方式；其三，認(rèn)真做好教案的設(shè)計工作，教案的設(shè)計可分為以下幾個部分：⑴背景介紹；數(shù)學(xué)不是一些定義、定理、公式以及大量習(xí)題的羅列和堆積，而是有血、有肉的生命體，在其發(fā)展史中有許許多多令人感動的人物和故事，每一個數(shù)學(xué)概念從產(chǎn)生到成熟都經(jīng)歷了許多人的不懈努力，作為數(shù)學(xué)教師有義務(wù)和責(zé)任把這些背景資料介紹給學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生，這些名人軼事不僅有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、調(diào)動其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動性，而且有利于消除學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的畏難情緒.⑵提出問題：根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，合理創(chuàng)設(shè)問題情景、激發(fā)學(xué)習(xí)動機是啟發(fā)式教學(xué)的關(guān)鍵，在設(shè)計問題時應(yīng)將所授內(nèi)容盡可能用一個主要問題連接起來，而且所提問題要合理恰當(dāng)、要簡明易懂，要使學(xué)生在上課開始時就明白這堂課要討論的主要問題是什么.⑶擬定解決問題的思路：對于主要問題按照數(shù)學(xué)基本思想方法，擬定解決問題最科學(xué)、最合理的方法，其內(nèi)容可包括兩個部分，其一，介紹解決問題的基本思路以及本節(jié)的主要內(nèi)容和重點所在，其二，闡述在解決問題過程中用到的主要的數(shù)學(xué)思想方法.⑷推廣與應(yīng)用：對所討論問題進行推廣，給出多種不同的形式及具體的應(yīng)用實例.（5）回顧總結(jié)：對本節(jié)課中所討論的主要問題、主要內(nèi)容以及用到的主要思想方法進行簡明的總結(jié)，以突出重點.

2.2 授課

在運用“啟發(fā)式”教學(xué)的授課過程中，教師應(yīng)把教學(xué)的重點放在問題的引入、分析以及解決的思路上，創(chuàng)造各種問題情景，鼓勵、引導(dǎo)學(xué)生進行獨立思考，使學(xué)生在獨立思考的過程中獲取所學(xué)的知識同時提高分析問題、解決問題的能力，所以在授課過程中應(yīng)注意到以下幾點：⑴要適當(dāng)?shù)靥岢鰡栴}，鼓勵學(xué)生不斷地去思考、去判斷，使教學(xué)始終在教與學(xué)的互動中進行；⑵對于所提出的問題，不要急于給出答案，要給出時間讓學(xué)生進行思考；⑶要掌握學(xué)生的實際情況，要把自己放在學(xué)生的位置上，了解他們在學(xué)習(xí)中的困難和期望所在，這樣才能進行有效地指導(dǎo)；⑷注重思想方法的挖掘、整理和講解，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式；⑸要主次分明，對主要問題、難點一定要講透、講明白，對次要問題盡量少講，甚至不講，讓學(xué)生課后自己去看.

2.3 布置課后作業(yè)

教學(xué)是由教與學(xué)這兩個部分組成的，缺一不可，僅通過課堂上的講解是不可能使學(xué)生完全理解并掌握所學(xué)內(nèi)容的，因此要重視課后練習(xí)題、思考題的布置和批改，只有通過適當(dāng)?shù)慕忸}訓(xùn)練才能使學(xué)生逐漸地理解、消化吸收所學(xué)知識，才能使學(xué)生學(xué)會如何應(yīng)用所學(xué)知識來解決具體問題.但布置的作業(yè)一定要適量、有針對性，并結(jié)合一些思考題，使學(xué)生每做一題都有所提高.另外，要鼓勵學(xué)生多總結(jié)、多思考.

3 實例

下面以“微分中值定理”的教學(xué)課為例，談一下筆者對實施啟發(fā)式教學(xué)的一些具體做法.

題目：微分中值定理

（一）問題的提出

1、主要討論的問題：當(dāng)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)時，f(x)所具有的特性是什么？

2、問題的引入

圖1

圖2

[問題情景]教師：在前面我們已經(jīng)討論過當(dāng)f(x)在[a,b]上連續(xù)時，它具有哪些性質(zhì)呢？學(xué)生：最值定理及介值定理；教師：現(xiàn)在，當(dāng)再加入“f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)”的條件后，f(x)又具有哪些特性呢（做圖1）？學(xué)生：…；教師：首先，考慮函數(shù)f(x)在[a,b]上的平均變化率是多少呢？學(xué)生：，即為直線AB的斜率KAB；教師：現(xiàn)在由于f(x)在(a,b)內(nèi)每一點處均可導(dǎo)，那么從幾何上看會有什么性質(zhì)呢？學(xué)生：f(x)在(a,b)內(nèi)每一點處均有切線；教師：因此，注意到當(dāng)動點x從A移動到B時，動點x處的切線斜率——即在點x處的瞬間變化率f'(x)一定為連續(xù)變化的，這樣在(a,b)內(nèi)每一點處的f'(x)值可不可能始終大于或小于它的平均值KAB呢？學(xué)生：不可能；教師：所以在(a,b)內(nèi)一定有一些點上的f'(x)值會大于等于它的平均值KAB，而另一些點上的f'(x)值會小于等于它的平均值KAB，并且注意到f'(x)值是連續(xù)變化的，因此至少存在一點ξ∈(a,b)，使得會f'(ξ)會如何呢？（讓學(xué)生給出結(jié)論）學(xué)生：，即在該點處切線的斜率等于KAB；教師：因此我們有以下的結(jié)論（做圖2）.

3、問題的結(jié)論

拉格郎日中值定理：設(shè)f(x)在[a.b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點ξ∈(a,b)，使f'(ξ)=

（二）如何證明拉格郎日中值定理？

【證明思路】對于拉氏定理的證明，我們將采用“一般——特殊——一般”的思想方法，首先證明拉氏定理的特例，即拉氏定理中當(dāng)f(a)=f(b)時定理成立，然后再利用“構(gòu)造輔助函數(shù)法”證明拉氏定理的結(jié)論.因此，這一節(jié)課要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容和思想方法為：

1、本節(jié)的主要內(nèi)容：⑴拉氏定理的特例——羅爾定理及其證明；⑵拉氏定理及其證明；⑶拉氏定理的推廣形式；⑷拉氏定理的應(yīng)用.

2、本節(jié)采用的思想方法：⑴一般——特殊——一般；⑵構(gòu)造輔助函數(shù)法.

（三）拉格郎日中值定理的證明

1、羅爾中值定理及其證明

羅爾定理：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則至少存在一點ξ∈(a,b)，使f'(ξ)=0.（圖3）

圖3

[問題情景]教師：為什么要先證明羅爾定理呢？即羅爾定理的證明有哪些方便之處呢？學(xué)生：…；教師：注意到在羅爾定理中要找的點ξ一定會出現(xiàn)在哪些點上呢？學(xué)生：極大、極小值點；教師：準(zhǔn)確地說ξ一定為最大值點或最小值點，為什么？學(xué)生：…；教師：首先是否存在最大值點或最小值點，為什么？學(xué)生：當(dāng)然存在，因為f(x)在[a,b]上連續(xù)；教師：其次，最值點上的導(dǎo)數(shù)值一定為…；學(xué)生：零；（羅爾定理的具體證明過程略）教師：注意到羅爾定理的條件是充分的，但不是必要的，試舉例說明（課后自己去做）.

2、拉格郎日中值定理的證明：

[問題情景]教師：如何用羅爾定理來證明拉氏定理呢？我們在用特殊形情來證明一般形情時，常用的方法就是“構(gòu)造輔助函數(shù)法”，在前面的課中我們已經(jīng)用過，在哪里用過呢？學(xué)生：用零點定理來證明介值定理時.

證明令輔助函數(shù)

因為f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則有F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，F(xiàn)(a)=F(b)=0，所以至少存在一點ξ∈(a,b)，使得F'(x)=0，即

[問題情景]教師：在證明過程中關(guān)鍵的是…；學(xué)生：如何構(gòu)造輔助函數(shù)？教師：構(gòu)造輔助函數(shù)是應(yīng)用羅爾定理的關(guān)鍵，其方法為：首先將結(jié)論化為:

（四）拉格郎日中值定理的推廣及應(yīng)用

1、推廣形式：

柯西中值定理：設(shè) h(x)，g(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且對(a,b)內(nèi)任一點 x有 g'(x)≠0，則至少存在一點ξ∈(a,b)，使

注：當(dāng)g(x)=x時，即為拉格郎日中值定理.

2、拉格郎日中值定理的應(yīng)用

題型1：證明至少存在一點ξ，使f'(ξ)滿足某一等式.

例證明柯西中值定理

分析 關(guān)鍵在于如何構(gòu)造輔助函數(shù).首先將結(jié)論化為:

適當(dāng)取C的值，使F(a)=F(b)=0.然后，F(xiàn)(x)在[a,b]上應(yīng)用羅爾中值定理即可證明柯西中值定理.

證明略

題型2：證明不等式

例證明當(dāng)x>0時，有l(wèi) n(1+x)

[問題情景]教師：如何利用中值定理證明不等式呢？學(xué)生：…；教師：中值定理討論一個在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)的特性，因此，應(yīng)用中值定理證明不等式的關(guān)鍵就在于找到一個函數(shù)f(x)及區(qū)間[a,b]，然后應(yīng)用拉氏中值定理.

證明取f(x)=l n(1+x)(x>0).因為f(x)在[0,x]上連續(xù)、可導(dǎo).所以存在 ξ∈(0，x)，使得

（五）總結(jié)

1、在證明中值定理時用到的思想方法：⑴一般——特殊——一般；⑵構(gòu)造輔助函數(shù).

2、拉格郎日中值定理的重要性.

①揭示了函數(shù)在區(qū)間兩個端點上的值與區(qū)間內(nèi)某一點上值之間的聯(lián)系.類似的定理還有牛頓—萊布尼茲定理、格林公式等.

②拉氏定理被拉格郎日本人稱為有限增量定理，這是因為當(dāng)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)時，對任一點 x∈(a,b)，f(x)在(x,x+△x)或(x+△x,x)上應(yīng)用拉格郎日中值定理，可得f(x)在x處自變量的增量△x與函數(shù)的增量△y之間的一個重要的結(jié)論：

△y=f'(ξ)△x(ξ 介于 x 與 x+△x 之間).比較微分公式：△y≈f'(x)△x，從而使學(xué)生理解到格郎日中值定理的重要性.

（六）思考題、作業(yè)（略）.

在整個講課過程中問題明確、重點突出、強調(diào)解決問題的思想方法，使學(xué)生不斷地去思考，使教學(xué)在教與學(xué)的互動中進行，同時使學(xué)生認(rèn)識到非常重要的定理可能往往來自于直觀的感覺，從而樹立發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的信心，培養(yǎng)科學(xué)的思維方法.

〔1〕周春荔，張景斌.數(shù)學(xué)學(xué)科教育學(xué)[M].北京：首都師范大學(xué)出版社,2001.1.

〔2〕徐利治.數(shù)學(xué)方法論選講[M].武漢：華中工學(xué)院出版社,1983.4.

〔3〕同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社,1996.12.