靜電場電勢零點(diǎn)選取原則的討論

邊 靜

（唐山學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 唐山063000）

電勢是靜電學(xué)中的一個重要問題，它反映了電場具有能量的性質(zhì)。在物理學(xué)中靜電場電勢零點(diǎn)選取具有任意性。但一般情況下，對于場源電荷分布在有限空間內(nèi)的靜電場的電勢零點(diǎn)選在無限遠(yuǎn)處；場源電荷分布在無限空間內(nèi)的靜電場的電勢零點(diǎn)選在有限遠(yuǎn)處。

1 電勢零點(diǎn)選取具有任意性

從物理學(xué)角度看，電勢是一個相對量，參考點(diǎn)不同，各點(diǎn)的電勢不同。參考點(diǎn)改變，雖然要影響場中各點(diǎn)的電勢值，但并不改變電場。正因?yàn)椴煌碾妱菘梢悦枋鐾浑妶?，所以物理學(xué)上允許電勢零點(diǎn)選擇的任意性［1］。

圖1 電勢分布函數(shù)圖像

2 場源電荷的分布規(guī)律對電勢零點(diǎn)選取的影響

雖然原則上電勢零點(diǎn)的選擇是任意的，但不是完全不受限制。為了能夠用電勢來描述場在各點(diǎn)的特性，它應(yīng)滿足這樣的條件，即零點(diǎn)選定后，必須使場中各點(diǎn)的電勢具有確定值才有物理意義。

2.1 場源電荷分布在有限空間

一般說來，一定帶電體系所決定的電場，其場強(qiáng)E是場點(diǎn)的函數(shù)，一般可寫成E＝，式中K是與場源電荷分布情況、場源電荷的電量大小及選擇的單位有關(guān)的比例系數(shù)，r是場點(diǎn)至帶電體或帶電體系中心的距離，er是沿r方向的單位矢量，m為整數(shù)。

電勢零點(diǎn)選在無限遠(yuǎn)時，場中任意一點(diǎn)P的電勢應(yīng)表示為

只有當(dāng)m＞1時，上式的積分結(jié)果才具有確定值，所表示的電勢才有物理意義。

帶電體系分布在有限空間時，它相當(dāng)于一系列位于原點(diǎn)的點(diǎn)電荷∑dq，電偶極子∑dqr，電四極子激發(fā)的電場［2］，而點(diǎn)電荷的場m＝2，電偶極子m＝3，電四極子m＝4，都是大于1的，所以分布在有限區(qū)域的電荷通常選無限遠(yuǎn)為電勢零點(diǎn)。

2.2 場源電荷分布在無限空間

當(dāng)場源電荷分布到無限空間時，是否就不可以選無限遠(yuǎn)為電勢零點(diǎn)呢？例如，一根無限長帶電直線，電荷線密度為λ，求離其軸線r處的電勢。

即各點(diǎn)的電勢也為無限大，無物理意義。

從以上的例子我們是否就可以得出這樣的結(jié)論：當(dāng)場源電荷分布在無限空間時就不能選無限遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)？這不能一概而論。若電荷為球?qū)ΨQ分布至無限遠(yuǎn)處，電荷體密度分布滿足

其中，r為場點(diǎn)距球?qū)ΨQ中心的距離，ρ0為一常數(shù)，n為正實(shí)數(shù)，δ為一正的小量，此時可以選擇無限遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)。推證如下。

由高斯定理知，距球?qū)ΨQ中心為r處的場強(qiáng)，當(dāng)n＝3時，

如果取無限遠(yuǎn)的電勢為零，則場中距離球?qū)ΨQ中心為rP的P點(diǎn)處的電勢，當(dāng)n＝3時為

由高等數(shù)學(xué)知識可知，如果電荷體密度函數(shù)ρ（r）當(dāng)r→∞ 時，較為高階無窮小，則以無限遠(yuǎn)為電勢零點(diǎn)，計算U值的積分結(jié)果就必然收斂，各處電勢就有確定數(shù)值，具有物理意義。即電荷體密度分布滿足的靜電場是可以取無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)的。

3 結(jié)論

綜上所述，靜電場電勢零點(diǎn)的選取原則為：

（1）場源電荷分布在有限空間，通常選取無限遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)；

［1］ 馬文蔚.物理學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2006：176－177.

［2］ 梁燦彬，秦光戎，梁竹健.電磁學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，1980：125－133.