一類脈沖系統(tǒng)最優(yōu)控制的數(shù)值計算

【摘 要】針對帶跳躍函數(shù)的脈沖系統(tǒng)最優(yōu)控制，先將最優(yōu)控制問題通過求解其梯度的方法，將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為規(guī)劃問題，然后探討利用控制參數(shù)的方法，將其其相應(yīng)的最優(yōu)參數(shù)選擇問題。

【關(guān)鍵詞】脈沖系統(tǒng) 最優(yōu)參數(shù)選擇問題 梯度公式 二次規(guī)劃問題

一、引言

上個世紀(jì)初期，隨著最優(yōu)控制理論在軍事和生產(chǎn)實踐中的不斷應(yīng)用，不同系統(tǒng)的最優(yōu)控制研究引起了很多數(shù)學(xué)家的極大興趣。而最優(yōu)控制的數(shù)值計算是最優(yōu)控制實現(xiàn)應(yīng)用的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一，但是不同的控制系統(tǒng)，其數(shù)值計算的方法各異，尤其一些帶脈沖的偏微分控制系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題的數(shù)值計算沒有統(tǒng)一固定的方法。本文嘗試通過控制參數(shù)的方法探討一類帶跳躍函數(shù)的脈沖系統(tǒng)最優(yōu)控制問題，將其轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃問題的數(shù)值計算。

二、脈沖系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)問題（P）的描述

受控系統(tǒng)為：

（1.1）

其中，是處的跳躍函數(shù)，且定義為：

； （1.2）

是滿足李普希茲和線性增長條件的函數(shù)。為了方便，定義

其目標(biāo)泛函是：

（1.3）

問題（P）就是在滿足（1.1）的前提條件下，尋找一個，使得目標(biāo)泛函達(dá)到最小值。對于問題（P）為了采用非線性數(shù)學(xué)規(guī)劃方法求解首先需要求

的梯度。令

（1.4）

對每一個固定的，設(shè)為的分段右連續(xù)函數(shù)，在上右連續(xù)，且滿足如下協(xié)態(tài)方程

（1.5）

其中為方程（1.1）對應(yīng)于參數(shù)的解。設(shè)為協(xié)態(tài)方程（1.5）的對應(yīng)于的解，則有如下的梯度公式：

定理1.1.

（1.6）

證明

給定，設(shè)中的任意向量，記，其中為一很小實數(shù)，不妨記是系統(tǒng)（1.1）對應(yīng)于的解，則有

則

即

（1.7）

而

其中為任意的，則

（1.8）

其中

代入（1.8）得

注意到

（1.9）

根據(jù)協(xié)態(tài)方程組（1.5）的左連續(xù)，的右連續(xù)性得

代入（1.9）得

由的任意性故有

三、脈沖系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)問題的計算

最優(yōu)參數(shù)選擇問題（P）的計算，就是找到一個，使得達(dá)到最小值。

如果我們?nèi)我饨o定一初始值，則由Tayler展開式有目標(biāo)泛函為：

，

其中H為的Hessian矩陣，

，

為了處理問題的方便，我們用一個正定的對稱矩陣來替代，該矩陣記為，則原來的問題就成了

，

要想使達(dá)到最小值，很顯然它等價于子問題（）

滿足

；

；

其中。這樣就將原來的問題轉(zhuǎn)化成了一個二次規(guī)劃問題。

滿足

令

即

使得

；

；

從而用二次規(guī)劃的方法解。

四、結(jié)論

由上述推導(dǎo)過程可以知道，脈沖系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)選擇問題就是對于給定的一個初始估計，求解方程（1.1），得到；再由協(xié)態(tài)方程（1.5）求得相應(yīng)的；最后利用定理1將問題（）由數(shù)學(xué)規(guī)劃的方法來求解。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡介：

羅東升，男，湖南衡陽人，遵義師范學(xué)院副教授，碩士。