極限求法探討

【摘 要】極限概念是微積分的重要概念，微積分中幾乎所有的概念都離不開極限，極限理論是微積分的基礎(chǔ)理論。極限方法是微積分中研究函數(shù)的基本方法，因此，熟練掌握極限方法是學(xué)好微積分的關(guān)鍵。本文根據(jù)筆者的教學(xué)實(shí)踐總結(jié)了求函數(shù)極限的幾種實(shí)用方法。

【關(guān)鍵詞】極限 等價(jià)無窮小 洛必達(dá)法則 泰勒公式

《高等數(shù)學(xué)》是工科大學(xué)生的必修課之一。微積分是《高等數(shù)學(xué)》的主要內(nèi)容，微積分中幾乎所有的概念都離不開極限。因此，極限概念是微積分的重要概念，極限理論是微積分的基礎(chǔ)理論。極限方法是微積分中研究函數(shù)基本方法。極限將高等數(shù)學(xué)的各個知識點(diǎn)聯(lián)系在了一起。從而，極限運(yùn)算是學(xué)生的必備基本技能。然而極限概念具有高度的抽象性，用定義本身只能求一部分簡單函數(shù)的極限。那么，怎樣才能較有效地求函數(shù)的極限呢？下面就關(guān)于求極限的方法進(jìn)行了歸納總結(jié)，以期對初學(xué)者能有所幫助。

一、利用極限的四則運(yùn)算法則求極限

這種方法主要適用于求存在極限的函數(shù)的和差積商的極限。首先要掌握常用簡單函數(shù)的極限，其次要注意驗(yàn)證是否滿足運(yùn)用法則所需條件：參加四則運(yùn)算的各函數(shù)極限必須都存在，商的情況分母的極限不能為零。若不滿足，則不能直接用法則。

例1運(yùn)用了拆項(xiàng)相消；例2還運(yùn)用了通分法，此方法主要適用于型，且?guī)в蟹质降臉O限運(yùn)算；例3還運(yùn)用了有理化，此方法主要適用于帶有根式的極限運(yùn)算，根據(jù)具體問題進(jìn)行分母（分子）有理化。

二、利用無窮小性質(zhì)求極限

三、利用重要極限

四、利用洛必達(dá)法則求極限

五、利用泰勒公式求極限

對于一些較復(fù)雜的未定式極限，為了簡化未定式的計(jì)算，我們還可以選用相應(yīng)的帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式求極限。

六、利用定積分定義求極限

由定積分定義知的值是在上的積分和數(shù)列的的極限，所以反過來可以用定積分定義求一類和式的極限。一般數(shù)列的項(xiàng)是項(xiàng)和的形式且可表示為1/n與某個可積函數(shù)在處的函數(shù)值和的乘積形式（即可表示為某個可積函數(shù)的積分和）時(shí)，可考慮用定積分定義求極限。關(guān)鍵在于根據(jù)所給和式確定被積函數(shù)以及積分區(qū)間。

七、利用冪級數(shù)的和函數(shù)求極限

當(dāng)數(shù)列是某個級數(shù)的部分和數(shù)列時(shí)，求該數(shù)列的極限就成了求相應(yīng)級數(shù)的和。而求相應(yīng)級數(shù)的和?？梢詷?gòu)造一個函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（通常為冪級數(shù)，有時(shí)為Fourier 級數(shù)），使該函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)在某點(diǎn)的值就是相應(yīng)級數(shù)的和，也就是所求數(shù)列的極限。此法的關(guān)鍵在于正確構(gòu)造函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。

八、利用級數(shù)收斂的必要條件求數(shù)列極限

以上是求極限的幾種常用的基本方法，計(jì)算極限并不是單一方法的應(yīng)用，更多的是多種方法的綜合運(yùn)用，這就需要深刻理解極限的概念，掌握各種方法所需的條件，并多做練習(xí)，不斷總結(jié)。正所謂“熟能生巧”，只有不斷練習(xí)，不斷總結(jié)才能熟練掌握極限的基本求法，為今后學(xué)習(xí)微積分及應(yīng)用奠定良好的基礎(chǔ)，并為學(xué)習(xí)其它工科知識打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

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作者簡介：1.全梅花（1962—），朝鮮族，吉林永吉人，鹽城工學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部副教授，主要從事大學(xué)工科數(shù)學(xué)教學(xué)方面的研究。2.張雪梅（1978—），漢族，江蘇豐縣人，鹽城工學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部講師，主要從事代數(shù)學(xué)方面的研究。

鹽城工學(xué)院2013年教改項(xiàng)目（文科專業(yè)高等數(shù)學(xué)課程考核方式改革與學(xué)風(fēng)建設(shè)初探）