蘇旭景
眾所周知,函數(shù)圖像的識別問題是高考中常見的題型,觀察函數(shù)圖像并能正確解讀出圖像所反映出的函數(shù)性質是“數(shù)形結合法”的基本要求,這也是“數(shù)形結合”的本質所在。
那么如何快速有效地解決此類問題呢?下面結合近幾年的高考題談一談此類問題的常用解決方法。
一、利用函數(shù)的性質解決
要注意挖掘所給函數(shù)解析式本身的隱含條件,即函數(shù)性質如定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性、周期性、正負性、極值點等,同時對于單調性不好識別的函數(shù)有時還要注意導數(shù)的應用。
例1,2013新課標(1)文第9題:函數(shù)f(x)=(1-cosx)sinx在-π,π的圖像大致為( )
解析:首先因為f(-x)=-f(x)可知函數(shù)為奇函數(shù),排除B。
其次只考慮x∈0,π的情形即可,又當x∈0,π時,f(x)≥0,于是排除A。
選項C,D的差別是單調區(qū)間或極值點位置不同,所以可以利用導數(shù)研究。
又因為f'(x)=sin■x-cos■x+cosx=-2cos■x+cosx+1,
由f'(x)=0得cosx=-■或cosx=1即x=■或x=0即為函數(shù)的極值點,故選C。
本例利用了函數(shù)的奇偶性、值域、極值(利用導數(shù))等性質。
例2,2013 福建文5:函數(shù)f(x)=ln(x■+1)的圖象大致是( )
【解析】根據(jù)函數(shù)解析式可知函數(shù)的定義域為R,故排除B選項
依題意得f(-x)=ln(x■+1)=f(x),即函數(shù)f(x)為偶函數(shù),
即函數(shù)f(x)的圖像關于y軸對稱,故排除C;
又函數(shù)的值域為點0,+∞,排除D.故選A.
本例通過利用函數(shù)的定義域、值域、奇偶性輕松解決。
二、利用特殊點和極限思想解決
求解已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖像的題目的另一有效手段是利用特殊值進行判斷,即在已知函數(shù)的圖像上選取特殊點,判斷選項中的圖像是否過這些點,若不滿足則排除;注意特殊值的選定,一要典型,能定性說明問題;二要簡單,便于推理運算。
當然有時利用函數(shù)的變化趨勢也可以進行選項的排除與篩選。
例3,2011山東:函數(shù)y=■-2sinx的圖象大致是( ).
解析:首先因為f(-x)=-f(x)可知函數(shù)為奇函數(shù),排除A。
因為f(2π)=π,排除B。
在x→+∞時,函數(shù)值選項分別趨于正無窮,排除D,故選C。
本例通過利用函數(shù)的奇偶性,特殊值,極限思想輕松解決。
三、利用圖像變換解決
例4,2012湖北6:已知定義在區(qū)間0,2上的函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示,
則y=-f(2-x)的圖像為( )
答案B。解析:f(x)與-f(2-x)的圖像的變換關系是
f(x)關于y軸對稱f(-x)向右平移2個單位長度,
f(2-x)關于x軸對稱-f(2-x)。
當然此題也可用特殊值法解決:當x=0時,y=-f(2)=-1;排除A,D。
當x=1時,y=-f(1)=-1排除C,故選B。
本例利用了函數(shù)圖像的變換或特殊值。
通過上述舉例可見,要想解決好此類識圖問題,應抓住圖像基本的特征并結合相關的性質或利用特殊值、極限思想、函數(shù)圖像變換等才能更好地識別圖像解決問題,
【責編 張景賢】