運用推理 減少運算

借助圖形或圖象進(jìn)行推理

許多數(shù)學(xué)概念都是從數(shù)和形兩方面描述的.為了減少運算，在審題和解答時，應(yīng)具備借助圖形圖象工具進(jìn)行分析和推理的意識.

在解題中，我們經(jīng)常需借助的圖形圖象工具有：韋恩圖、數(shù)軸圖——用于解決集合、不等式解集等問題；基本函數(shù)的圖象——用于分析解決函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及數(shù)列等問題；幾何性質(zhì)、幾何意義——常用于解決向量、解析幾何問題；正方體、長方體及特殊幾何體——用于研究立體幾何空間點線面的關(guān)系；樹形圖、表格——通過枚舉法研究和分析問題，等等.

點評： 解法一按部就班，先通過分類討論去絕對值符號，再分析函數(shù)的單調(diào)性，得到了f（x）的零點數(shù).解法二作出了h（x）=log0.5x與g（x）=0.5x的圖象，根據(jù)基本函數(shù)圖象的交點來推理求解.不難發(fā)現(xiàn)，根據(jù)題目所給的函數(shù)直接求解，無論是從運算量還是解題難度來說，都不如借助圖象工具進(jìn)行推理求解來得簡便.

根據(jù)數(shù)值特點進(jìn)行推理

有些題目的數(shù)值是命題人精心安排的，解題時如果能根據(jù)數(shù)值特點進(jìn)行推理，不僅有助于把握題目細(xì)節(jié)，減少干擾，更能深入問題核心，四兩撥千斤.

比如，在函數(shù)問題中判斷點是否在函數(shù)圖象上；在導(dǎo)數(shù)問題中判斷函數(shù)的零點，判斷給定區(qū)間邊界點是否為導(dǎo)函數(shù)的零點；在解析幾何問題中判斷給定點是否為曲線上的點、是否與曲線基本量有關(guān)等.

點評： 解法一和解法二都使用了數(shù)形結(jié)合法.解法一按常規(guī)思路將所求函數(shù)具體化，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的最值問題，再根據(jù)二次函數(shù)f（x），g（x）的圖象性質(zhì)求得結(jié)果.解法二結(jié)合題意，根據(jù)數(shù)值的特殊性進(jìn)行推理驗證，發(fā)現(xiàn)兩函數(shù)的頂點恰好與兩函數(shù)的交點重合，由此找到突破口，在同一坐標(biāo)系中相對準(zhǔn)確地作出了f（x），g（x）的圖象，并判斷出了A，B的具體位置，大大減少了運算量，避免了分類討論的困難.

觀察形式進(jìn)行推理

形式化的表達(dá)是數(shù)學(xué)的基本特征，在解題中關(guān)注數(shù)學(xué)形式，體會其中蘊含的數(shù)學(xué)本質(zhì)，往往對解題大有裨益.

解析幾何問題經(jīng)常需要我們觀察方程的形式和結(jié)構(gòu)特點，對是否是同一直線方程、是否為同一個一元二次方程的解、是否為同一曲線方程、是否能視為同一函數(shù)的表達(dá)式等作出判斷.

例3 [2013年高考數(shù)學(xué)廣東卷（文科）第20題第（2）問] 已知拋物線C：x2=4y，設(shè)P為直線l：x-y-2=0上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點.當(dāng)點P（x0，y0）為直線l上的定點時，求直線AB的方程.

類比①式和②式，可知A（m1，n1），B（m2，n2）均滿足方程y0=x0-y.因為P（x0，y0）為定點，且經(jīng)過A，B兩點的直線唯一，所以直線AB的方程為y0=x0-y，即x0x-2y-2y0=0.

點評： 例3含參過多，直接求解麻煩重重.觀察可知y0=x0-n1和y0=x0-n2滿足同一方程y0=x0-y，由此可得目標(biāo)方程.

尋覓題目“疏漏”進(jìn)行推理

有些選擇題和填空題在選項設(shè)置或者取值上會留下一些“疏漏”，這能讓我們避開繁雜運算，巧妙求解.

在解題中應(yīng)留意這類“疏漏”，如選擇題選項的對立與統(tǒng)一、問題中動點的特殊位置、變量取特殊值與邊界值導(dǎo)致的結(jié)果等.對于這些“疏漏”，可嘗試采用特值法或極限思想解決問題.

例4 [2011年高考數(shù)學(xué)天津卷（理科）第14題] 已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動點，則 [PA]+3 [PB]的最小值為 .

解法一（坐標(biāo)法）： 如圖6所示，以D為坐標(biāo)原點，DA所在直線為x軸、DC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系.由題意設(shè)A（2，0），再設(shè)C（0，c），P（0，y），則B（1，c）.所以 [PA]=（2，-y）， 點評： 例4的解法一用了坐標(biāo)法，雖然思路清晰，但計算相對復(fù)雜.考慮到題目的“疏漏”——未給出梯形的腰長定值，其長度具有任意性，而根據(jù)推理可知PB>BC，PA>DA，故可使用極限法，將梯形上下兩底“合二為一”，直接得出結(jié)果.例4直觀地體現(xiàn)了運用推理對減少運算量的重要作用.