“設(shè)而不求”的隱含前提

例 若過點M1

，的直線與雙曲線-y2=1的交點的中點恰好為M，問是否存在這樣的直線？若存在，求出直線方程；若不存在，說明理由.

錯解： 當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為x=1，代入-y2=1，y無解，故直線x=1與雙曲線無交點，不滿足題意.

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線與雙曲線交于A（x1，y1），B（x2，y2）.把A，B分別代入雙曲線方程可得-[y1][2]=1 （①），-[y2][2]=1 （②），①-②可得-（y1+y2）·（y1-y2）=0.因為M1

，為線段AB的中點，所以x1+x2=2，y1+y2=1，代入-（y1+y2）（y1-y2）=0可得-（y1-y2）=0，故kAB==1.又該直線過點M1

，，所以存在這樣的直線，且直線方程為y=x-.

錯因： 忽略了“設(shè)而不求”的隱含前提——交點必須存在，沒有進行驗算.

把y=x-代入雙曲線方程-y2=1，可得

-x2+x-=0，由Δ=1-4·-

·-

=-<0可知直線y=x-與雙曲線沒有交點，故所求直線不存在.答案有誤.

分析錯解，雖然我們沒有求出交點A，B的具體坐標(biāo)，只是將它們作為中間變量參與運算，并且最終消去了交點坐標(biāo)，但這并不代表交點坐標(biāo)在解題中不起作用，恰恰相反，交點坐標(biāo)全程參與了運算，如果沒有交點，運算是無法進行的. 使用“設(shè)而不求”的過程隱含了一個前提條件——交點必須存在，因此使用“設(shè)而不求”后必須進行驗算.

正解： 當(dāng)直線的斜率不存在時，由錯解可知直線x=1與雙曲線無交點，不滿足題意.

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線與雙曲線交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點.因為直線AB過點M1

，，故可設(shè)直線方程為y-=k（x-1），與雙曲線方程-y2=1聯(lián)立可得x2-（k-2k2）x-k2-k+

=0. 因為直線與雙曲線交于A，B兩點，所以Δ=-2k2-2k+>0.解得-

，為線段AB的中點，所以x1+x2==2，解得k=1.因為<1，所以k無解，這樣的直線不存在.

在求解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題時，如果不確定直線與圓錐曲線是否存在交點，可以先用“設(shè)而不求”的方法假設(shè)交點存在，再利用判別式法驗證.在求解時或求解后驗證交點是否存在均可.