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    可壓縮向列型液晶自由邊界問題整體弱解的內(nèi)正則性

    2015-10-13 05:00:48黃金銳陳宗妍鐘康梅
    關(guān)鍵詞:邊界問題液晶正則

    黃金銳,陳宗妍,鐘康梅

    ?

    可壓縮向列型液晶自由邊界問題整體弱解的內(nèi)正則性

    黃金銳,陳宗妍,鐘康梅

    (五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,廣東 江門 529020)

    討論了一維可壓縮向列型液晶系統(tǒng)的自由邊界問題在初始真空連續(xù)連接的條件下整體弱解的內(nèi)正則性.

    可壓縮向列型液晶;自由邊界;弱解;內(nèi)正則性

    1 問題簡(jiǎn)述

    本文考慮一維可壓縮向列型液晶系統(tǒng)[1-3]:

    系統(tǒng)滿足初始值:

    以及下列邊界條件:

    對(duì)上述系統(tǒng)考慮拉格朗日變換 :,,變換后可得:

    此時(shí)系統(tǒng)滿足初始值:

    以及邊界條件:

    引理1[3]1656假設(shè)初始值滿足下列條件:

    式(4~6)存在整體弱解,滿足下列正則性:

    2 本文的主要結(jié)果及其證明

    由經(jīng)典的估計(jì)方法[2]可得密度函數(shù)的正下界和上界估計(jì),即如下引理.

    證明 由式(4)1可得:

    式(4)2等式兩端在上積分,可得:

    .

    因此有:

    根據(jù)系統(tǒng)的基本能量等式,我們有:

    從而有:

    根據(jù)上述估計(jì)以及式(8),可得式(9). 另外,根據(jù)文獻(xiàn)[3]的推導(dǎo)還能得到如下引理.

    引理3[3]1658~1671關(guān)于問題(4~6)的弱解有如下先驗(yàn)估計(jì):

    下文將運(yùn)用引理2以及引理3的結(jié)論推導(dǎo)本文的主要結(jié)果. 由引理2可知,密度函數(shù)具有正下界和上界估計(jì),從而根據(jù)式(17)有:

    另外,

    因此,我們有:

    再根據(jù)Cauchy不等式以及先前的能量估計(jì),可得:

    根據(jù)式(4),可得本文主要結(jié)論如下.

    注:由于缺乏密度函數(shù)的空間方向二階導(dǎo)數(shù)的有效估計(jì),因此無法得到、以及的估計(jì).

    [1]丁時(shí)進(jìn). 液晶模型的分析理論[J]. 華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013, 45(3): 1-7.

    [2] DING Shijin, HUANG Jinrui, XIA Fengguang. A free boundary problem for compressible hydrodynamic flow of liquid crystals in one dimension [J]. J Differential Equations, 2013, 255: 3848-3879.

    [3] HUANG Jinrui, DING Shijin. Compressible hydrodynamic flow of nematic liquid crystals with vacuum [J]. J Differential Equations, 2015, 258: 1653-1684.

    [責(zé)任編輯:熊玉濤]

    Interior Regularity of Global Weak Solutions to One-dimensional Free Boundary Problem for Compressible Nematic Liquid Crystals

    HUANGJin-rui, CHEN Zong-yan, ZHONGKang-mei

    (School of Mathematics and Computational Science, Wuyi University, Jiangmen 529020, China)

    This paper deals with the interior regularity of global weak solutions to free boundary problems of the one-dimensional compressible nematic liquid crystal system which connects continuously to vacuum.

    compressible nematic liquid crystal; free boundary; weak solution; interior regularity

    1006-7302(2015)04-0001-04

    O175.25;O175.26

    A

    2015-01-12

    國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11401439);廣東省普通高校青年創(chuàng)新人才項(xiàng)目(2014KQCX162);五邑大學(xué)青年基金資助項(xiàng)目(2014zk06);廣東省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目(201511349089)

    黃金銳(1984—),男,廣東佛山人,講師,博士,主要從事偏微分方程的理論研究.

    ①此處修正了文獻(xiàn)[3]中的一處筆誤.

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