一個具階段結(jié)構(gòu)的離散時間周期模型的強(qiáng)持久性

摘 要：該文對一個具階段結(jié)構(gòu)的離散時間周期模型進(jìn)行研究，通過構(gòu)造輔助方程及一些分析、計算技巧獲得了該系統(tǒng)具有強(qiáng)持久性的一個充分條件。

關(guān)鍵詞：持久性 周期模型 半環(huán) 上極限 下極限

中圖分類號：O171 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2013）05（a）-0223-02

Zhang和Dai在文[1]中研究了如下離散系統(tǒng)：

其中均為以為周期的序列，為一給定正整數(shù).作者采用Mawhin延拓定理研究了系統(tǒng)周期正解的存在性.

本文的主要目的是研究系統(tǒng)的強(qiáng)持久性[2].結(jié)合實(shí)際生物意義，只考慮系統(tǒng)對應(yīng)于初始條件均為正值的解.為方便起見，對周期序列引入記號，，.

1 系統(tǒng)（1.1）的強(qiáng)持久性

引理2.1[3] 對初值問題（2.1）：，若

是周期序列且.則（2.1）存在以為周期的正解

引理2.2 對（1.1），若（H1）成立，則存在使得.

證明 由（1.1）的第一個式子，有

構(gòu)造輔助方程（2.3）：.由條件（H1）及引理2.1，（2.3）至少存在一個周期正解，記為.令. 則由（2.2）得由（2.3）有

.令，于是

下面分三種情形來討論：

情形1：最終為正. 則對充分大的有.于是， .

情形2：最終為負(fù).由（2.4）式，有對充分大的成立，表明是遞增序列，于是存在且.由（2.4）式，得

而故必有.于是.于是

.

故.

情形3：關(guān)于零點(diǎn)振動.由式（2.4），我們知道若那么記是所有負(fù)半環(huán)的第一個元素所組成的集合，則其也是所有負(fù)半環(huán)最小元素的集合. 那么，有

由（2.4）得

于是有.由下極限的性質(zhì)，得：

另一方面，易知，曲線與只有唯一交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，且當(dāng)時，曲線始終在上方.于是，（2.6）式要想成立，須有.（2.7）

而由（2.5）得.再由下極限性質(zhì)及（2.7）式，則

于是，有.故，

綜上三種情形，有證畢.

與引理2.2的證明類似，可有如下結(jié)論：

引理2.3 對（1.1），若（H2）成立，則存在，使得.

引理2.4 對于系統(tǒng)（1.1），存在一個正的常數(shù)，使得.

證明 由（1.1）的第二個式子有.

兩邊取倒數(shù)，并令得

構(gòu)造如下輔助方程

根據(jù)引理2.1，方程（2.9）至少存在一個周期正解.令以及

則.同時可得.令則有.（2.10）

下面分三種情形進(jìn)行討論：

情形1：最終為正.則對充分大的有于是存在.根據(jù)式（2.10），必有結(jié)合上極限的性質(zhì)，易知.

情形2：最終為負(fù).由變換得.

情形3：關(guān)于零點(diǎn)振動.由（2.10）知，當(dāng)時，有.設(shè)為所有正半環(huán)的第一個元素所組成的集合，則其也是所有正半環(huán)最大元素的集合.于是結(jié)合（2.10）式及，得

則于是那么.（這里）{.證畢.

定理 對系統(tǒng)（1.1），若條件（H1）（H2）成立，則系統(tǒng)（1.1）具有強(qiáng)持久性.

證明 取根據(jù)引理2.2—引理2.4，對系統(tǒng)（1.1）的任意解總有證畢.

參考文獻(xiàn)

[1]Zhang na，Dai binxiang，Qian xiangzheng.Periodic Solutions of A Discrete Time Stage-Structure Model[J]. Nonlinear Analysis，2007，8（1）：27-39.

[2]馬知恩.種群生態(tài)學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究[M].安徽：安徽教育出版社，2000.

[3]Fan yonghong，Li wantong.Permanence for A Delayed Discrete Ratio-Dependent Predator-Prey System with Holling Type Functional Response[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2004，299（1）：357-374.