線性相關(guān)性若干問題的分析和研究

摘要：線性相關(guān)性是線性代數(shù)的重點和難點，該文主要針對線性相關(guān)性判定，以及與線性相關(guān)性密切聯(lián)系的線性空間和線性變換的幾個重要問題，即向量組極大無關(guān)組、秩、基、維數(shù)，齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，線性空間的子空間的求法，子空間的交與和，線性變換的值域與核等問題進(jìn)行了深入細(xì)致的分析和研究。

關(guān)鍵詞：線性相關(guān) 線性無關(guān) 向量 極大無關(guān)組

中圖分類號：O1；O151文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2013）05（a）-0009-02

線性相關(guān)性[1]是線性代數(shù)的重點和難點，所涉及的內(nèi)容包括行列式、矩陣、線性方程組，并為向量組的極大無關(guān)組以及向量組的基和維數(shù)，齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系奠定了基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)高等代數(shù)[2]中線性空間、線性變換和歐氏空間的一個重要工具。對于此部分以及相關(guān)部分的學(xué)習(xí)是一個難點，它的抽象性是記憶猶新的，尤其是在學(xué)習(xí)這些部分的在校大學(xué)生也肯定體會到它們的重點和難點[3]，因此我們的確有必要對線性相關(guān)性有關(guān)的代表性問題進(jìn)行深入細(xì)微的分析及研究。本文所涉及的問題對正在學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)這部分讀者可能會有幫助，這也正是筆者所期待的。

問題1 向量組線性相關(guān)性的判定[4]方法。

對于向量組的線性相關(guān)性的判定有以下三種不同的方法：

第一：用定義判定線性相關(guān)性：

設(shè)有s個數(shù)，使取，則上述方程可化為下列方程組：若

若線性方程組（1）有非零解，則向量組線性相關(guān)；若線性方程組（1）只有零解，則向量組線性無關(guān)；

第二：用矩陣的秩判斷線性相關(guān)性：

向量組線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣的秩小于向量個數(shù)m；向量組線性無關(guān)的充分必要條件是。

第三：用行列式判斷線性相關(guān)性：

對于n個n維向量：則

行列式線性相關(guān)；

行列式線性無關(guān)；

注：（1）一般如果向量是具體的向量可以用矩陣的秩來判斷最簡單，如果含有字母且當(dāng)含向量個數(shù)和維數(shù)相同時可用行列式的方法，但有時不是具體向量組，而是向量組與向量組的關(guān)系，已知一組向量的線性相關(guān)性，來判斷另一組向量的線性相關(guān)性，則用定義。

（2）這樣分三種方法來判斷向量組的線性相關(guān)性，根據(jù)題目的類型來選擇方法，對這類問題就迎刃而解了，具體例題可以參照文獻(xiàn)[5]。

問題2求解向量組極大無關(guān)組、秩、基、維數(shù)。

對于向量組的極大無關(guān)組、基、向量組的秩之間的關(guān)系對于很多讀者來說是一個容易混淆的，分不清楚它們的聯(lián)系，也是與線性相關(guān)性緊密結(jié)合的幾個概念，所以有必要在這里提出。實際上對于向量組的極大無關(guān)組、基實質(zhì)是一樣的。向量組的極大無關(guān)組與線性相關(guān)性的關(guān)系就是向量組中找到個向量線性無關(guān)而向量線性相關(guān)，則個向量就是向量組的極大無關(guān)組，極大無關(guān)組可以作為向量空間或線性空間的基，就是向量組的秩也是向量空間或線性空間的維數(shù)。

例1 求的一個基，使其包含向量。

分析：從上面指出的基和極大無關(guān)組的關(guān)系可知，實際上是找的一個極大無關(guān)組即可，所以只需在中另外找兩個向量（一般找單位向量）只要線性無關(guān)即可。

解：令矩陣

∴構(gòu)成的一個基。

注：對于不是求解向量空間而是其它線性空間的基是較難的題型，實際上處理方式是找出線性空間的元與向量組之間的關(guān)系后在找極大無關(guān)組或基。例如證明是的一個基。實際可以轉(zhuǎn)換為向量組的關(guān)系即是向量組

是否線性無關(guān)的問題，這樣使得類似的題目變得更簡捷。

問題3 線性相關(guān)性與線性方程組的基礎(chǔ)解系的關(guān)系。

線性方程組與線性相關(guān)性是水乳交融的關(guān)系，根據(jù)線性相關(guān)性的判斷知道齊次線性方程組（1）有無非零解可判斷線性相關(guān)性，反過來求解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系實際上是求齊次線性方程組的所有解的一組基，或一個極大無關(guān)組。關(guān)于求解齊次線性方程組的方法有兩種，第一是消元法，第二是取特殊向量代入求解法。具體例子各家高等代數(shù)或線性代數(shù)教科書及相關(guān)資料均有所舉例，故而我們不再舉例。

問題4 線性相關(guān)性與求解生成子空間。

向量空間或線性空間的生成子空間對于讀者是一個很抽象的問題，怎樣求解生成子空間呢？實際上若是向量空間的生成子空間則與求向量組的極大無關(guān)組，因此求解生成子空間與線性相關(guān)性也是緊密結(jié)合的。對于不是向量空間的向量，而是矩陣、多項式作為元素的或其它的線性空間可以轉(zhuǎn)化為向量空間來求。具體可參看下面的例子：

例2 在中，求向量

生成的子空間的基與維數(shù)。

解：根據(jù)上面的分析可以得到向量組的任一極大無關(guān)組都是由它生成的子空間的基，而向量組的秩即為子空間的維數(shù)。

所以子空間的基為維數(shù)為3。

注：求生成子空間可以通過求解極大無關(guān)組，這是把抽象的問題具體化的一個體現(xiàn)，這樣使得這類問題容易解決。

問題5 線性相關(guān)性與子空間的交與和。

子空間的交與和是子空間的兩種運(yùn)算，這部分內(nèi)容也是十分抽象的，對于子空間的交與和怎樣來求解也是十分困難的。這里介紹一種方法讓讀者把抽象問題具體化。先介紹向量空間的子空間的交與和，對于一般的線性空間可以轉(zhuǎn)化為向量組來解決，具體方法如下：

假設(shè)兩個子空間，下求它們的交與和。

因為，由子空間的求法，可知和實際上是求的極大無關(guān)組。即可求出的基和維數(shù)。

對于可根據(jù)維數(shù)公式[2]得到交的維數(shù)之后，在根據(jù)基的定義，便可以求出交。

注：此方法使得求解子空間的交與和變得具體化，從而使得問題迎刃而解。具體通過求解極大無關(guān)組，所以與線性相關(guān)性緊密結(jié)合的。對于子空間的交與和，還可以先根據(jù)交的定義構(gòu)造一個齊次方程組，求出齊次方程組的基礎(chǔ)解系就知道交的基和維數(shù)，然后通過求交在通過維數(shù)公式求和，此方法相對來說復(fù)雜一些，在這里就不在說明。

問題6 線性相關(guān)性與線性變換的值域與核的關(guān)系。

線性變換的值域與核與線性相關(guān)性也有著緊密的聯(lián)系，是向量組的極大無關(guān)組和齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系求解的。具體求法可以通過下面的例子來說明：

例3設(shè)線性變換在三維線性空間V的一組基下的矩陣是，

求的值域和核。

解：值域，且的維數(shù)等于A的秩，又因為，所以求實際可以轉(zhuǎn)化為求A的列向量的極大無關(guān)組即可。

知A的列向量的極大無關(guān)組，因此的基為，所以值域。下求核：

設(shè)，它在基的坐標(biāo)是，則在基的坐標(biāo)是由，即有，即為下齊次線性方程

求解上面齊次方程的基礎(chǔ)解系為：.令，則是的一組基，所以。

注：線性變換的值域和核是抽象的概念，對于一般的線性空間可以轉(zhuǎn)化為向量空間求解，可根據(jù)例題的步驟來求解，這對廣大讀者的記憶和理解應(yīng)該來說是很有幫助的。

以上幾個問題是關(guān)于線性相關(guān)性密切聯(lián)系的問題，而線性相關(guān)性是線性代數(shù)理論以及高等代數(shù)的重要基礎(chǔ)。特別是關(guān)于線性空間和線性變換問題，在理解和求解過程首先要懂得轉(zhuǎn)化為已有的向量空間有關(guān)線性相關(guān)性知識，把抽象問題具體化，從而使得問題簡捷而明快。

參考文獻(xiàn)

[1]Lee W.Johnson，R.Dean Riess，Jimmy T.Rrnold Introduction to Linear Algebra[M].China Machine Press，2002：112-115.

[2]施武杰，戴桂生.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2005：64-69.

[3]劉學(xué)鵬.線性代數(shù)理論中兩個典型命題的正誤推論研究[J].高等數(shù)學(xué)研究，2008（6）：16-18.

[4]陳雪梅.學(xué)生怎樣理解向量的線性相關(guān)性[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2010（6）：63-67.

[5]毛綱源.線性代數(shù)解題方法技巧歸納[M].2版.武漢：華中理工大學(xué)出版社，2003：62-67.