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    波利亞“怎樣解題表”在最值問題中的應(yīng)用

    2013-12-29 00:00:00程斌
    新課程·上旬 2013年10期

    喬治·波利亞是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家,在解題方面,是數(shù)學(xué)啟發(fā)法(指關(guān)于發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律)現(xiàn)代研究的先驅(qū)。

    他在《怎樣解題》一書中給出“怎樣解題表”通過弄清問題—擬定計(jì)劃—實(shí)現(xiàn)計(jì)劃—回顧,四步呈現(xiàn)解題思維的全過程。下面通過武漢市2013年中考數(shù)學(xué)第16題的解題過程來體會(huì)和展現(xiàn)波利亞解題風(fēng)格。

    一、例題

    如圖1,E、F是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足AE=DF。連接CF交BD于點(diǎn)G,連接BE交AG于點(diǎn)H。若正方形的邊長(zhǎng)為2,則線段DH長(zhǎng)度的最小值是 。

    二、解題實(shí)踐

    1.弄清問題

    問題1:你要求解的是什么?

    (要求解的是線段的最小值)

    問題2:你有些什么?

    一方面是題目條件中給出正方形邊長(zhǎng)是2;另一方面(如圖2)由∠ABE=∠DCF=∠DAG可得∠AHB=90°。

    2.擬定計(jì)劃

    問題3:怎樣才能求得DH的取值范圍?

    (根據(jù)三角形中任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊,能否構(gòu)造出如圖3所示的△DHM,并使DM、HM可求出,則DM-HM

    問題4:怎樣才能求得DH的最小值?

    (如圖4當(dāng)D、H、M三點(diǎn)共線,且點(diǎn)H在點(diǎn)D、點(diǎn)M之間時(shí),DH最??;此時(shí)DH=DM-HM)

    3.實(shí)現(xiàn)計(jì)劃

    (如圖5,取AB中點(diǎn)M,連HM、DM,由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,可求出HM=■AB=1,由勾股定理可求出DM=■=■,則■-1tufaI9v/GJ58NH5D+k9zqAB0ggpJ0h28GLumJztIKW4=、H、M三點(diǎn)共線時(shí),DH最小值為■-1)

    4.回顧

    正確檢驗(yàn)每一步,看推理是否有效,演算是否準(zhǔn)確,再作特殊性檢驗(yàn)。如圖6,取AB中點(diǎn)M,連DM,在MD上取HM=■AB=2,則可得DH取最小值為■-1的特殊圖形。

    三、解題方法和思維策略反思

    解題方法主要是從結(jié)論出發(fā)由后往前推成立的充分條件。為了求DH的最小值,只需求DM、HM的值。為了求DM、HM的值只需找到點(diǎn)M。最后通過特殊圖形驗(yàn)證結(jié)論。在思維策略上,首先是一般性解決(策略水平上的解決),即構(gòu)造△DHM就明確了解題的總體方向;其次是功能性解決(方法水平的解決),即如何找點(diǎn)M、如何求DM、HM;最后是特殊性解決(技能水平的解決),即求出了DH的取值范圍,如何明確DH的最小值。

    四、應(yīng)用推廣

    1.如圖7,正△ABC的邊長(zhǎng)為2■,點(diǎn)C在第一象限,A、B兩點(diǎn)在x、y軸正半軸上滑動(dòng),求線段OC的最大值。

    分析:如圖8,取AB中點(diǎn)D,連CD、OD,易求CD、OD的值,則OC

    2.如圖9,∠MON=90°,在Rt△ACB中,頂點(diǎn)A、B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng),若AB=2,BC=1,在運(yùn)動(dòng)過程中求線段OC的最大值。

    分析:如圖10,取AB中點(diǎn)D,連CD、OD,易求CD、OD的值,則OC

    參考文獻(xiàn):

    [1]波利亞.怎樣解題[M].閻育蘇,譯.北京:科學(xué)出版社,1982.

    [2]羅增儒.數(shù)學(xué)解題導(dǎo)引論[M].西安:陜西師范大學(xué)出版社,1997.

    (作者單位 湖北省武漢市黃陂區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué))

    ?誗編輯 武曉紅

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