數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)的融合：HPM的理論基礎(chǔ)與實(shí)踐方式

在近幾年的數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域，HPM逐漸為人們所熟知。HPM是英文History and Pedagogy of Mathematics的縮寫，擁有兩個(gè)方面的涵義：一個(gè)是指在國(guó)際數(shù)學(xué)教育會(huì)議上專門討論數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教學(xué)融合的研究團(tuán)體[1]，一個(gè)則是指這個(gè)團(tuán)體的研究對(duì)象——數(shù)學(xué)史如何與數(shù)學(xué)融合在一起共同促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。這樣一個(gè)研究團(tuán)體從1972年第二屆數(shù)學(xué)教育會(huì)議成立以來(lái)，一直沒有間斷活動(dòng)，可見其十分重要，對(duì)其理論基礎(chǔ)和實(shí)踐策略的討論就具有重要的意義。

一、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)的融合

學(xué)者指出，數(shù)學(xué)史在我國(guó)作為一門獨(dú)立的學(xué)科在近幾十年來(lái)有了長(zhǎng)足的發(fā)展，但是數(shù)學(xué)史的研究頗有孤芳自賞的味道，很少關(guān)注社會(huì)的需要。然而，數(shù)學(xué)史學(xué)術(shù)研究的目的，最終一定要為滿足社會(huì)需要服務(wù)，包括教育需要。如何能夠讓整個(gè)數(shù)學(xué)界都來(lái)重視數(shù)學(xué)史，特別讓師生滲透到廣大數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，是一個(gè)非常重要的問題。

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)史就是研究數(shù)學(xué)生成和發(fā)展的歷史，大體上分為“內(nèi)史”和“外史”的研究[3]，“內(nèi)史”考察數(shù)學(xué)理論成果的歷史形態(tài)和歷史軌跡，包括數(shù)學(xué)成果產(chǎn)生的年代、最初的形態(tài)和后來(lái)的演變、創(chuàng)立者的貢獻(xiàn)、數(shù)學(xué)成果的傳播等，“外史”則是內(nèi)史的拓展，以考察數(shù)學(xué)發(fā)展與社會(huì)生活各方面的關(guān)系為主，包括數(shù)學(xué)發(fā)展與哲學(xué)、科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、軍事、宗教等方面的關(guān)系，數(shù)學(xué)事業(yè)的發(fā)展，數(shù)學(xué)教育等。

所謂數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)的融合，就是在數(shù)學(xué)教學(xué)中，根據(jù)教學(xué)目的和教學(xué)進(jìn)程的需要，將數(shù)學(xué)史有機(jī)地融入到教學(xué)過(guò)程中，促進(jìn)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念、方法和思想。概括來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，具有如下意義。

1.讓學(xué)生學(xué)習(xí)有文化的數(shù)學(xué)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有機(jī)地融入數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)在人類文明進(jìn)程中的產(chǎn)生、發(fā)展和影響，就會(huì)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)并非是冷冰冰的數(shù)字關(guān)系和理性思維，而是人類發(fā)展歷程的一部分，是人類璀璨文化的重要代表，從而在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的同時(shí)，獲得文化的熏陶。

2.加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、方法的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)最為基本的知識(shí)就是數(shù)學(xué)概念和方法，這些知識(shí)恰恰因?yàn)槠涑橄笮宰尯芏鄬W(xué)生對(duì)之望而卻步。在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，可以讓學(xué)生更加清楚數(shù)學(xué)概念如何經(jīng)由日常生活經(jīng)驗(yàn)上升為抽象的概念和方法，在經(jīng)歷歷史的過(guò)程中獲得知識(shí)的建構(gòu)，使抽象的數(shù)學(xué)概念和方法顯得新鮮而生動(dòng)。

3.讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)教育的目的，并不僅僅是為了讓學(xué)生掌握解題的方法，甚至也不是讓他們學(xué)會(huì)解決問題的能力，更重要的是讓他們理解數(shù)學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)學(xué)的思維方式，為他們未來(lái)的成長(zhǎng)提供有效的營(yíng)養(yǎng)。數(shù)學(xué)史深化了人們對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)特點(diǎn)與數(shù)學(xué)科學(xué)價(jià)值的認(rèn)識(shí)，揭示了數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)和數(shù)學(xué)問題在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用，因此有助于學(xué)生更加深入地理解數(shù)學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)思想，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)創(chuàng)造的思維模式。

4.提升學(xué)生興趣，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極態(tài)度。很多研究表明，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)機(jī)不高，主要原因在于其抽象性，這種抽象性讓數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生的日常生活經(jīng)驗(yàn)距離太遠(yuǎn)。在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，可以從三個(gè)方面有效地提升學(xué)生的興趣：（1）數(shù)學(xué)史本身就是人類探索的過(guò)程，故事容易為學(xué)生所接受；（2）通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)生成的歷史增強(qiáng)學(xué)生的體驗(yàn)性，增加數(shù)學(xué)知識(shí)的親近感；（3）數(shù)學(xué)家成長(zhǎng)的故事也可以很好地提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極態(tài)度。

二、PHM的理論基礎(chǔ)

雖然數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的意義如此重大，然而任何意義必須通過(guò)實(shí)踐才能夠真正實(shí)現(xiàn)，而要使實(shí)踐達(dá)致理想，則必須體會(huì)其內(nèi)在的機(jī)理，也就是要理解PHM的理論基礎(chǔ)。

1.重演法則

重演法則（recapitulation law）是生物學(xué)的一個(gè)重要概念，就是假設(shè)個(gè)體的發(fā)展會(huì)重演種系的發(fā)展，比如生物學(xué)家就觀察到，人的嬰兒在胚胎到出生這個(gè)階段重新演化高級(jí)哺乳動(dòng)物由低級(jí)動(dòng)物進(jìn)化過(guò)來(lái)的歷史。德國(guó)生物學(xué)家海克爾就認(rèn)為：遺傳和適應(yīng)是生命的兩種建設(shè)性的生理機(jī)能，而遺傳的過(guò)程就是重演的過(guò)程。他還第一個(gè)把這一生物學(xué)的法則移植到心理學(xué)領(lǐng)域：“兒童精神的發(fā)展不過(guò)是系統(tǒng)發(fā)生進(jìn)化的一個(gè)簡(jiǎn)短復(fù)制”。

運(yùn)用到數(shù)學(xué)教學(xué)上，重演法則意味著人類學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程，在某種程度上就是要重演古人數(shù)學(xué)思考和探索的過(guò)程。法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊（Henri Poincaré，1854-1921）甚至這樣說(shuō)過(guò)：“動(dòng)物學(xué)家認(rèn)為，動(dòng)物胚胎的發(fā)育還在短暫的期間內(nèi)，經(jīng)過(guò)其祖先演化過(guò)程的一切地質(zhì)年代而重演其歷史，看來(lái)思維的發(fā)展亦復(fù)如此。教育工作者的任務(wù)，就是要使兒童思想的發(fā)展踏過(guò)前人的足跡，迅速地走過(guò)某些階段，科學(xué)史應(yīng)當(dāng)是這項(xiàng)工作的指南?！?/p>

從某種意義上來(lái)說(shuō)，并沒有多少實(shí)證理論支持?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重演法則，但事實(shí)上，學(xué)生的思維總是從形象到抽象，從生活到數(shù)學(xué)，從感性到理性，這一過(guò)程正是復(fù)制人類祖先發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的過(guò)程。例如在幾何的學(xué)習(xí)上就可以生動(dòng)地體現(xiàn)重演法則。幾何學(xué)的歷史分為三個(gè)階段：無(wú)意識(shí)的幾何學(xué)、科學(xué)的幾何學(xué)、論證的幾何學(xué)。在具體的教學(xué)過(guò)程中，教師一般也是讓學(xué)生首先通過(guò)簡(jiǎn)單的工藝勞作，或是通過(guò)對(duì)自然界中的現(xiàn)象的觀察，無(wú)意中熟悉大量的幾何概念，例如點(diǎn)、線、面、角、三角形、四邊形、圓、球、圓柱、圓錐等。隨后，引導(dǎo)學(xué)生在這些感性知識(shí)的基礎(chǔ)上建立科學(xué)的幾何學(xué)，這時(shí)學(xué)生可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)（使用羅盤和標(biāo)尺，直尺和半圓儀，剪刀和漿糊，簡(jiǎn)單的模型，等等）發(fā)現(xiàn)一系列幾何事實(shí)。最后，當(dāng)學(xué)生們已經(jīng)相當(dāng)成熟時(shí)，才能夠以論證的或演繹的形式向他們講授系統(tǒng)的幾何學(xué)。在這個(gè)過(guò)程中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)越是真實(shí)地演化數(shù)學(xué)知識(shí)演進(jìn)的過(guò)程，學(xué)生對(duì)之理解得越深刻。

2.創(chuàng)生原理

創(chuàng)生原理（genetic principle）和重演法則有著密切的聯(lián)系，它具體有兩個(gè)方面的涵義：第一，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要在一定程度上重演數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史；第二，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，不是外在系統(tǒng)的、邏輯的知識(shí)強(qiáng)加給學(xué)生的過(guò)程，而是一個(gè)自然的“創(chuàng)生”過(guò)程，只有這樣，數(shù)學(xué)才能夠成為學(xué)生素質(zhì)的一部分。

和重演法則不同的是，創(chuàng)生原理并不認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程是對(duì)祖先的重演，但它認(rèn)同的是人類有著相類似的思維結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)構(gòu)成了我們思考數(shù)學(xué)的物質(zhì)基礎(chǔ)和“自然本質(zhì)”，在這個(gè)方面，我們和古人并沒有特別大的區(qū)別，既然如此，我們必然會(huì)通過(guò)重復(fù)古人的方式來(lái)學(xué)習(xí)古人歷經(jīng)艱辛所發(fā)現(xiàn)的知識(shí)。

不過(guò)，數(shù)學(xué)教育學(xué)者們強(qiáng)調(diào)，這種重復(fù)的過(guò)程，并不是把知識(shí)所謂一個(gè)既定的結(jié)果讓學(xué)生去“納入”，而是通過(guò)對(duì)發(fā)現(xiàn)過(guò)程的有限經(jīng)歷來(lái)獲得知識(shí)，從而理解知識(shí)的來(lái)龍去脈，就好像知識(shí)是他們創(chuàng)生出來(lái)一樣。

在這里，需要關(guān)注的是“有限”這兩個(gè)字，這意味著在學(xué)生的學(xué)習(xí)中，教師不應(yīng)當(dāng)讓他們重復(fù)過(guò)去的無(wú)數(shù)個(gè)錯(cuò)誤，而僅僅是重復(fù)那些關(guān)鍵性的步子。什么是關(guān)鍵性的步子？只有在在了解人類是怎樣獲得某些事實(shí)或概念的過(guò)程之后，我們才能更好地判斷我們的孩子應(yīng)當(dāng)怎樣去學(xué)習(xí)這些知識(shí)。

3.建構(gòu)主義

建構(gòu)主義發(fā)端于皮亞杰的發(fā)生認(rèn)識(shí)論，他認(rèn)為：“認(rèn)識(shí)的獲得必須用一個(gè)將結(jié)構(gòu)主義（Structurism）和建構(gòu)主義（Constructivism）緊密地連結(jié)起來(lái)的理論來(lái)說(shuō)明，也就是說(shuō)，每一個(gè)結(jié)構(gòu)都是心理發(fā)生的結(jié)果，而心理發(fā)生就是從一個(gè)較初級(jí)的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為一個(gè)不那么初級(jí)的（或較復(fù)雜的）結(jié)構(gòu)”。也就是說(shuō)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)主動(dòng)的建構(gòu)建立起自我的關(guān)于數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，而這個(gè)結(jié)構(gòu)又成為其進(jìn)一步建構(gòu)數(shù)學(xué)的中介，進(jìn)一步的建構(gòu)又不斷推動(dòng)結(jié)構(gòu)由簡(jiǎn)單走向復(fù)雜。

如果說(shuō)皮亞杰更強(qiáng)調(diào)知識(shí)本身的結(jié)構(gòu)的話，后來(lái)的建構(gòu)主義者則更強(qiáng)調(diào)學(xué)生在建構(gòu)過(guò)程中的主動(dòng)積極性，以及建構(gòu)過(guò)程中現(xiàn)實(shí)場(chǎng)域和人際互動(dòng)的作用。這些思想認(rèn)為所有的知識(shí)，都是學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)和新的知識(shí)交互作用的結(jié)果，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非是一個(gè)被動(dòng)的吸收過(guò)程，而是一個(gè)以主體已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的、在特定的場(chǎng)景中主動(dòng)的建構(gòu)過(guò)程。

建構(gòu)主義為HPM的實(shí)踐提供了必要性和可能性。首先，建構(gòu)主義表明，學(xué)生的數(shù)學(xué)建構(gòu)必須基于一定的背景，在信息豐富而又比較規(guī)則的背景下，學(xué)生建構(gòu)得最為成功。數(shù)學(xué)史通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的歷史的講述，重新復(fù)現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的典型場(chǎng)景，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)是最為有利的；其次，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)，均需建立在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上，需要通過(guò)一步一步的階梯來(lái)達(dá)到高層次的水平，數(shù)學(xué)史將數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程按邏輯地呈現(xiàn)出來(lái)，給學(xué)生就提供了這樣一個(gè)階梯；再次，數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)，也是學(xué)生自我經(jīng)驗(yàn)和先人智慧“視界融合”的過(guò)程，古人通過(guò)數(shù)學(xué)史，更充分地“表達(dá)”了自己的觀念，因此能夠讓學(xué)生獲得更好的建構(gòu)。

三、HPM視野下的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐

雖然我們理解了HPM的原理，但是這個(gè)思想究竟如何在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中運(yùn)用，依舊是一個(gè)問題。這里一個(gè)首要的問題就是數(shù)學(xué)史料如何才能夠融入到數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中。

從現(xiàn)有的實(shí)踐來(lái)看，數(shù)學(xué)史料包括三種：第一手文獻(xiàn)，也就是數(shù)學(xué)家原初在發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)所寫的筆記、著作等，如《墨子》中的關(guān)于圓的“一中同長(zhǎng)也”理論；第二手文獻(xiàn)，也就是史學(xué)家根據(jù)一手文獻(xiàn)所寫的歷史，比如編年史、問題史等；教學(xué)材料，是學(xué)科專家或者教育專家根據(jù)歷史文獻(xiàn)結(jié)合具體的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容編寫到教學(xué)材料中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容，具有很強(qiáng)的針對(duì)性。

三種不同的文獻(xiàn)，教師在運(yùn)用的時(shí)候采取的方式是不同的。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于第一手文獻(xiàn)，由于大量散見于各種文獻(xiàn)之中，并不系統(tǒng)，語(yǔ)言上往往也有一定的障礙，對(duì)于數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)運(yùn)用起來(lái)有些困難，只有對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)問題深入鉆研的時(shí)候才有應(yīng)用的價(jià)值；第二手文獻(xiàn)的好處在于它的系統(tǒng)性，能夠?qū)σ粋€(gè)數(shù)學(xué)問題或者數(shù)學(xué)概念進(jìn)行深入系統(tǒng)的梳理和分析，對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、形成和完善過(guò)程有著清晰的描繪，不過(guò)，這種文獻(xiàn)有可能與教學(xué)內(nèi)容并不配套，有些時(shí)候會(huì)過(guò)淺或者過(guò)深，需要教師有選擇地使用。至于第三種文獻(xiàn)，原則上來(lái)說(shuō)可以直接使用，但也可能教師自己的教學(xué)設(shè)計(jì)與原來(lái)的教學(xué)材料并不一致，這個(gè)時(shí)候照搬反而會(huì)形成一種限制，不如在第二手，甚至第一手資料中尋找合適的內(nèi)容。

HPM數(shù)學(xué)實(shí)踐的第二個(gè)問題就是如何將數(shù)學(xué)史有機(jī)地融入到課堂教學(xué)中，根據(jù)筆者的研究，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教學(xué)的融入，主要通過(guò)三種方式來(lái)進(jìn)行：數(shù)學(xué)史作為組織數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的依據(jù)、數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的有機(jī)構(gòu)成、數(shù)學(xué)史作為獨(dú)立的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容。

1.數(shù)學(xué)史作為組織數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的依據(jù)

在具體的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以根據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的歷史進(jìn)程進(jìn)行設(shè)計(jì)，從而讓學(xué)生能夠重復(fù)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的關(guān)鍵性步驟，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的認(rèn)識(shí)。比如在教學(xué)圓的概念時(shí)，教師通過(guò)研究數(shù)學(xué)史會(huì)發(fā)現(xiàn)，人類對(duì)圓的認(rèn)識(shí)是從生產(chǎn)實(shí)踐開始的，大約6000年前美索不達(dá)米亞人制造了第一個(gè)輪子，約4000年前，人們將木制的輪子固定在木架上，做成了最初的車子。會(huì)做圓并且對(duì)圓有了理論性的理解，則是2000年前的事情，我國(guó)的墨子就提出圓是“一中同長(zhǎng)也”，而后，為了更好地作好圓，人們又進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了圓周率，并且這一數(shù)字不斷地得到精確。在這樣的歷史長(zhǎng)河中，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)圓認(rèn)識(shí)的幾個(gè)關(guān)鍵步驟：1.圓和其他平面形狀不同；2.人們?cè)谏a(chǎn)實(shí)踐中做圓的時(shí)候開始對(duì)圓的性質(zhì)進(jìn)行追尋；3.人類在對(duì)圓的認(rèn)識(shí)中，不斷對(duì)其性質(zhì)通過(guò)數(shù)字加以精確。確定這些關(guān)鍵性的步驟之后，教師就可以根據(jù)這些步驟來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，首先讓他們對(duì)圓有感性的認(rèn)識(shí)，然后逐步讓學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”圓是“一中同長(zhǎng)”的性質(zhì)，最后再確定圓周和半徑之間的關(guān)系。在這樣的教學(xué)活動(dòng)中，雖然沒有直接給學(xué)生講授數(shù)學(xué)史，但是通過(guò)學(xué)生親歷古人數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，對(duì)圓的認(rèn)識(shí)逐步加深，在獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，也獲得把數(shù)學(xué)是生活的需要、數(shù)學(xué)是人對(duì)現(xiàn)實(shí)和自然的精確表征等數(shù)學(xué)思想。

2.數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的有機(jī)構(gòu)成

和上述策略不同，數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的有機(jī)構(gòu)成是直接把數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的進(jìn)程拿來(lái)，在課堂教學(xué)中重演，讓學(xué)生在栩栩如生的數(shù)學(xué)歷史進(jìn)行思考和創(chuàng)生，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的同時(shí)體驗(yàn)數(shù)學(xué)。比如，同樣是教學(xué)對(duì)圓的認(rèn)識(shí)，教師可以通過(guò)技術(shù)手段或者講故事的方式，再現(xiàn)古人的發(fā)現(xiàn)圓、研究圓和精確與圓有關(guān)的重要數(shù)字等過(guò)程，將學(xué)生帶入到歷史場(chǎng)景中，和美索不達(dá)米亞人一起勞動(dòng)和觀察，和木匠師傅一起做圓，和墨子一起觀察和思考，和祖沖之一起推演圓周率。

3.數(shù)學(xué)史作為獨(dú)立的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容

在一些數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以直接教學(xué)數(shù)學(xué)史而不刻意地教學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法?？梢灾苯幼霆?dú)立的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的，包括數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的故事和軼事、數(shù)學(xué)悖論、歷史名題、數(shù)學(xué)家傳記等等。通過(guò)這些內(nèi)容的教學(xué)，可以讓學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)精神、發(fā)現(xiàn)自己思維運(yùn)作的規(guī)律，雖然沒有直接教數(shù)學(xué)知識(shí)，但學(xué)生對(duì)此知識(shí)已經(jīng)有機(jī)地掌握了，并從中學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思維方式。

上述由深到淺的數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)方式，還可以有更加細(xì)致的教學(xué)策略，對(duì)這些方式和策略的把握，可以讓教師的數(shù)學(xué)課堂充滿文化和生命的活力，充滿邏輯和理智的思考，從而不斷促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)的深入發(fā)展。

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