綜合測試（4）

一、選擇題：每小題5分，共25分.

1. 一圓形紙片的圓心為點O，點Q是圓內(nèi)異于O點的一定點，點A是圓周上一點. 把紙片折疊使點A與點Q重合，然后展平紙片，折痕與OA交于P點. 當(dāng)點A運動時點P的軌跡是（ ）

A. 圓 B. 橢圓

C. 雙曲線？搖？搖？搖？搖？搖 D. 拋物線

2. 設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線C：■-■=1（a>0，b>0）的焦點，A，B分別為雙曲線的左、右頂點，以F1F2為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為M，且滿足∠MAB=30°，則該雙曲線的離心率為（ ）

A. 2 B. ■

C. ■ D. ■

3. 已知點P是橢圓■+■=1（a>b>0）上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，I是△PF1F2的內(nèi)心，若S■+S■=λS■成立，則λ的值為（ ）

A. ■B. ■

C. ■ D. ■

4. 已知拋物線y2=2px（p>0），過點E（m，0）（m≠0）的直線交拋物線于點M，N，交y軸于點P，若■=λ■，■=μ■，則λ+μ等于（ ）

A. 1 B. ■ C. -1 D. -2

5. 在拋物線y2=4x上有A，B兩點，點F是拋物線的焦點，O是坐標(biāo)原點，若■+2■+3■=0，則直線AB與x軸交點的橫坐標(biāo)為（ ）

A. 1 B.？搖■ C. 6 D. ■

二、填空題：每小題5分，共15分.

6. 過拋物線x2=4y焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則■+■的取值范圍是______.

7. 若點P在曲線C1：■-■=1上，點Q在曲線C2：（x-5）2+y2=1上，點R在曲線C3：（x+5）2+y2=1上，則PQ-PR的最大值是______.

8. 設(shè)雙曲線■-■=1（a>b>0）的右焦點為F，過點F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A，B兩點，與雙曲線的其中一個交點為P，設(shè)O為坐標(biāo)原點，若■=m■+n■（m，n∈R且m>n），且mn=■，則該雙曲線的離心率為______.

三、解答題：每小題15分，共60分.

9. 如圖1，過拋物線C1：y=■x2-2的頂點A作兩條斜率之積為-■的直線，與拋物線交于另兩點P，Q，直線PQ（PQ與x軸不垂直）與橢圓C2：■+x2=1相交于點M，N.

■

圖1

（1）若直線PQ與y軸交于T（0，t），求t的值；

（2）若PQ，AM，AN的斜率分別為k，k1，k2，且k>0，求■-■-■的最小值.

10. 如圖2，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓■+y2=1（a>1）的左、右焦點，若橢圓上存在一點M滿足■·■=0.

■

圖2

（1）求a的最小值；

（2）設(shè)A（0，1），B（0，-1），過橢圓的右頂點C的直線l與橢圓交于D（點D不同于點C），交y軸于點P（點P不同于坐標(biāo)原點O），直線AD與BC交于點Q，當(dāng)a取最小值時，判斷■·■是否為定值，并證明你的結(jié)論.

11. 如圖3，設(shè)點P為圓C1：x2+y2=2上的動點，過點P作x軸的垂線，垂足為Q. 動點M滿足■■=■（其中P，Q不重合）.

（1）求點M的軌跡C2的方程；

（2）過直線x=-2上的動點T作圓C■的兩條切線，設(shè)切點分別為A，B. 若直線AB與（1）中的曲線C2交于C，D兩點，求■的取值范圍.

■

圖3

12. 如圖4，已知拋物線y=x2，直線l過點A（-1，2），但不經(jīng)過點B（1，1），與拋物線交于M，N兩點，點M的橫坐標(biāo)大于1，直線l的斜率為k，直線BM，BN的斜率分別為k1，k2.

（1）當(dāng)AB⊥l時，求k1·k2的值；

（2）設(shè)△BAM和△BAN的面積分別為S1，S2，當(dāng)k≤1時，求■的取值范圍.

■

圖4