三角函數(shù)與其他

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命題者常常結(jié)合其他知識點來考查三角函數(shù)，運用多個知識點之間的交叉、滲透和組合出題，具有基礎(chǔ)性和綜合性，題型可大可小，難易程度忽高忽低.

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解答這種類型的綜合題不僅需要同學(xué)們熟練掌握好三角函數(shù)中的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法，而且還要熟練掌握相關(guān)結(jié)合知識點的內(nèi)容，然后分別考慮題目中三角函數(shù)的特點與其他知識點，采取各個突破的策略.

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■ 命題“若α=■，則tanα=1”的逆否命題是（ ）

A. 若α≠■，則tanα≠1

B. 若α=■，則tanα≠1

C. 若tanα≠1，則α≠■

D. 若tanα≠1，則α=■

破解思路 本題屬于容易題，命題“若p，則q”的逆否命題的格式是“若？劭q，則？劭p”，故可寫出命題“若α=■，則tanα=1”的逆否命題.

經(jīng)典答案 因為“若p，則q”的逆否命題為“若？劭p，則？劭q”，所以“若α=■，則tanα=1”的逆否命題是“若tanα≠1，則α≠■”. 選C.

■ 某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù).

①sin213°-sin13°cos17°+cos217°；

②sin215°-sin15°cos15°+cos215°；

③sin218°-sin18°cos12°+cos212°；

④sin2（-18°）-sin2（-18°）cos48°+cos248°；

⑤sin2（-25°）-sin2（-25°）cos55°+cos255°.

（1）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；

（2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論.

破解思路 （1）選擇一個容易求解的式子求出常數(shù)即可.

（2）推廣，得到三角恒等式sin2α-sinαcos（30°-α）+cos2（30°-α）=■.

證明方法一：直接利用兩角差的余弦公式代入等式的左邊，化簡可得結(jié)果.

證明方法二：利用半角公式及兩角差的余弦公式把要求的式子化為■+■-sinα·（cos30°cosα+sin30°sinα），即1-■+■cos2α+■sin2α-■sin2α-■，化簡可得結(jié)果.

經(jīng)典答案 選擇②，計算如下：sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-■·sin30°=■，故這個常數(shù)為■.

（2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣，得到三角恒等式sin2α-sinαcos（30°-α）+cos2（30°-α）=■.

法1：sin2α-sinαcos（30°-α）+cos2（30°-α）=sin2α+■cosα+■sinα■-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin2α+■cos2α+■sin2α+■sinαcosα-■sinα·cosα-■sin2α=■sin2α+■cos2α=■.

法2：sin2α-sinαcos（30°-α）+cos2（30°-α）=■+■-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=1-■+■cos2α+■sin2α-■·sin2α-■= 1-■-■+■=■.

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運用物理中矢量運算及向量坐標(biāo)表示與運算，我們知道：若兩點等分單位圓時，有相應(yīng)關(guān)系為：sinα+sin（π+α）=0，cosα+cos（π+α）=0. 由此可以推知：

（1）三等分單位圓時的相應(yīng)關(guān)系為：___________________；

（2）n等分單位圓時的相應(yīng)關(guān)系為：______________.