三角函數(shù)與函數(shù)

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三角函數(shù)與函數(shù)交匯的試題是近兩年?？碱}型，主要以選擇題形式呈現(xiàn)，用來考查轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力，難度較大.

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解答三角函數(shù)與函數(shù)交匯的試題時(shí)，需要充分運(yùn)用三角函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性，并結(jié)合函數(shù)性質(zhì)的定義進(jìn)行討論；要盡量作出所要求函數(shù)的示意圖，從數(shù)形結(jié)合的角度考慮問題會(huì)更直觀.

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■ 函數(shù)y=■的圖象大致為（ ）

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A B

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C D

破解思路 本題應(yīng)從奇偶函數(shù)圖象的對稱性和極限思想的角度來排除選項(xiàng). 由于函數(shù)y=■為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可排除A，利用極限思想（如當(dāng)x→0+時(shí)，y→ +∞）可排除B，C，從而得到答案D.

經(jīng)典答案 令y=f（x）=■，因?yàn)閒（-x）=■=-■=-f（x），所以函數(shù)y=■為奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可排除A；又當(dāng)x→0+時(shí)，y→+∞，故可排除B；當(dāng)x→ +∞時(shí)，y→0，故可排除C；而D均滿足以上分析. 故選D.

■ 設(shè)函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x3. 又已知函數(shù)g（x）=xcos（πx），則函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）在-■，■上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）

？搖A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

破解思路 利用函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的解析式，求出x∈0，■，x∈■，■時(shí)，g（x）的解析式，推導(dǎo)出f（0）=g（0）， f（1）=g（1），g■=g■=0，畫出函數(shù)的草圖，判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可.

經(jīng)典答案 因?yàn)楫?dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x3.又當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，2-x∈[0，1]，所以f（x）= f（2-x）=（2-x）3.當(dāng)x∈0，■時(shí)，g（x）=xcos（πx）；當(dāng)x∈■，■時(shí)，g（x）=-xcos（πx）. 注意到函數(shù)f（x），g（x）都是偶函數(shù)，且f（0）=g（0）， f（1）=g（1）=1，g■=g■=0，作出函數(shù)f（x）和g（x）的草圖（如圖1），函數(shù)h（x）除了0，1這兩個(gè)零點(diǎn)之外，分別在區(qū)間-■，0，0，■，■，1，1，■上各有一個(gè)零點(diǎn)，共有6個(gè)零點(diǎn)，故選B.

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圖1

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已知函數(shù)f（x）=4x3-3x2sinθ+■的極小值大于零，其中x∈R，θ∈[0，π].

（1）求θ的取值范圍；

（2）若在θ的取值范圍內(nèi)的任意θ，函數(shù)f（x）在區(qū)間（2a-1，a）內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.