三角函數(shù)與平面向量

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三角函數(shù)與平面向量交匯的試題屢見不鮮，頗為流行，呈現(xiàn)方式可大（解答題）可小（填空題和選擇題）. 若是小題，一般難度不大，主要考查基本概念和基本公式，是送分題；若是大題，則對基本公式的理解記憶能力、變形能力、運(yùn)算能力等提出了一定的要求.

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解答三角函數(shù)與平面向量交匯的試題時(shí)，一定要熟悉向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，合理選用向量數(shù)量積的運(yùn)算法則構(gòu)建相關(guān)等式，然后運(yùn)用與此相關(guān)的三角函數(shù)知識點(diǎn)進(jìn)行解題，并要注意方程思想的運(yùn)用.

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■ 已知向量a=（cosωx-sinωx，sinωx），b=（-cosωx-sinωx，2■·cosωx），設(shè)函數(shù)f（x）=a·b+λ（x∈R）的圖象關(guān)于直線x=π對稱，其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈■，1.

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；

（2）若已知y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)■，0，求函數(shù)f（x）在區(qū)間0，■上的取值范圍.

破解思路 先通過向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，整理、化簡成單一三角函數(shù)表達(dá)式f（x）=2sin2ωx-■+λ. 然后代入對稱軸方程x=π，求出ω；再根據(jù)三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+B的周期公式T=■求解第（1）問. 對于第（2）問，代入點(diǎn)■，0求出λ，得到三角函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=2sin■x-■-■，再根據(jù)x的取值范圍求出函數(shù)f（x）的取值范圍.

經(jīng)典答案 （1）由已知得f（x）=sin2ωx-cos2ωx+2■sinωx·cosωx+λ=-cos2ωx+■sin2ωx+λ=2sin2ωx-■+λ.

由直線x=π是y=f（x）圖象的一條對稱軸，可得sin2ωx-■=±1，所以2ωπ-■=kπ+■（k∈Z），即ω=■+■（k∈Z）. 又ω∈■，1，k∈Z，所以k=1，故ω=■. 所以f（x）的最小正周期是■.

（2）由y=f（x）的圖象過點(diǎn)■，0，得f■=0，即λ=-2sin■×■-■= -2sin■=-■，即λ=-■. 故f（x）=2sin■x-■-■，由0≤x≤■，有-■≤■x-■≤■，所以 -■≤sin■x-■≤1，得-1-■≤2sin■x-■-■≤2-■，故函數(shù)f（x）在0，■上的取值范圍為[-1-■，2-■].

■ 在△ABC中，已知■·■=3■·■.

（1）求證：tanB=3tanA；

（2）若cosC=■，求A的值.

破解思路 （1）先通過向量數(shù)量積的符號運(yùn)算，將■·■=3■·■化成AB·AC·cosA=3BA·BC·cosB，再根據(jù)正弦定理和同角三角函數(shù)關(guān)系式證明.

（2）由cosC=■，可求tanC，由三角形的三角關(guān)系，得到tan[π-（A+B）]，從而根據(jù)兩角和的正切公式和第（1）問的結(jié)論即可求得A的值.

經(jīng)典答案 （1）因?yàn)椤觥ぁ?3■·■，所以AB·AC·cosA=3BA·BC·cosB，即AC·cosA=3BC·cosB. 由正弦定理，得■=■，所以sinB·cosA=3sinA·cosB. 又00，cosB>0. 所以■=3·■，即tanB=3tanA.

（2）因?yàn)閏osC=■，00，所以tanA=1，所以A=■.

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1. 已知在銳角三角形ABC中，三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，兩向量p=（2-2sinA，cosA+sinA），q=（sinA-cosA，1+sinA），若p與q是共線向量，則角A的大小為______.

2. 已知向量a=cos■x，sin■x，b=cos■，-sin■，x∈0，■.

（1）用x的式子表示：a·b及a+b；

（2）求函數(shù)f（x）=a·b-4a+b的值域.