數(shù)列與不等式

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不等式知識(shí)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，也是大學(xué)學(xué)習(xí)的接軌點(diǎn)，深受命題人的喜愛，以至于高考對(duì)數(shù)列與不等式綜合方面的考查，頻頻見于卷面，且多以壓軸題的形式出現(xiàn)，但相較前幾年，其出現(xiàn)的頻率有所減弱.

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正確進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化是破解該類題型的關(guān)鍵. 一方面是將不等式問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列通項(xiàng)放縮問題，另一方面是將數(shù)列不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題. 當(dāng)然，掌握如作差法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、構(gòu)造函數(shù)法等常規(guī)方法是非常必要的.

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■ 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，滿足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N？鄢，且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列.

（1）求a1的值；？搖

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；？搖

（3）證明：■+■+…+■<■.

破解思路 本題的命題思路是清晰的，首先考查由遞推公式求通項(xiàng)公式的基本技能，然后考查數(shù)列求和，以及與不等式的綜合應(yīng)用. 因此，我們只要跟著命題者的思路進(jìn)行推理和運(yùn)算即可，及時(shí)聯(lián)想備考過程中曾經(jīng)做過的試題所采用的解決方法.

經(jīng)典答案 （1）因?yàn)?Sn=an+1-2n+1+1，所以2S1=a2-3，即a2=2a1+3；2S2=a3-7，即a3=6a1+13.

因?yàn)閍1，a2+5，a3成等差數(shù)列，所以2（2a1+3+5）=a1+6a1+13，即a1=1.

（2）因?yàn)?Sn=an+1-2n+1+1，所以當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn-1=an-2n+1，所以2Sn-2Sn-1=an+1-an-2n，即an+1=3an+2n（n≥2）.

因?yàn)閍1=1，a2=5，所以當(dāng)n=1時(shí)，an+1=3an+2n也成立.

因?yàn)閍n+1+2n+1=3（an+2n），所以{an+2n}是以3為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，所以an+2n=3n，an=3n-2n.

（3）法1：因?yàn)閍n=3n-2n=3n-1+2×3n-1-2n=3n-1+2×（3n-1-2n-1）>3n-1，所以■<■，所以■+■+…+■<■+■+…+■=■1-■<■.

法2：因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí)，an=3n-2n=（2+1）n-2n，an=C■■20+C■■21+C■■22+…+C■■2n-2n>C■■22=2n（n-1），所以■<■=■■-■，所以■+■+…+■<■+■■-■+■-■+…+■-■=1+■1-■<■.

■ 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=■，試證明：a1·a3·a5·…·a2n-1<■<■sin■.

破解思路 該題簡(jiǎn)明扼要，但所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法卻精彩紛呈. 對(duì)于a1·a3·a5·…·a■<■，我們可以抓住■，轉(zhuǎn)換為n項(xiàng)的乘積；對(duì)于■<■sin■，我們可以借助函數(shù)知識(shí)破解.

經(jīng)典答案 先證a1·a3·a5·…·a■<■. 因?yàn)椤?■=■，所以■=■×■×■×…×■.

因?yàn)閍1·a3·a5·…·a■=■×■×…×■，故要證a1·a3·a5·…·a■<■，只要證■<■.

又因?yàn)椤觥?■■=■<0，故■<■，所以a1·a3·a5·…·a■<■.

再證■<■sin■.

要證■<■sin■，只要證■<■sin■.

設(shè)函數(shù)f（x）=x-■sinx（0

因?yàn)?<■≤■<■，所以■<■sin■，所以■<■sin■.

綜上所述，原不等式成立.

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設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意n∈N？鄢，都有a■■+a■■+a■■+…+a■■=S■■，其中Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.

（1）求a1，a2，a3，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)bn=3n+（-1）n-1λ2■（λ為非零整數(shù)，n∈N？鄢），求λ的值，使得對(duì)任意n∈N？鄢，都有bn+1>bn成立.