數(shù)列與函數(shù)

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分析近幾年高考數(shù)列試題，不難發(fā)現(xiàn)，許多數(shù)列不等式問題、最值問題、恒成立問題和探究性問題，實質考查同學們的問題轉化能力，將數(shù)列問題轉化為函數(shù)問題，然后借助導數(shù)工具，達到解決問題的目的，其思維過程是“數(shù)列問題？圮函數(shù)問題？圮導數(shù)問題”.

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數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，將單調性、最值、周期、對稱性及分類思想應用到數(shù)列中自然是情理之事. 數(shù)列與函數(shù)的綜合，主要體現(xiàn)在將數(shù)列問題轉化為函數(shù)問題，充分利用函數(shù)性質進行解答，這往往需要同學們養(yǎng)成良好的運用函數(shù)解題的思維習慣，主動構造函數(shù)，借助導數(shù)等工具解答.

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■ 給定數(shù)列{an}，若滿足a1=a（a>0且a≠1），對于任意的n，m∈N？鄢，有an+m=an·am，則稱該數(shù)列為指數(shù)數(shù)列.

（1）定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（x）f（y）=f（x+y），當x>0時，f（x）>1，若數(shù)列{an}滿足a1=2，f（an+1）=■（n∈N？鄢），試證明數(shù)列{an}是指數(shù)數(shù)列.

（2）若數(shù)列{an}是指數(shù)數(shù)列，a1=■（t∈N？鄢），

①當n≥2，n∈N時，求證：an>1-■；

②求證：數(shù)列{an}的任意三項都不構成等差數(shù)列.

破解思路 該題模仿指數(shù)函數(shù)，定義了指數(shù)數(shù)列，這類試題的特點是給出了中學數(shù)學內容中沒有遇到過的新知識，它可以是新的概念、新的定義、新的定理或新的規(guī)則、新的情景. 解決這類題目首先要讀懂新概念，理解新情景，獲取有效信息，然后根據(jù)這個新知識作進一步演算或推理，綜合運用新的信息和數(shù)學知識，分析、解決新情景問題. 第（1）問的突破口是探究抽象函數(shù)y=f（x）的單調性，從而脫去符號“f”，得出數(shù)列{an}的遞推關系；第（2）問的突破口是數(shù)學歸納法和反證法.

經(jīng)典思路 （1）因為f（x）f（y）= f（x+y），故有f（0）f（1）=f（1）.

又當x>0時，f（x）>1，故f（1）≠0，所以f（0）=1>0；

當x<0時，-x>0，由f（x）f（-x）= f（0），得f（x）=■>0.

所以對于任意實數(shù)x，f（x）>0恒成立.

任取x1，x2∈R，且x10，因為f（x2）-f（x1）=f[x1+（x2-x1）]- f（x1）=f（x1）[f（x2-x1）-1]>0，所以f（x2）>f（x1），故函數(shù)y=f（x）在R上單調遞增.

因為f（an+1）=■，所以f（an+1-2an）=f（0），所以an+1-2an=0，即an+1=2an，數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an=2n. 顯然對于任意的n，m∈N？鄢，恒有an+m=an·am，而且a1=2，所以數(shù)列{an}是指數(shù)數(shù)列.

（2）因為數(shù)列{an}是指數(shù)數(shù)列，故對于任意的n，m∈N？鄢，有an+m=an·am，所以令m=1，則an+1=an·a1=■an，所以{an}是公比為■，首項為■的等比數(shù)列，故an=■■.

①證明（用數(shù)學歸納法證明）：

當n=2時，左邊=■■=1-■■>1-■=右邊，不等式成立.

假設當n=k（k∈N？鄢，k≥2）時，不等式成立，即a■>1-■.

因為ak+1=■■=■■·■=ak·1-■，所以ak+1>1-■·1-■>1-■，所以當n=k+1時，不等式也成立.

綜上所述，當n≥2，n∈N時，不等式都成立.

②假設數(shù)列{an}中存在三項au，av，aw構成等差數(shù)列，不妨設au>av>aw，則u

因為2av=au+aw，即2·■■=■■+■■，所以2·（t+4）w-v（t+3）v-u=（t+4）w-u+（t+3）w-u （？鄢）.

當t是偶數(shù)時，2·（t+4）w-v（t+3）v-u是偶數(shù)，（t+4）w-v是偶數(shù)，（t+3）v-u是奇數(shù)，所以2·（t+4）w-v（t+3）v-u≠（t+4）w-u+（t+3）w-u不成立；

當t是奇數(shù)時，2·（t+4）w-v（t+3）v-u是偶數(shù)，（t+4）w-v是奇數(shù)，（t+3）v-u是偶數(shù)，所以2·（t+4）w-v（t+3）v-u≠（t+4）w-u+（t+3）w-u不成立.

所以任意t∈N？鄢，2·（t+4）w-v（t+3）v-u=（t+4）w-u+（t+3）w-u不成立，這與（？鄢）式矛盾，

所以假設不成立，故數(shù)列{an}的任意三項都不構成等差數(shù)列.

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已知函數(shù)f■（x）=■+■（其中n為常數(shù)，n∈N？鄢），將函數(shù)f■（x）的最大值記為an，由an構成的數(shù)列{an}的前n項和記為Sn.

（1）求Sn；

（2）若對任意的n∈N？鄢，總存在x∈（0，+∞）使■+a=an，求a的取值范圍；

（3）比較■+f■（en）與an的大小，并加以證明.