數(shù)列與解析幾何

從近幾年數(shù)列高考試題來看，命題形式呈現(xiàn)多樣化，思維角度呈現(xiàn)復(fù)雜化，其中一種模式就是站在解析幾何的基礎(chǔ)上，考查數(shù)列建模能力和應(yīng)用能力，問題解決甚至還需要借助函數(shù)知識(shí)，這就需要同學(xué)們其有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)綜合能力. 此部分內(nèi)容在客觀題或解答題中都有可能出現(xiàn)，但總體難度不大.

數(shù)列與解析幾何的綜合，往往從探究數(shù)列遞推關(guān)系開始，其歷程往往是“探尋遞推公式→演變成通項(xiàng)公式→①數(shù)列前n項(xiàng)和的研究；②通項(xiàng)公式的延續(xù)拓展”，所以其突破口是要探究點(diǎn)與點(diǎn)的關(guān)系，挖掘數(shù)列的遞推關(guān)系.

■

■ 如圖1所示，B1，B2，B3，…，Bn，…順次為曲線y=■（x>0）上的點(diǎn)，A1，A2，A3，…，An，…順次為x軸上的點(diǎn)，且△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An-1BnAn…均為等腰直角三角形（其中B1，B2，B3，…，Bn，…為直角頂點(diǎn)），設(shè)An的坐標(biāo)為（xn，0）（n∈N？鄢）.

（1）求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)Sn為數(shù)列■的前n項(xiàng)和，試證明：Sn>■-1.

破解思路 第（1）問的突破口是探尋數(shù)列{xn}的遞推關(guān)系，即xn與xn+1的關(guān)系，探究過程是“xn與xn+1的關(guān)系”←“An與An+1的聯(lián)系”←“借助Bn+1，An與An+1的關(guān)系，形成三角關(guān)系鏈”.

第（2）問的突破口是靈活運(yùn)用拆分構(gòu)造法或裂項(xiàng)求和法，牢牢地抓住數(shù)列通項(xiàng)進(jìn)行放縮求解.

拆分構(gòu)造法：因?yàn)椤?1=（■-■）+（■-■）+…+ （■-1），所以要證Sn>■-1，即證■>■-■.

說明：常見的還有積的拆分，例如■=■·■·…·■×■等.

裂項(xiàng)求和法：■=■>■=■-■.

說明：常見的裂項(xiàng)技巧還有■=■-■，■=■■-■，■=■■-■，■=■-■，■>■=■-■，■<■=■-■，■=■-■，n·n！=（n+1）！-n！.

經(jīng)典答案 （1）由y=■（x>0）且y=x得點(diǎn)B1的坐標(biāo)是（1，1），所以x1=x■+y■=2.

因?yàn)橹本€AnBn+1的方程為y=x-xn，聯(lián)立y=■（x>0），得點(diǎn)Bn+1的坐標(biāo)■，■.

所以xn+1=x■+y■=■，即x■■-x■■=4，所以x■■=4+4（n-1）=4n，所以xn=2■或 -2■（舍去）.

（2）根據(jù)（1）可得■=■>■=■-■，所以Sn=■+■+…+■>（■-■）+（■-■）+…+（■-■）=■-1.

說明：探究問題的變式可以開闊眼界，拓展思維.此問可以變?yōu)椤氨容^log■（Sn+1）與■log■（n+1）的大?。ㄆ渲衋>0且a≠1）”.

■

如圖2，△OBC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，0），（1，0），（0，2），設(shè)P1為線段BC的中點(diǎn)，P2為線段CO的中點(diǎn)，P3為線段OP1的中點(diǎn)，對于每一個(gè)正整數(shù)n，Pn+3為線段PnPn+1的中點(diǎn). 令Pn的坐標(biāo)為（xn，yn），an=■yn+yn+1+yn+2.

（1）求a1，a2，a3及an；

（2）證明：y■=1-■，n∈N？鄢；

（3）若記b■=y■-y■，n∈N？鄢，證明：{bn}是等比數(shù)列.