函數(shù)與導數(shù)

高考中對函數(shù)與導數(shù)的交匯考查非常全面，所占的分值也較高，既有基礎題，也有綜合題. 縱觀近幾年各地的高考數(shù)學試卷，理科試題的壓軸題多數(shù)是導數(shù)與函數(shù)的綜合問題，其中的最后一小題往往難度較大；文科的倒數(shù)第二題通常是函數(shù)與導數(shù)的綜合問題，也具有一定的挑戰(zhàn)性.

（1）要熟悉運用導數(shù)研究函數(shù)性質的基本程序：先求出函數(shù)的定義域，再求其導函數(shù)，確定導函數(shù)的零點，由此可得函數(shù)的單調性及極值（或最值）.

（2）對于含參變量的最值問題，特別要注意分類討論的思想方法的應用.

（3）對于比較陌生的創(chuàng)新問題要注意等價轉化思想的應用，若能化歸為熟悉的基本問題，則離成功就不遠了.

（4）若試題中有若干個小題，則要特別注意前后小題之間的聯(lián)系，要有利用前面小題的結論解決后面小題問題的意識.

■ 已知函數(shù)f（x）=ln2（1+x）-■.

（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；

（2）若不等式1+■■≤e對任意的n∈N？鄢都成立（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），求α的最大值.

破解思路 對于第（1）問，把求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間的問題化歸為解關于x的不等式f ′（x）>0. 如果對所得到的不等式f ′（x）>0不是很熟悉，那么也可以通過已知不等式構造函數(shù)，再由其導數(shù)確定函數(shù)的單調性，然后利用函數(shù)的單調性求出不等式的解，即借用函數(shù)的思想方法解決不等式問題.

對于第（2）問，由已知不等式恒成立，求參數(shù)α的取值范圍，最常用的方法是運用分離變量法，把問題化歸為求函數(shù)的最值問題. 在具體操作過程中，要注意通過構造函數(shù)，利用其導數(shù)研究單調性，再由其單調性求最小值的“解題套路”的應用；并要關注前后小題之間的聯(lián)系，即在解決后面的問題時要有意識地運用前面題目所得的結論.

經(jīng)典答案 （1）易知函數(shù)f（x）的定義域是（-1，+∞）， f ′（x）=■-■=■.

f ′（x）>0？圳2（1+x）ln（1+x）-（x+1）2+1>0（其中x+1>0）？圳2ln（1+x）-（x+1）+■>0（其中x+1>0）.

令g（x）=2ln（1+x）-（x+1）+■（其中x+1>0），則g ′（x）=■-1-■=■. 所以x+1>0時，g ′（x）≤0，所以g（x）是（-1，+∞）上的減函數(shù).

由于g（0）=0，所以f ′（x）>0？圳g（x）>0？圳-10. 故函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（-1，0），單調遞減區(qū)間為（0，+∞）.

（2）由于1+■■≤e？圳（n+α）·ln1+■≤1？圳α≤■-n. 若令h（x）=■-■，x∈（0，1]，則可得h′（x）=-■+■=■ln2（1+x）-■=■· f（x）.

由（1）可知：x∈（0，1]時， f（x）

■

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）.

（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；

（2）若函數(shù)f（x）的圖象在x=4處切線的斜率為■，且函數(shù)g（x）=■x3+x2f ′（x）+■在區(qū)間（1，3）上不是單調函數(shù)，求m的取值范圍.