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    從一道習(xí)題的解法到一類問題的解法

    2013-12-29 00:00:00焦良存
    初中生世界·七年級 2013年10期

    義務(wù)教育教科書蘇科版《數(shù)學(xué)》七年級上冊第92頁第10題如下:

    用正方形的普通水泥磚和彩色水泥磚按下圖的方式鋪人行道:

    (1)圖①中有彩色水泥磚 塊,圖②中有彩色水泥磚 塊,圖③中有彩色水泥磚 塊;

    (2)像這樣,第n個(gè)圖形有彩色水泥磚

    塊.

    【分析】本題屬于根據(jù)圖形的變化尋找規(guī)律的題型,是一道典型的規(guī)律探索類問題,其解法很多,下面我們一起來分析解題的基本思路,從中歸納出解決這類規(guī)律探索題的基本方法,進(jìn)而運(yùn)用這些基本方法解決一類問題.

    【解法1】觀察圖形從簡單到復(fù)雜的變化過程中,后一個(gè)圖案比前一個(gè)圖案多了幾塊彩色水泥磚,尋找出圖案的變化規(guī)律即可.本題中,第一個(gè)圖案有4=3×1+1塊彩色水泥磚;第二個(gè)圖案比第一個(gè)圖案多了3塊彩色水泥磚,共有7=(3×2+1)塊彩色水泥磚;第三個(gè)圖案比第二個(gè)圖案也多了3塊彩色水泥磚,共有10=(3×3+1)塊彩色水泥磚;……以此類推,按照這樣的規(guī)律擺下去,則第n個(gè)圖形有彩色水泥磚(3n+1)塊.

    【解法2】本題中的圖案可以看做是由一些正方形水泥磚組成的,當(dāng)n=1時(shí),圖案中有一個(gè)白色正方形水泥磚,正方形水泥磚有4條邊,4條邊上各有一個(gè)彩色水泥磚,因此圖案中共有4×1塊彩色水泥磚;當(dāng)n=2時(shí),圖案中有兩個(gè)白色正方形水泥磚,每個(gè)白色正方形水泥磚有4條邊,4條邊上各有一個(gè)彩色水泥磚,其中有一個(gè)彩色水泥磚重疊了,因此共有4×2-1塊彩色水泥磚;當(dāng)n=3時(shí),圖案中有三個(gè)白色正方形水泥磚,每個(gè)白色正方形水泥磚有4條邊,4條邊上各有一個(gè)彩色水泥磚,其中有兩個(gè)彩色水泥磚重疊了,因此共有4×3-2塊彩色水泥磚;……以此類推,第n個(gè)圖形有彩色水泥磚4n-(n-1)=(3n+1)(塊).

    通過上述兩種常用的思路,可以解決許多類似的問題.

    例1 用同樣大小的黑色棋子按圖2所示的方式擺圖形,按照這樣的規(guī)律擺下去,則第n個(gè)圖形需棋子 枚(用含n的代數(shù)式表示).

    【解法1】本題中,第一個(gè)圖案有4=3×1

    +1個(gè)黑棋子;第二個(gè)圖案比第一個(gè)圖案多了3個(gè)黑棋子,共有7=3×2+1個(gè)黑棋子;第三個(gè)圖案比第二個(gè)圖案又多了3個(gè)黑棋子,共有10=3×3+1個(gè)黑棋子;……以此類推,按照這樣的規(guī)律擺下去,則第n個(gè)圖形需棋子(3n+1)枚.

    【解法2】本題中的圖案可以看作是由一些正方形組成的.當(dāng)n=1時(shí),圖案中有一個(gè)正方形,正方形有4個(gè)頂點(diǎn),因此圖案中共4×1枚棋子;當(dāng)n=2時(shí),圖案中有兩個(gè)正方形,每個(gè)正方形有4個(gè)頂點(diǎn),其中有一個(gè)頂點(diǎn)重復(fù)了,因此共有4×2-1枚棋子;當(dāng)n=3時(shí),圖案中有三個(gè)正方形,每個(gè)正方形有4個(gè)頂點(diǎn),其中有兩個(gè)頂點(diǎn)重復(fù)了,因此共有4×3-2枚棋子;……以此類推,第n個(gè)圖形需棋子4n-(n-1)=(3n+1)(枚).

    例2 如圖3所示,由一些點(diǎn)組成形如三角形的圖形,每條“邊”(包括兩個(gè)頂點(diǎn))有n(n>1)個(gè)點(diǎn),每個(gè)圖形總的點(diǎn)數(shù)S是多少?當(dāng)n=5,7,11時(shí),S是多少?

    【解法1】第一個(gè)圖案每條“邊”有2個(gè)點(diǎn),共有3=3×1=3×(2-1)個(gè)點(diǎn);第二個(gè)圖案每條“邊”有3個(gè)點(diǎn),比第一個(gè)圖案多了3個(gè)點(diǎn)(每邊各增加一個(gè)點(diǎn)),共有6=3+3=3

    ×2=3×(3-1)(個(gè))點(diǎn);第三個(gè)圖案每條“邊”有4個(gè)點(diǎn),比第二個(gè)圖案多了3個(gè)點(diǎn)(每邊各增加一個(gè)點(diǎn)),共有9=3+3+3=3×3=3×(4-1)(個(gè))點(diǎn);第四個(gè)圖案每條“邊”有5個(gè)點(diǎn),比第三個(gè)圖案多了3個(gè)點(diǎn)(每邊各增加一個(gè)點(diǎn)),共有12=3+3+3+3=3×4=3×(5-1)(個(gè))點(diǎn);……以此類推,每條“邊”(包括兩個(gè)頂點(diǎn))有n(n>1)個(gè)點(diǎn),每個(gè)圖形總的點(diǎn)數(shù)S=3(n-1).當(dāng)n=5時(shí),S=12;當(dāng)n=7時(shí),S

    =18;當(dāng)n=11時(shí),S=30.

    【解法2】當(dāng)n=2時(shí),每條“邊”有2個(gè)點(diǎn),共2×3個(gè)點(diǎn),頂點(diǎn)上的點(diǎn)重復(fù)計(jì)算了一次,所以共有2×3-3=3×(2-1)個(gè)點(diǎn);當(dāng)n=3時(shí),每條“邊”有3個(gè)點(diǎn),共3×3個(gè)點(diǎn),頂點(diǎn)上的點(diǎn)重復(fù)計(jì)算了一次,所以共有3×3-3=3×(3-1)個(gè)點(diǎn);當(dāng)n=4時(shí),每條“邊”有4個(gè)點(diǎn),共4×3個(gè)點(diǎn),頂點(diǎn)上的點(diǎn)重復(fù)計(jì)算了一次,所以共有4×3-3=3×(4-1)個(gè)點(diǎn);當(dāng)n=4時(shí),每條“邊”有5個(gè)點(diǎn),共有5×3個(gè)點(diǎn),頂點(diǎn)上的點(diǎn)重復(fù)計(jì)算了一次,所以共有5×3-3=3×(5-1)個(gè)點(diǎn);……以此類推,每條“邊”(包括兩個(gè)頂點(diǎn))有n(n>1)個(gè)點(diǎn),每個(gè)圖形總的點(diǎn)數(shù)S=3(n-1).當(dāng)n=5時(shí),S=12;當(dāng)n=7時(shí),S=18;當(dāng)n=11時(shí),S=30.

    你還有其他的方法嗎?寫出來與大家交流吧!

    【小試牛刀】

    1. (2012·青海)觀察下列一組圖形:

    它們是按一定規(guī)律排列的,依照此規(guī)律,第n個(gè)圖形中共有 個(gè)★.

    2. (2012·寧波)用同樣大小的黑色棋子按如圖5所示的規(guī)律擺放:

    (1)第5個(gè)圖形有多少黑色棋子?

    (2) 第幾個(gè)圖形有2013顆黑色棋子?請說明理由.

    【參考答案】

    1.3n+1;2.(1)18;(2)第n個(gè)圖需棋子3(n+1)枚,設(shè)第n個(gè)圖形有2013顆黑色棋子,則3(n+1)=2013 ,解得n=670,即第670個(gè)圖形有2013顆黑色棋子.

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