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    “代數(shù)式”中的思想方法

    2013-12-29 00:00:00吉阿琴
    初中生世界·七年級 2013年10期

    數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂,是解決數(shù)學(xué)問題的金鑰匙.在“代數(shù)式”這一章中就有許多重要的數(shù)學(xué)思想方法需要我們?nèi)ネ诰颉⑻釤?、?yīng)用,歸納起來主要有以下幾點.

    一、用字母表示數(shù)的思想

    用字母表示數(shù)的思想,也就是代數(shù)思想.在具體問題中,用字母表示數(shù)往往具有以簡馭繁、捷足先登之功效.

    例1 計算2012×20142014-2014

    ×20122012= .

    解:設(shè)a=2012,b=2014,

    則原式=a(10000b+b)-b(10000a+a)

    =10001ab-10001ab=0.

    【點評】透過此例不難看出,運用字母表示數(shù)的思想解題,不僅思路簡捷、過程明快,而且饒有趣味.

    二、分類討論思想

    某些數(shù)學(xué)問題,涉及的概念、法則、性質(zhì)、公式是分類給出的,或在解答過程中,條件或結(jié)論不唯一,會產(chǎn)生幾種可能性,這就需要分類討論,從而得出各種情況下的結(jié)論.這種處理問題的思維方法就是分類討論思想.分類必須遵循下列兩條原則:(1)每一次分類要按照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行;(2)分類要做到不重復(fù)、不遺漏.

    例2 比較a+b與a的大小.

    【分析】這里有兩個字母,利用求差法先消去一個字母,再分類討論.

    解:因為a+b-a=b,所以,當(dāng)b>0時,a+b>a;當(dāng)b=0時,a+b=a;當(dāng)b<0時,a+b

    【點評】對于含有多個字母的代數(shù)式的大小比較問題,要設(shè)法轉(zhuǎn)化為只含有一個字母的問題,然后按照字母取正數(shù)、零、負(fù)數(shù)三種情況進(jìn)行討論.

    三、整體思想

    整體思想是從整體入手,通過細(xì)心觀察和深入分析,找出整體與局部的有機聯(lián)系,從整體上把握問題,從而在宏觀上尋求解決問題的途徑.

    例3 當(dāng)a=2,b=3時,求代數(shù)式2(2a

    -b)3-(2a-b)2+8(2a-b)的值.

    【分析】先求出2a-b的值,然后整體代入比較簡捷.

    解:因為a=2,b=3,所以2a-b=1,原式=2×13-12+8×1=9.

    【點評】這是課本第77頁的習(xí)題3.3第1(8)題,直接代入比較復(fù)雜,這里運用整體思想,減少了計算量.

    四、逆向思維的思想

    去括號與添括號、合并同類項與拆項等,都滲透著一種重要的數(shù)學(xué)思想方法——逆向思維,它有利于創(chuàng)新思維的培養(yǎng).

    例4 已知x2+x-1=0,求代數(shù)式2x3

    +4x2+3的值.

    【分析】逆向應(yīng)用合并同類項的法則進(jìn)行拆項,轉(zhuǎn)化為含x2+x-1的式子,再整體代入.

    解:因為x2+x-1=0,所以2x3+4x2+3

    =(2x3+2x2-2x)+(2x2+2x-2)+5=2x(x2+x-1)+2(x2+x-1)+5=0+0+5=5.

    【點評】求出x的值再代入求值是不明智的選擇,且我們現(xiàn)在還不會由x2+x

    -1=0求出x的值.這里將求值式通過拆項轉(zhuǎn)化為含有代數(shù)式x2+x-1的形式,再將x2+x-1=0整體代入變形后的求值式計算,十分簡捷.

    五、特殊化思想

    用字母表示數(shù)的思想是從特殊到一般,反過來,令字母為一些特殊值,即從一般到特殊,這就是特殊化思想.

    例5 已知-1

    A. a+b B. a-b C. a+b2 D. a2+b

    【分析】在-1

    解:由-1

    【點評】在取特殊值時,要注意兩點:一是所取的特殊值要使所有的代數(shù)式有意義;二是在滿足條件的范圍內(nèi),所取的值要使運算簡便.

    六、實驗、觀察、猜想、論證的思想

    例6 觀察圖中的(l)至(4)中小圓圈的擺放規(guī)律,并按這樣的規(guī)律繼續(xù)擺放,記第n個圖中小圓圈的個數(shù)為m,則m= (用含 n 的代數(shù)式表示).

    【解析】本例的解題目標(biāo)是求出第n個圖形中有多少個小圓圈,為此我們在給出的4個圖形中探究規(guī)律,看看哪些是不變量,哪些是變量,變量的變化規(guī)律是什么.在已知的4個圖形中,前面的5個圓圈是不變量,變化的是后面的圓圈.它們的數(shù)量分別是:第1個圖形多出0×3個圓圈,第2個圖形多出1×3個圓圈,第3個圖形多出2×3個圓圈,第4個圖形多出3×3個圓圈,…,以此類推,第n個圖形多出(n-1)×3個圓圈,故第n個圖形中共有[5+(n-1)×3](即3n+2)個圓圈,因此應(yīng)填3n+2.

    【點評】實驗是基礎(chǔ),在實驗中要注意分析和觀察規(guī)律;觀察是關(guān)鍵,在觀察中要透過現(xiàn)象看本質(zhì),從特殊中找出一般;猜想是核心,會推理判斷,能歸納猜想,就能有所發(fā)現(xiàn);論證是結(jié)果,是對實驗、觀察、猜想的科學(xué)總結(jié).

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