整式的概念導學

整式的概念中主要包括單項式及其系數(shù)、次數(shù)，多項式及其項數(shù)、次數(shù)，整式及其分類.下面對這些知識點進行分析，供同學們學習時參考.

一、單項式及其系數(shù)、次數(shù)

1.單項式的概念：像式子4x、ab、x2、-m等，它們都是數(shù)與字母的積，這樣的式子叫做單項式. 單獨一個數(shù)或字母，如-2、a等，都是單項式.由這個概念可以知道，一個單項式由數(shù)字因數(shù)和字母因數(shù)兩個部分組成.如-■a2b，其數(shù)字因數(shù)和字母因數(shù)分別為-■和a2b.這里的數(shù)字因數(shù)泛指有理數(shù)（或無理數(shù)），可以是正數(shù)，也可以是負數(shù)；字母可能有一個，也可能有多個.單項式中可以有除法運算，但除式中不能含字母，如■、■等都不是單項式.單項式中不能含有加減運算，如-■ab+1、■等都不是單項式.

2.單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù).單項式的系數(shù)是一個數(shù)，它包括性質(zhì)符號.如-ab2的系數(shù)是-1，而不是1.系數(shù)是1或-1時，這個“1”一般省略不寫，但不能認為沒有系數(shù)或系數(shù)為0.對于某些單項式要先分解成數(shù)字因數(shù)和字母因數(shù)兩部分，再確定其系數(shù).如

-■，應先寫成-■·x2y，可知其系數(shù)為-■，而不是-2、-■或-2π等.這里必須注意π是圓周率，應作為一個常數(shù)，是系數(shù)的一部分.

3. 單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)之和叫做這個單項式的次數(shù).確定單項式的次數(shù)要注意：（1）不要遺漏字母指數(shù)為1的指數(shù)，如單項式x3y是四次單項式，而不是三次單項式；（2）只有數(shù)字沒有字母的單項式，叫做零次單項式（零除外）.

例1 （2012年南通）單項式3x2y的系數(shù)為 .

【解析】根據(jù)單項式系數(shù)的概念可知，單項式3x2y是數(shù)字因式3與字母因式x2y積的形式，其中數(shù)字因式即為單項式的系數(shù)，所以單項式3x2y的系數(shù)為3.

例2 （2012年上海）在下列代數(shù)式中，次數(shù)為3的單項式是（ ）.

A. xy2 B. x3+y3 C. x3y D. 3xy

【解析】根據(jù)單項式的有關概念可知：xy2是單項式，且它的次數(shù)為3，A符合題意；x3+y3不是單項式，B不符合題意；x3y的次數(shù)為4，C不符合題意；3xy的次數(shù)為2，D不符合題意.故選A.

二、多項式及其項數(shù)、次數(shù)

1.多項式的概念：幾個單項式的和叫做多項式，其含義有兩點：一是多項式必須由單項式組成，二是多項式體現(xiàn)和的運算法則.如2-■中，-■不是單項式，因而2-■就不能歸到多項式的行列中；又如■是單項式■與單項式■的和，所以■屬于多項式.

2.多項式的項數(shù)：多項式中單項式的個數(shù)叫做多項式的項數(shù)，一個多項式含有幾個單項式就叫做幾項式，如a3-a2b2+b3是個三項式.

3.多項式的次數(shù)：對于多項式的每一項來說都有次數(shù)和系數(shù)的概念，如6x3+5x2

-2x從左到右分別是三次項、二次項、一次項，其系數(shù)分別為6、5、-2.對整個多項式而言，沒有系數(shù)的概念，但有次數(shù)的概念.多項式的次數(shù)是指多項式中次數(shù)最高項的次數(shù).如2x3y+xy2+8中，次數(shù)最高的項是2x3y，其次數(shù)是4，它又有三項，故它是四次三項式. 應注意：（1）每個多項式都有次數(shù)最高的項，且有時不止一項，如x3y-x2y2+3中，前兩項都是次數(shù)最高的項，它們都是四次項；（2）多項式的項包括它前面的符號，如x3y-x2y2+3的第二項是-x2y2，而不是x2y2；（3）不含字母的項叫做常數(shù)項.

例3 （2012年湛江）多項式2x2

-3x+5是 次 項式.

【解析】多項式2x2-3x+5含3個單項式，次數(shù)最高項2x2的次數(shù)為2，所以是二次三項式，所以答案為：二，三.

三、整式及其分類

單項式和多項式通稱為整式，整式的分類是以“是否有加減運算”為標準的，即以形式為依據(jù)來判斷，不能以結果為依據(jù)來判斷.

例4 下列式子哪些是多項式？是多項式的寫出它的次數(shù)和所有的項.

（1）2+■；（2）x+y-x；（3）x4y-3x3y2+8.

【解析】（1）不是多項式，因為（1）中■不是單項式；（2）、（3）是多項式；多項式x+y-x是一次三項式，項分別是x、+y、-x；多項式x4y-3x3y2+8是五次三項式，項分別是x4y、-3x3y2、+8.

必須注意：單項式中不能含有加減運算，且分母中不能含有字母（π等常數(shù)除外）；多項式是由單項式組成的，但判斷多項式只能看原始的式子，不可以進行運算后再判斷：如將x+y-x化簡為y后認為它是單項式，這是常見的錯誤.

整式的有關知識是學好其他知識的基礎，同學們務必切實掌握、靈活運用.