“有理”與“無(wú)理”，“理”在哪里？

在“有理數(shù)”中我們將對(duì)小學(xué)中學(xué)過(guò)的數(shù)進(jìn)行新的分類(lèi)，并引入新的概念——“有理數(shù)”和“無(wú)理數(shù)”.那么同學(xué)們知道“有理”與“無(wú)理”的道理在哪里嗎？下面我就帶同學(xué)們一探究竟.

一、“有理數(shù)”和“無(wú)理數(shù)”名稱(chēng)的由來(lái)

在西方，人們將許多幾何成就歸功于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派， 但其學(xué)派基本的信條卻是“萬(wàn)物皆數(shù)”.對(duì)此， 其學(xué)派成員費(fèi)洛羅斯曾明確宣稱(chēng)： 人們所知道的一切事物都包含數(shù). 因此，沒(méi)有數(shù)就既不可能表達(dá)、也不可能理解任何事物.這里所說(shuō)的數(shù)指整數(shù).分?jǐn)?shù)被看成兩個(gè)整數(shù)之比■（m、n是整數(shù)，n≠0）.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派相信任何量都可以表示成兩個(gè)整數(shù)之比（即某個(gè)有理數(shù)），在幾何上這相當(dāng)于說(shuō)： 對(duì)于任何兩條給定的線段， 總能找到第三條線段， 以它為單位線段能將給定的兩條線段劃分為整數(shù)段.如：線段a=8，線段b=3，我們就可以找到第三條線段c=1，將線段a劃分為8段，線段b劃分為3段；若線段a= ■，線段b=■，我們就可以找到第三條線段c=■，將線段a劃分為21段，線段b劃分為16段.希臘人稱(chēng)這樣的兩條給定線段為“可公度量”.然而畢氏學(xué)派后來(lái)卻發(fā)現(xiàn)： 并不是任意兩條線段都是可公度的， 也有不可公度的線段， 如正方形的對(duì)角線和其一邊構(gòu)成不可公度線段. 由于畢氏學(xué)派關(guān)于比例定義假定任何兩個(gè)同類(lèi)量可通約， 比例理論中的所有命題都局限在可通約的量上， 因而他們關(guān)于相似形的一般理論就失效了.“邏輯上的矛盾”如此之大， 以至于有一段時(shí)間， 他們欲將此事保密， 不準(zhǔn)外傳.但是人們很快發(fā)現(xiàn)不可通約性并不是罕見(jiàn)的現(xiàn)象.畢氏學(xué)派的成員泰奧多勒斯發(fā)現(xiàn)， 面積等于3、5、6……17（4、9、16除外）的正方形的邊與單位正方形的邊也不可通約， 并對(duì)每一種情況都單獨(dú)予以證明.希臘數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的這一邏輯困難， 被稱(chēng)為數(shù)學(xué)史上的“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”.

無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)， 暴露出有理數(shù)系的缺陷：一條直線上的有理數(shù)盡管“ 稠密”， 卻有許多“孔隙”，且這種“孔隙”多得“不可勝數(shù)”.這樣， 古希臘人把有理數(shù)視為是連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)系統(tǒng)的設(shè)想， 就徹底破滅了.它的破滅，在以后兩千多年時(shí)間里， 對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了深遠(yuǎn)的影響.不可通約的本質(zhì)是什么？長(zhǎng)期以來(lái)眾說(shuō)紛紜.兩個(gè)不可通約量的比值得不到正確的解釋?zhuān)徽J(rèn)為是不可理喻的數(shù).15世紀(jì)達(dá)芬奇稱(chēng)其為“無(wú)理”的數(shù)， 開(kāi)普勒稱(chēng)其為“不可名狀的數(shù)”.這就是“無(wú)理數(shù)”名稱(chēng)的由來(lái).

二、“有理數(shù)”與“無(wú)理數(shù)”的辨析

從無(wú)理數(shù)的產(chǎn)生過(guò)程我們知道了，那些可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式■（m、n是整數(shù)，n≠0）的數(shù)是有理數(shù)，而a2=2中的a不能表示成■（m、n是整數(shù)，n≠0）的形式，我們把它稱(chēng)為無(wú)理數(shù).但從小學(xué)學(xué)習(xí)中我們又知道數(shù)的分類(lèi)還可以分為整數(shù)和小數(shù)，小數(shù)中又包括有限小數(shù)、無(wú)限小數(shù)，無(wú)限小數(shù)中又包括無(wú)限循環(huán)小數(shù)和無(wú)限不循環(huán)小數(shù).這些數(shù)和“有理數(shù)”“無(wú)理數(shù)”有什么關(guān)系呢？

很顯然，整數(shù)和有限小數(shù)都可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式■（m、n是整數(shù)，n≠0），而無(wú)限循環(huán)小數(shù)呢？事實(shí)上，它也可以寫(xiě)成上述的分?jǐn)?shù)形式.

例1 將循環(huán)小數(shù)0.6化為分?jǐn)?shù).

解：設(shè)x=0.6，則10x=6.6.而10x-x=6.6-0.6=6，即9x=6，所以x=■=■.

故0.6=■.

例2 將循環(huán)小數(shù)0.018化為分?jǐn)?shù).

解：設(shè)x=0.018，則1000x=18.018，所以1000x-x=18.018-0.018=18.

即999x=18，所以x=■=■.

故0.018=■.

從上面的兩個(gè)例子，同學(xué)們是否感悟到：像0.6和0.018這樣的純循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)時(shí)，分?jǐn)?shù)的分子是它的一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字所組成的數(shù)，分母則由若干個(gè)9組成，9的個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字的個(gè)數(shù).

那么對(duì)于0.123和1.0456這樣的混循環(huán)小數(shù)呢？

我們可以將混循環(huán)小數(shù)先化為純循環(huán)小數(shù)，然后再化為分?jǐn)?shù)，例如：

0.123=■×12.3=■×（12+0.3）

=■×（12+■）=■，

1.0456=■×10.456=■×（10+0.456）=■×（10+■）=■.

由此可見(jiàn)：無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以化為分?jǐn)?shù)形式■（m、n是整數(shù)，n≠0），所以它是有理數(shù).而a2=2中的a又是什么樣的數(shù)？為什么它不能化為分?jǐn)?shù)呢？

課本上小明和小麗分別從分?jǐn)?shù)和小數(shù)的角度用逐步逼近的方法來(lái)幫助我們尋找a的值，依次有a不是■，■，■，■，■…1.4

因?yàn)橛邢扌?shù)或循環(huán)小數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)，所以要解決這個(gè)疑問(wèn)，關(guān)鍵還在于能不能化為分?jǐn)?shù)形式■（m、n是整數(shù)，n≠0）.

在這里我們不妨假設(shè)a=■（m、n是整數(shù)，n≠0），且m、n互質(zhì)（即m、n的公因數(shù)只有1），兩邊平方得：

a2=■2=■×■=■，因?yàn)閍2=2，所以■=2，所以m2=2n2.

因?yàn)榕紨?shù)的平方為偶數(shù)，奇數(shù)的平方為奇數(shù)，而2n2為偶數(shù)，所以m2為偶數(shù)，所以m為偶數(shù)，設(shè)m=2k （k為整數(shù)）.

則m2=（2k）2=2k×2k=4k2=2n2，

所以2k2=n2為偶數(shù)，所以n也為偶數(shù).

所以m、n有公因數(shù)2，與m、n互質(zhì)矛盾，所以假設(shè)不成立，a不能表示為分?jǐn)?shù)形式■（m、n是整數(shù)，n≠0）.

（這里的說(shuō)理方法稱(chēng)為反證法，是數(shù)學(xué)中一種特殊的證明方法，在今后的學(xué)習(xí)中同學(xué)們還會(huì)遇到哦.）

因?yàn)閍不能化為分?jǐn)?shù)形式，所以它既不是整數(shù)、有限小數(shù)，也不是無(wú)限循環(huán)小數(shù)，但它又是實(shí)際圖形中存在的實(shí)實(shí)在在的數(shù)，因此它只能是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以我們把這樣的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).小學(xué)中學(xué)過(guò)的π，0.1010010001…（每?jī)蓚€(gè)1之間的0依次遞增一個(gè)）都是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此它們也是無(wú)理數(shù).今后我們還會(huì)學(xué)到更多的無(wú)理數(shù)，它們?cè)跀?shù)軸上和有理數(shù)緊密依靠，共同鋪滿(mǎn)整個(gè)數(shù)軸.

從上面的探索過(guò)程中同學(xué)們是否了解了“有理數(shù)”和“無(wú)理數(shù)”中的“理”究竟是什么？對(duì)了，就是分?jǐn)?shù)形式：■（m、n是整數(shù)，n≠0），能表示成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)就是有理數(shù)，反之像無(wú)限不循環(huán)小數(shù)這樣不能表示為分?jǐn)?shù)形式的數(shù)就是無(wú)理數(shù).