整式的概念導(dǎo)學(xué)

整式的概念中主要包括單項(xiàng)式及其系數(shù)、次數(shù)，多項(xiàng)式及其項(xiàng)數(shù)、次數(shù)，整式及其分類.下面對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分析，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.

一、單項(xiàng)式及其系數(shù)、次數(shù)

1.單項(xiàng)式的概念：像式子4x、ab、x2、-m等，它們都是數(shù)與字母的積，這樣的式子叫做單項(xiàng)式. 單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母，如-2、a等，都是單項(xiàng)式.由這個(gè)概念可以知道，一個(gè)單項(xiàng)式由數(shù)字因數(shù)和字母因數(shù)兩個(gè)部分組成.如-■a2b，其數(shù)字因數(shù)和字母因數(shù)分別為-■和a2b.這里的數(shù)字因數(shù)泛指有理數(shù)（或無理數(shù)），可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)；字母可能有一個(gè)，也可能有多個(gè).單項(xiàng)式中可以有除法運(yùn)算，但除式中不能含字母，如■、■等都不是單項(xiàng)式.單項(xiàng)式中不能含有加減運(yùn)算，如-■ab+1、■等都不是單項(xiàng)式.

2.單項(xiàng)式的系數(shù)：單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù).單項(xiàng)式的系數(shù)是一個(gè)數(shù)，它包括性質(zhì)符號(hào).如-ab2的系數(shù)是-1，而不是1.系數(shù)是1或-1時(shí)，這個(gè)“1”一般省略不寫，但不能認(rèn)為沒有系數(shù)或系數(shù)為0.對(duì)于某些單項(xiàng)式要先分解成數(shù)字因數(shù)和字母因數(shù)兩部分，再確定其系數(shù).如

-■，應(yīng)先寫成-■·x2y，可知其系數(shù)為-■，而不是-2、-■或-2π等.這里必須注意π是圓周率，應(yīng)作為一個(gè)常數(shù)，是系數(shù)的一部分.

3. 單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)之和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).確定單項(xiàng)式的次數(shù)要注意：（1）不要遺漏字母指數(shù)為1的指數(shù)，如單項(xiàng)式x3y是四次單項(xiàng)式，而不是三次單項(xiàng)式；（2）只有數(shù)字沒有字母的單項(xiàng)式，叫做零次單項(xiàng)式（零除外）.

例1 （2012年南通）單項(xiàng)式3x2y的系數(shù)為 .

【解析】根據(jù)單項(xiàng)式系數(shù)的概念可知，單項(xiàng)式3x2y是數(shù)字因式3與字母因式x2y積的形式，其中數(shù)字因式即為單項(xiàng)式的系數(shù)，所以單項(xiàng)式3x2y的系數(shù)為3.

例2 （2012年上海）在下列代數(shù)式中，次數(shù)為3的單項(xiàng)式是（ ）.

A. xy2 B. x3+y3 C. x3y D. 3xy

【解析】根據(jù)單項(xiàng)式的有關(guān)概念可知：xy2是單項(xiàng)式，且它的次數(shù)為3，A符合題意；x3+y3不是單項(xiàng)式，B不符合題意；x3y的次數(shù)為4，C不符合題意；3xy的次數(shù)為2，D不符合題意.故選A.

二、多項(xiàng)式及其項(xiàng)數(shù)、次數(shù)

1.多項(xiàng)式的概念：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式，其含義有兩點(diǎn)：一是多項(xiàng)式必須由單項(xiàng)式組成，二是多項(xiàng)式體現(xiàn)和的運(yùn)算法則.如2-■中，-■不是單項(xiàng)式，因而2-■就不能歸到多項(xiàng)式的行列中；又如■是單項(xiàng)式■與單項(xiàng)式■的和，所以■屬于多項(xiàng)式.

2.多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)：多項(xiàng)式中單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)，一個(gè)多項(xiàng)式含有幾個(gè)單項(xiàng)式就叫做幾項(xiàng)式，如a3-a2b2+b3是個(gè)三項(xiàng)式.

3.多項(xiàng)式的次數(shù)：對(duì)于多項(xiàng)式的每一項(xiàng)來說都有次數(shù)和系數(shù)的概念，如6x3+5x2

-2x從左到右分別是三次項(xiàng)、二次項(xiàng)、一次項(xiàng)，其系數(shù)分別為6、5、-2.對(duì)整個(gè)多項(xiàng)式而言，沒有系數(shù)的概念，但有次數(shù)的概念.多項(xiàng)式的次數(shù)是指多項(xiàng)式中次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù).如2x3y+xy2+8中，次數(shù)最高的項(xiàng)是2x3y，其次數(shù)是4，它又有三項(xiàng)，故它是四次三項(xiàng)式. 應(yīng)注意：（1）每個(gè)多項(xiàng)式都有次數(shù)最高的項(xiàng)，且有時(shí)不止一項(xiàng)，如x3y-x2y2+3中，前兩項(xiàng)都是次數(shù)最高的項(xiàng)，它們都是四次項(xiàng)；（2）多項(xiàng)式的項(xiàng)包括它前面的符號(hào)，如x3y-x2y2+3的第二項(xiàng)是-x2y2，而不是x2y2；（3）不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).

例3 （2012年湛江）多項(xiàng)式2x2

-3x+5是 次 項(xiàng)式.

【解析】多項(xiàng)式2x2-3x+5含3個(gè)單項(xiàng)式，次數(shù)最高項(xiàng)2x2的次數(shù)為2，所以是二次三項(xiàng)式，所以答案為：二，三.

三、整式及其分類

單項(xiàng)式和多項(xiàng)式通稱為整式，整式的分類是以“是否有加減運(yùn)算”為標(biāo)準(zhǔn)的，即以形式為依據(jù)來判斷，不能以結(jié)果為依據(jù)來判斷.

例4 下列式子哪些是多項(xiàng)式？是多項(xiàng)式的寫出它的次數(shù)和所有的項(xiàng).

（1）2+■；（2）x+y-x；（3）x4y-3x3y2+8.

【解析】（1）不是多項(xiàng)式，因?yàn)椋?）中■不是單項(xiàng)式；（2）、（3）是多項(xiàng)式；多項(xiàng)式x+y-x是一次三項(xiàng)式，項(xiàng)分別是x、+y、-x；多項(xiàng)式x4y-3x3y2+8是五次三項(xiàng)式，項(xiàng)分別是x4y、-3x3y2、+8.

必須注意：單項(xiàng)式中不能含有加減運(yùn)算，且分母中不能含有字母（π等常數(shù)除外）；多項(xiàng)式是由單項(xiàng)式組成的，但判斷多項(xiàng)式只能看原始的式子，不可以進(jìn)行運(yùn)算后再判斷：如將x+y-x化簡為y后認(rèn)為它是單項(xiàng)式，這是常見的錯(cuò)誤.

整式的有關(guān)知識(shí)是學(xué)好其他知識(shí)的基礎(chǔ)，同學(xué)們務(wù)必切實(shí)掌握、靈活運(yùn)用.