小珊喜歡用圖中的小正方體砌成不同大小的方塊:
她有大量這種小正方體. 她會用膠水將小正方體粘在一起,砌成方塊. 首先,她用八塊小正方體砌成方塊,如圖1,然后,再砌成圖2和圖3的實(shí)心方塊.
【問題 1】所需積木的個(gè)數(shù)
小珊要用多少塊小正方體才可砌出圖2和圖3的方塊?
若小正方體的棱長為1,則砌出一個(gè)棱長為n的方塊需要小正方體多少塊?
【分析】這是一道較簡單的規(guī)律探究題,圖2共有三層,從上面看一層有3×3塊,共有三排,所以共有3×3×3=27(塊),同樣的方法可以得出圖3共有4×4×4=64(塊),那么棱長為n的方塊需要小正方體的個(gè)數(shù)為n×n×n=n3(塊).
【問題 2】實(shí)際操作
小珊在砌圖2的方塊時(shí),發(fā)現(xiàn)可以砌出一個(gè)像圖2,但里面是空心的方塊. 請你思考她最少要用多少塊小正方體?砌出一個(gè)看起來像是圖3但卻是空心的方塊需要多少塊小正方體?棱長為n的呢?你有什么發(fā)現(xiàn)?
【分析】這道題目需要我們發(fā)揮空間想象能力. 要砌出一個(gè)空心的圖2,我們就要清楚圖2的中心有幾塊小正方體,通過想象把大方塊從上、下、左、右、前、后切開最外層,最后剩下1塊,所以空心圖2需要27-1=26(塊). 同樣道理處于圖3的中心有8塊小正方體,所以空心圖3需要64-8=56(塊). 再接下來中心有27(塊),因此我們可以推測出棱長為n的空心方塊需要小正方體[n3-(n-2)3]塊.
【問題3】涂色問題
把圖2和圖3都涂上紅色,那么請你觀察一面涂成紅色的小正方體有多少個(gè)?
【分析】對于圖2:①它有8個(gè)頂點(diǎn),在頂點(diǎn)處三面都涂有顏色,所以三面涂色的有8個(gè);②正方體有12條棱,在每條棱上有1個(gè)二面涂色的,所以二面涂色的共1×12=12個(gè);③正方體有6個(gè)面,每個(gè)面上一面涂色的有1個(gè),所以一面涂色的共1×6=6(個(gè));④沒有涂色就是最中間的1個(gè).
同樣的方法對于圖3:①它有8個(gè)頂點(diǎn),在頂點(diǎn)處三面都涂有顏色,所以三面涂色的有8個(gè);②正方體有12條棱,在每條棱上有2個(gè)二面涂色的,所以二面涂色的共2×12=24個(gè);③正方體有6個(gè)面,每個(gè)面上一面涂色的有4個(gè),所以一面涂色的共4×6=24個(gè);④沒有涂色就是最中間的8個(gè).
總結(jié):對于拼成的棱長為n的正方體,涂色的只有三個(gè)面、兩個(gè)面、一個(gè)面、沒有涂色四種情況.
①一面涂色的小正方體有:(n-2)×(n-2)×6個(gè);
②二面涂色的小正方體有:(n-2)×12個(gè);
③三面涂色的小正方體有:8個(gè)(8個(gè)頂點(diǎn)處的正方體);
④沒有涂色的小正方體有:(n-2)3個(gè).