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    縱向挖掘 橫向延伸

    2013-12-29 00:00:00呂賢賢
    初中生世界·七年級 2013年12期

    我們在小學(xué)階段已經(jīng)認(rèn)識了長方體、正方體、圓柱和圓錐,并且會求它們的表面積與體積. 這些幾何體還蘊含著很多的數(shù)學(xué)知識,《豐富的圖形世界》一章中我們將主要學(xué)習(xí)生活中常見的幾何體的形狀、展開與折疊、截面圖及三視圖等知識. 本章內(nèi)容在中考中占有一定的比重,同學(xué)們應(yīng)予以重視.

    一、 幾何體的分類

    例1 如圖1,將下列幾何體分類,并說出分類的依據(jù).

    【分析】分類時要確定分類的標(biāo)準(zhǔn),并做到不重不漏. 分類的標(biāo)準(zhǔn)不同,結(jié)果也不同.

    解:按柱、錐、球劃分. 柱體:(1)、(3)、(4)、(5)、(7) ;錐體:(2);球體:(6).

    按組成面是曲面或平面劃分. 全由曲面組成:(6);全由平面組成:(3)、(4)、(5)、(7);既有曲面又有平面:(1)、(2).

    按有無頂點劃分. 有頂點:(2)、(3)、(4)、(5)、(7);無頂點:(1)、(6).

    【點撥】此題意在發(fā)散思維,培養(yǎng)大家靈活多變、一題多解的能力. 此題還采用了分類的數(shù)學(xué)思想,同學(xué)們要掌握每一類幾何體的特征,找出共性,選取不同的分類標(biāo)準(zhǔn)將得到不同的組合,注意同一問題中分類標(biāo)準(zhǔn)要一致.

    二、 平面與幾何體的截面

    例2 用一個平面去切正方體,會得到哪些截面圖形?

    【分析】在初次解這類題時,可用橡皮泥制作一個正方體,用小刀動手切切看,再作答.

    解:能截出四種截面圖形:三角形、四邊形、五邊形、六邊形. 具體圖形見圖2.

    【點撥】“化空為實”,把復(fù)雜空間問題轉(zhuǎn)化為眼手能及的實驗操作. 注意考慮問題要全面,不要遺漏. 明確用平面去截幾何體,所得的截面是這個平面與幾何體每個面相交的線所圍成的圖形. 按邊的順序逐個截出多邊形. 因為正方體只有六個面,所以得到的截面最多只有六條邊,即最多為六邊形.

    三、 幾何體的展開與折疊

    例3 如圖3,是一些幾何體的平面展開圖,試說出這些幾何體的名稱.

    【分析】根據(jù)幾何體展開圖的形狀,聯(lián)想圍成的立體圖形,通過綜合比較,想象出立體圖形. 也可用折疊的方法將展開圖還原,再判斷其名稱.

    解:(1) 圓柱 (2) 六棱柱 (3) 四棱錐 (4) 圓錐 (5) 三棱柱 (6) 五棱錐

    【點撥】動手操作是解決此類問題的最佳手段,通過實際操作,逐步培養(yǎng)空間想象能力. 正確判斷一個幾何體的表面展開圖,除了要掌握常見幾何體的特征,還要多觀察、多動手、多動腦.

    四、 利用展開圖解決實際問題

    例4 如圖4(1),一只螞蟻從圓柱上的點A繞圓柱一周,爬到點B,你能畫出它爬行的最短路線嗎?

    【分析】在平面上,兩點之間線段最短,如何畫出圓柱上表示點A繞圓柱一周到點B的最短路線呢?只需將點A、點B轉(zhuǎn)化到同一平面內(nèi)即可解決問題了. 將立體圖形展開成平面圖形,連接AB′. 如圖4(2).

    解:沿圓柱上的線段AB剪開得到一個長方形,點B與點B′是圓柱上的同一點,連接AB′. 線段AB′為螞蟻爬行的最短路線.

    【點撥】在研究立體圖形表面上兩點之間的最短路線(距離)問題時,往往是先把立體圖形展開成平面圖形,再根據(jù)“平面內(nèi)兩點之間線段最短”的性質(zhì)解決. 在平面圖形上問題會變得簡單,解決此類題的關(guān)鍵是明確有關(guān)圖形展開前后的對應(yīng)關(guān)系.

    五、 判斷幾何體的相對面

    例5 圖5是一個幾何體的展開圖,每個面內(nèi)都標(biāo)注了字母,請回答下列問題:

    (1) 如果面A在幾何體的底部,那么哪一個面在頂部?

    (2) 如果面F在前面,從左面看是面B,那么哪一個面會在頂部?

    (3) 從右面看是面C,面D在后面,那么哪一個面會在頂部?

    【分析】這是一個長方體展開圖,共6個面,根據(jù)所處的面可知,面A和面F相對,面C和面E相對,面B和面D相對. 在(1)中,面A在底部,面F在頂部;在(2)中,面F在前面,面B在左面,那么面A在后面,面D在右面,面E在底部,面C在頂部;在(3)中,面C在右面,面E在左面,面D在后面,面B在前面,面F在底部,面A在頂部.

    解:(1) 面F (2) 面C (3) 面A

    【點撥】此題考查了同學(xué)們對立體圖形與它的平面展開圖之間的關(guān)系的掌握程度. 解答時,注意尋找各面之間的內(nèi)在聯(lián)系,并加以想象、推理后得出結(jié)論.

    六、 根據(jù)俯視圖中正方體的數(shù)字確定另外兩個視圖

    例6 如圖6,是由幾塊完全相同的小正方體搭成的立體圖形的俯視圖,小正方形中的數(shù)字表示該位置的小正方體的個數(shù). 請你畫出它的主視圖和左視圖.

    【分析】方法一:實際操作,先按條件擺出幾何體,畫出它的主視圖和左視圖.

    方法二:俯視圖中分左中右三列,從左到右每列中最大的數(shù)分別為2、1、4,因此對應(yīng)的主視圖共有三列,第一列畫2個正方形,第二列畫1個正方形,第三列畫4個正方形. 俯視圖中分上中下三行,從上到下每行中最大的數(shù)分別為1、2、4,因此對應(yīng)的左視圖共有三列,第一列畫1個正方形,第二列畫2個正方形,第三列畫4個正方形.

    解:如圖7.

    【點撥】由俯視圖確定主視圖、左視圖的列數(shù)及每列方塊的個數(shù),細(xì)心觀察可得如下規(guī)律:

    ①主視圖和俯視圖的列數(shù)相同,且每列的方塊數(shù)是俯視圖中該列的最大數(shù)字. ②左視圖的列數(shù)與俯視圖的行數(shù)相同,且每列的方塊數(shù)是俯視圖中該行的最大數(shù)字.

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