錯題引領成功之路

《走進圖形世界》是同學們在初中階段學習的幾何知識的第一個章節(jié)，是小學階段學習的簡單基礎圖形知識的延伸. 本章的內(nèi)容主要包括生活中常見的幾何體的形狀、展開與折疊、截面圖及三視圖. 本章內(nèi)容在中考中占有一定的比重. 請看同學們在學習時的幾個易錯點.

一、 多面體表面展開圖問題

例1 如圖1（1）～（4），是一些立體圖形的平面展開圖，請說出它們的名稱.

錯解：圖1（1）是三棱錐；圖1（2）是四棱柱；圖1（3）是五棱柱；圖1（4）是六棱錐.

【點評】圓柱、圓錐、棱柱和棱錐的平面展開圖形狀必須記清楚. 圓柱的側面展開圖是個長方形，所以平面展開圖是1個長方形+2個圓. 圓錐的側面展開圖是個扇形，所以平面展開圖是1個扇形+1個圓. 棱柱的側面都是長方形，棱錐的側面都是三角形. 下面我們通過表格來分析一下棱柱和棱錐的平面展開圖.

通過上面的表格我們不難看出：

圖1（1）由3個長方形、2個三角形組成；圖1（2）由4個三角形、1個四邊形組成；圖1（3）由5個三角形、1個五邊形組成；圖1（4）由6CdKrIOuyfFq9gca1L6I9zIXaz01FevOOntCG0+mcnVU=個長方形、2個六邊形組成. 正確答案：圖1（1）三棱柱；圖1（2）四棱錐；圖1（3）五棱錐；圖1（4）六棱柱.

二、 利用展開圖解決實際問題

例2 如圖2（1）所示，長方體（ABB′A′為正方形）頂點A處有一只蜘蛛，長方體頂點C′處有一只蚊子，請你幫蜘蛛想個辦法，找出一條讓它沿著長方體表面爬行捉住蚊子的最短路徑.

【錯解】連接AC′，則線段AC′就是所求路徑.

【點評】這道題是求最短距離問題，在立體圖形表面上研究兩點之間的最短距離時，我們通常把立體圖形展開成為平面圖形，這樣可將立體圖形上兩點之間的距離轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩點之間的距離，在平面圖形上問題會變得簡單. 例如我們可以將點A和點C′所在面展開，再畫連接A、C′兩點的線段.

【答案】如圖2（2）中AC′是一條最短路徑.

三、 四棱柱對面問題

例3 有一個正方體，在它的各個面上分別標有字母a，b，c，d，e，f，如圖3（1）、圖3 （2）、圖3 （3），用三種不同的方法擺放這個正方體，看到了不同的結果，你能說出b的對面是什么字母嗎？

【錯解】b的對面是f.

【點評】這道題從三種不同的擺放情況不能直接找到b的對面. 我們可以先把a，d的對面字母找到，然后用“排除法”確定b的對面字母. 由圖3（1）、圖3（3）可知與面a相鄰的面是b，d，c，f，通過排除法可知a的對面是e. 由圖3（1）、圖3（2）可知與面d相鄰的面是a，b，c，e，通過排除法可知d的對面是f. 所以面a與面e相對，面d與面f相對，那么面b只能與面c相對.

【答案】面b的對面是c.

四、 小立方體最多最少問題

例4 用小立方體搭成一個幾何體，使它的主視圖和俯視圖如圖4所示，試指出搭建這樣的幾何體最多需要多少塊小立方體？最少需要多少塊小立方體？

【錯解】搭建這樣的幾何體最多有8塊小立方體，最少有6塊小立方體.

【錯因】對主視圖、俯視圖的概念模糊.

【點評】主視圖反映幾何體的上下層數(shù)和搭建的列數(shù)，俯視圖反映幾何體的前后行數(shù)和列數(shù). 本題可以根據(jù)主視圖，在俯視圖的每個小正方形上標出它所在處可以擺放的小立方體的數(shù)目，再把這些數(shù)字按照要求相加，從而得到搭成幾何體需要的小立方體的個數(shù). 通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，主視圖從左到右第1列有3層，所以我們在俯視圖的第1列的2行都標上3，這是俯視圖的第1列小立方體最多的情況. 同樣的方法標出第2列和第3列小立方體最多的情況，如圖5（1）所示，然后把數(shù)字相加就得到搭建這樣的幾何體最多需要多少塊小立方體. 在解答最少有多少塊小立方體組成時，俯視圖的第1列的2行有1行標3，其他行標1，這就是第1列小立方體最少的情況. 同樣的方法標出第2列和第3列小立方體最少的情況，如圖5（2）、圖5（3）、圖5（4）所示. 這時可能出現(xiàn)的幾何體不止一種，在解題時要注意到這一點.

【答案】搭建這樣的幾何體最多需要11塊小立方體，最少需要8塊小立方體.

五、 利用三視圖求表面積問題

例5 有14個邊長為1 cm的小正方體擺成如圖6（1）所示的幾何體，現(xiàn)在想把這個幾何體的表面全部涂上紅色，問涂上紅色的總面積為多少.

【錯解】33 cm2.

【錯因】有的同學把最下層小正方體底面9個面的面積漏掉導致了錯誤.

【點評】把這個幾何體的表面都涂上紅色，也就是說從前、后、左、右、上、下看這個幾何體都要是紅色. 從前和后、左和右、上和下看這個幾何體的圖形分別相同，而從前、左、上看這個幾何體剛好就是這個幾何體的三視圖. 所以此題可以轉(zhuǎn)化成求三視圖的面積問題. 三視圖如圖6（2）所示，所以總面積即為三視圖的面積和乘2.

【答案】42 cm2.