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    七橋問題與一筆畫

    2013-12-29 00:00:00朱信化
    初中生世界·七年級 2013年12期

    18世紀(jì)時哥尼斯堡是位于普累格河上的一座風(fēng)景秀麗的城市. 它今天屬于俄羅斯加里寧格勒,以前是東普魯士的土地. 哥尼斯堡有兩個島嶼,河的兩岸與兩島之間共建有七座橋(如圖1),島上有古老的哥尼斯堡大學(xué),有教堂,還有哲學(xué)家康德的墓地和塑像. 因此,城中的居民,尤其是大學(xué)生們經(jīng)常沿河過橋散步. 有一天,一個好奇的人提出了一個問題:一個散步者能否一次走遍7座橋,而且每座橋只許通過一次,最后仍回到起始地點. 問題提出后,很多人對此很感興趣,紛紛進(jìn)行試驗,但在相當(dāng)長的時間里,始終未能解決. 利用普通數(shù)學(xué)知識就可以知道,每座橋都走一次,那這七座橋所有的走法一共有5 040種,而這么多情況要一一試驗,將會是很大的工作量. 但是怎么才能找到成功走過每座橋而不重復(fù)的路線呢?這就是著名的“哥尼斯堡七橋問題”.

    1735年,有幾名大學(xué)生寫信給當(dāng)時正在俄羅斯彼得堡科學(xué)院任職的天才數(shù)學(xué)家歐拉,請他幫忙解決這一問題. 歐拉在親自觀察了哥尼斯堡七橋后,認(rèn)真思考走法,但始終沒能成功,于是他懷疑七橋問題是不是原本就無解呢?

    1736年,在經(jīng)過一年的研究之后,29歲的歐拉提交了《哥尼斯堡七橋》的論文,圓滿解決了這一問題. 在論文中,歐拉將七橋問題抽象出來,把每一塊陸地考慮成一個點,連接兩塊陸地的橋以線表示,并由此得到了如圖2(a)這樣的幾何圖形. 若我們分別用A、B、C、D四個點表示哥尼斯堡的四個區(qū)域(如圖2(b)),這樣著名的“七橋問題”便轉(zhuǎn)化為是否能夠用一筆不重復(fù)地畫出此七條線的問題了. 歐拉的這個考慮非常重要,也非常巧妙,它正表明了數(shù)學(xué)家處理實際問題的獨特之處——把一個實際問題抽象成合適的“數(shù)學(xué)模型”. 這種研究方法就是“數(shù)學(xué)模型方法”. 這并不需要運用多么深奧的理論,但想到這一點,卻是解決難題的關(guān)鍵. 經(jīng)歐拉研究發(fā)現(xiàn),圖2不能一筆畫出. 也就是說找不到不重復(fù)地經(jīng)過七座橋的路線. 多少年來,人們費腦費力尋找的那種不重復(fù)地路線,根本就不存在. 一個曾難住了那么多人的問題,竟是這么一個出人意料的答案!這是為什么呢?讓我們來看幾個一筆畫的問題.

    先讓我們來了解三個新概念.

    ①有奇數(shù)條線相連的點叫奇點.(如圖3)

    ②有偶數(shù)條線相連的點叫偶點.(如圖4)

    ③一筆畫:下筆后筆尖不能離開紙,每條線都只能畫一次而不能重復(fù).

    圖5-圖8四個圖形中,你能找出圖5-圖8的每個圖形中奇點和偶點的個數(shù)嗎?請你試一試其中哪些可以一筆畫出?

    【分析】圖5中有6個偶點:A、B、C、D、E、F,0個奇點,可以一筆畫成. 圖6中有4個偶點:A、B、D、F,2個奇點:C、E,可以一筆畫成. 圖7中有2個偶點:A、C,2個奇點:B、D,可以一筆畫成. 圖8中有1個偶點:O,4個奇點:A、B、C、D,不能一筆畫成. 再找?guī)讉€圖形試一試,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎?

    【規(guī)律】

    ①可以一筆畫成的圖形,與偶點個數(shù)無關(guān),與奇點個數(shù)有關(guān). 也就是說,凡是圖形中沒有奇點的(奇點個數(shù)為0),可選任一個點做起點,且一筆畫后可以回到出發(fā)點.

    ②若奇點個數(shù)為2,可選其中一個奇點做起點,而終點一定是另一個奇點,即一筆畫后不可以回到出發(fā)點.

    在表示七橋問題的圖2(b)中,現(xiàn)在我們來數(shù)一數(shù),奇點的個數(shù)有幾個?由此你明白七橋問題無解的道理了嗎?

    由于七橋問題中的四個點都是奇點,因此可以判斷它是無法一筆畫出來的 ,也就是說根本不存在能不重復(fù)走遍七座橋的路線!

    如果在七橋問題中,允許你再架一座橋,能否不重復(fù)地走遍這八座橋?這座橋應(yīng)該架在哪里?請你試一試!

    1. 一輛灑水車要給某城市的街道灑水,街道地圖如圖9,你能否設(shè)計一條灑水車灑水的路線,使灑水車不重復(fù)地走過所有的街道,再回到出發(fā)點?

    2. 如圖10是一個公園的平面圖,能不能使游人走遍每一條路不重復(fù)?入口和出口又應(yīng)設(shè)在哪兒?

    3. 甲乙兩個郵遞員去送信,兩人同時出發(fā)以同樣的速度走遍所有的街道,甲從A點出發(fā),乙從B點出發(fā),最后都回到郵局(C點),如圖11. 如果要選擇最短的線路,誰先回到郵局?

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