利用錯解資源，提升習題的教育功能

摘 要：錯解是一種資源，它最能暴露出學習中的薄弱地方，改正它能彌補學習中的不足，反思它能深化對概念、公式、定理的理解. 教學中通過對錯解訂正、審視和反思，可以深化、完善習題的教育功能，有利于提升教學效率.

關(guān)鍵詞：錯解資源；剖析反思；教學啟示

數(shù)學習題教學是數(shù)學教學中的一個重要方面，其功能是多方面的，習題教學的主要目的是通過講解、練習一些習題，使學生掌握數(shù)學基本知識，形成數(shù)學基本技能，領(lǐng)悟數(shù)學基本方法，體會數(shù)學概念的本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學能力，培養(yǎng)學習能力，改變學習方式. 實際課堂教學中，學生演算一道習題時會出現(xiàn)幾種不同的解法，有的正確，有的可能錯誤，這都是正?，F(xiàn)象，作為教師，對于正確的解法要給予充分肯定，剖析其精彩之處，適時進行表揚，從而培養(yǎng)學生的學習興趣，增強學生學習數(shù)學的信心；對于錯誤的解法，除糾正其錯誤外，如果能充分利用錯解這個“資源”，進行深入剖析，挖掘其出現(xiàn)錯誤的根源，可以從中發(fā)現(xiàn)學生學習中的一些不足之處，從而通過分析、拓展，加深學生對基礎(chǔ)知識、基本思想方法的理解，這樣可能會比只講解正確的解法效果更好. 下面是筆者在實際教學中的一個案例，整理下來供同行商榷、指正.

看到學生的三種解法后，筆者先是有些驚訝，驚訝的是一道容易題也能引出這么多解法，不由對學生刮目相看.筆者發(fā)現(xiàn)這些解法很有價值，通過對這些解法的剖析，可以讓學生對Sn與an的關(guān)系式理解得更深刻，于是讓學生討論這些解法并請給出解法的學生代表作一些簡單評析.

學生1：解法1可以快速得到正確結(jié)論. 作為一道選擇題，肯定是有答案的，只知道是四個選項中的一個，不知道是哪一個，只要選擇正確的或排除錯誤的就可以了.

學生2：考慮解法2的思路，因為要求Sn的表達式，可以考慮將條件Sn=2an+1中的an+1用Sn+1，Sn表示，研究數(shù)列{Sn}的規(guī)律，將Sn看成是數(shù)列{Sn}中的第n項，尋找解題途徑.

學生3：利用數(shù)列中Sn與an的關(guān)系式an=Sn-Sn-1，代入已知條件，研究數(shù)列{an}的特點，發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，再用數(shù)列求和公式求解，沒有答案，故該題有誤.

教師：要評判這些解法的正誤，需要對數(shù)列通項與前n項和重新認識一下.

1. 知識再現(xiàn)

2. 審視反思

3. 追根求源

認清了解法3的錯誤所在，問題是否都解決了呢？筆者覺得學生心中一定會有疑惑：何時用解法3？何時用解法2？難道解法3就不能給出正確結(jié)果？等等. 于是就拋出了下面的問題：我們有了這些認識后再來審視解法2、3，思考并討論下面的問題：

問題1：解法2為什么能得到正確的結(jié)論呢？

問題2：解法3難道就是“死路一條”，沒有辦法求出正確的結(jié)果？

1. 錯因探究思考

產(chǎn)生上述求解錯誤的原因表面上看是使用結(jié)論an=Sn-Sn-1時沒有注意其成立的條件n≥2，n∈N*，深層次的原因則是學生對知識“只知其然，不知其所以然”，只會“照著葫蘆畫瓢”，缺乏應(yīng)變能力，對問題沒有深刻的認識，對結(jié)論的使用范圍、注意事項不理解，一遇到新的問題就束手無策. 《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》指出：“高中數(shù)學課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)…使學生理解數(shù)學概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想方法，…”目前，在應(yīng)試教育的大潮中，在唯分數(shù)論成敗的形勢下，許多教師以為，讓學生去思考、去探究結(jié)論逐步形成的過程太浪費時間，往往采取“簡單粗暴”的形式，直接將結(jié)論告訴學生，三年的教學內(nèi)容兩年甚至一年半完成，然后花大量的時間去做題，試圖通過模仿訓練、窮盡題型或以題海戰(zhàn)術(shù)形成學生機械地應(yīng)對問題的“能力”，結(jié)果只能出現(xiàn)“我講了n遍，你怎么還不會，怎么還做錯？”的無奈局面. 章建躍先生說過：“如果教師講的n遍是不講理的、越俎代庖的、強加于人的，少了循循善誘，缺乏心智啟迪，沒有給學生以豁然開朗的思維體驗，那么這個n趨向于∞也是枉然.”數(shù)學教學不是結(jié)果的教學，而是思維活動過程的教學. 數(shù)學教學中，要把問題的提出過程，概念的抽象過程，知識的獲取過程，結(jié)論的探究過程，結(jié)論使用時的范圍、注意事項以及分析問題、解決問題的艱難曲折思維過程暴露給學生，而不是簡單的向?qū)W生展示成功的結(jié)果.

2. 如何看待錯解

數(shù)學學習是一個認知過程，由于學生認知水平、理解水平的不同，解題中出現(xiàn)錯誤屬正常現(xiàn)象，教學中如何對待學生學習中、解題中的錯誤很重要，心理學家蓋耶認為：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，誰將錯過最富有成效的學習時刻.” 也就是說，錯解是一種可利用的資源，它最能直接暴露出學習中的薄弱地方，改正它能彌補學習中的不足，反思它能深化對概念、公式、定理的理解. 教學中充分利用好錯解資源，可以深化、完善習題的教育作用，實現(xiàn)其功能的最大化.羅增儒教授關(guān)于“錯解”給予我們這樣的啟示：“弄清了錯解的內(nèi)容和性質(zhì)，使我們更接近問題的深層結(jié)構(gòu)，解題的思維也隨之而開朗.”

解題是學習數(shù)學不可缺少的重要環(huán)節(jié)，但是工夫不能僅僅下在解題上，而是要用在反思上，特別是對錯解的反思. 數(shù)學題目是無窮的，我們不可能解決完所有的題目，但是我們可以通過解決、分析典型問題，領(lǐng)悟數(shù)學機智，提高綜合能力. 對于一些概念、公式、定理的鞏固理解，不能只是為解題而解題，還要注意其內(nèi)涵、外延，注重其本質(zhì)特征，也就是說，我們不僅要知道如何用，還要知道什么時候用，使用范圍是什么等等，否則就不能說是掌握了一個數(shù)學概念或公式. 有效利用錯解這個資源，從錯誤中反思，從錯誤中學習，學會突破障礙，學會調(diào)整思維方向，從錯誤走向正確，從失敗走向成功，這正是教學的最終目標，也是錯解資源的價值所在.

3. 當前教學啟示

從上述解法可以看出，平時學習中只注意記憶Sn與an的關(guān)系，對此問題的數(shù)學背景、成立條件、數(shù)學本質(zhì)不理解或理解不深刻的學生就十分容易出現(xiàn)解法3中的錯誤. 平時教學若對學生只是一味進行“模仿”訓練，就不可能對數(shù)學的本質(zhì)有深入的理解，因此，高考中這類問題的求解對于學習過程中只重視“模式化”思維求解問題的考生無疑具有挑戰(zhàn)性. 高考是對高中生學習水平、學習能力的考查，毫無疑問，高考試題對高中的教學、學習具有明顯的導向作用. 每年高考結(jié)束后，我們總會聽到一些議論，今年高考試題難、易、怪等等，總會有不少考生因失誤丟分而痛心疾首，后悔不已. 我們平時總是在強調(diào)加強基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法的訓練，大家都知道“誰的基本功好，誰就能在高考中取得成功”的道理. 一直以來，怎樣才能有效提高學生對基礎(chǔ)知識的掌握程度是數(shù)學教學中的老大難問題，筆者認為利用好錯解資源對于解決這些問題能提供一些有益的參考.