一個分式不等式猜想的修正及證明

摘 要：本文先指出一個不等式猜想不成立，即不等號反向后成立，然后用差分代換方法結(jié)合判別式法給出了修正后的不等式成立.

關(guān)鍵詞：不等式；猜想；差分代換；判別式法

最近，田富德老師在《幾個優(yōu)美的分式不等式及恒等式》一文中提出了如下的不等式猜想.

猜想 若a，b，c為正數(shù)，則

（a3+b3+c3）■+■+■≥■+■+■■+■+■.？搖？搖（1）

事實上，不等式（1）不成立，而不等號反向成立，即我們有

定理1 若a，b，c為正數(shù)，則

（a3+b3+c3）■+■+■≤■+■+■■+■+■.？搖？搖（2）

下面我們給出不等式（2）的證明.

證明：不等式（2）等價于

（a3+b3+c3）（a3b3+b3c3+c3a3）abc≤（a2b4+b2c4+c2a4）（a4b2+b4c2+c4a2）

？圳（a2b4+b2c4+c2a4）（a4b2+b4c2+c4a2）-（a3+b3+c3）（a3b3+b3c3+c3a3）abc≥0

？圳（a6b6+b6c6+c6a6）+a2b2c2（a6+b6+c6）-abc[a6（b3+c3）+b6（c3+a3）+c6（a3+b3）]≥0.

（3）

易見不等式（3）關(guān)于a，b，c對稱，不妨設(shè)0

6（u2+uv+v2）a10+3（2u+v）（7u2+7uv+6v2）a9+（136u4+272u3v+273u2v2+137uv3+28v4）a8+（2u+v）（135u4+270u3v+260u2v2+125uv3+26v4）a7+（366u6+1098u5v+1478u4v2+1126u3v3+519u2v4+139uv5+16v6）·a■6+（2u+v）（178u6+534u5v+671u4v2+452u3v3+194u2v4+57uv5+6v6）a5+（253u8+1012u7v+1673u6v2+1477u5v3+805u4v4+329u3v5+106u2v6+19uv7+v8）a4+u（2u+v）（u+v）·（65u6+195u5v+205u4v2+85u3v3+22u2v4+12uv5+2v6）a3+u2（u+v）2Q（a）≥0.？搖？搖（4）

而

Q（a）=（46u6+138u5v+139u4v2+48u3v3+3u2v4+2uv5+v6）a2+2（2u+v）u2（u+v）2（5u2+5uv-v2）a+u4（u+v）4.

若u=v=0，則Q（a）=0；若u，v至少有一個不為零，則易見

46u6+138u5v+139u4v2+48u3v3+3u2v4+2uv5+v6>0，

且Q（a）的判別式為

Δ=-（84u6+252u5v+271u4v2+122u3v3+33u2v4+14uv5+3v6）u4（u+v）4≤0.

故此時Q（a）≥0.

綜上可知Q（a）≥0.

從而由u≥0，v≥0，a>0知不等式（4）成立，從而不等式（3）成立，即不等式（2）得證.

由不等式（2）及田老師文中的定理7與定理9可得如下有趣的不等式鏈.

定理2 若a，b，c為正數(shù)，則