淺談“垂直”空間觀念的有效構(gòu)建

摘 要：在圖形與幾何的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。垂直概念的學(xué)習(xí)要讓學(xué)生經(jīng)歷多種感官參與的擺一擺、折一折、畫一畫等操作活動(dòng)，在活動(dòng)中內(nèi)化垂直的概念，并有效構(gòu)建垂直的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，感受垂直在生活中的應(yīng)用價(jià)值。

關(guān)鍵詞：整合；操作；構(gòu)建；垂直空間觀念

“垂直與平行”這一內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)過直線和角的知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，本課內(nèi)容屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域的概念?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“在圖形與幾何的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力?！睘榇?，幾何概念的學(xué)習(xí)要讓學(xué)生通過多種感官參與操作活動(dòng)，逐步內(nèi)化概念，建立空間觀念，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力。本課時(shí)的教學(xué)，不但要使學(xué)生理解垂直的概念，更為重要的是，要讓學(xué)生經(jīng)歷擺一擺、折一折、畫一畫等操作活動(dòng)，內(nèi)化垂直的概念，并有效構(gòu)建垂直的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，感受垂直在生活中的應(yīng)用價(jià)值。

經(jīng)歷了《垂直》這一內(nèi)容的教學(xué)實(shí)踐，對課堂中如何有效構(gòu)建垂直的空間觀念有所感悟，下面就談?wù)勛约旱乃妓颉?/p>

一、在教材有機(jī)整合的過程中，強(qiáng)調(diào)構(gòu)建垂直的空間觀念

人教版教材把“垂直”和“平行”兩個(gè)概念編排在第一課時(shí)內(nèi)同時(shí)進(jìn)行教學(xué)；第二課時(shí)編排學(xué)習(xí)畫垂線，認(rèn)識(shí)“點(diǎn)到直線的距離”；第三課時(shí)編排學(xué)習(xí)畫平行線，理解“平行線之間的距離處處相等”。同一課時(shí)內(nèi)編排“垂直”和“平行”兩個(gè)概念，以往的教學(xué)設(shè)計(jì)偏重于“平行”概念的教學(xué)，特別是“同一平面”的內(nèi)化往往成為這課時(shí)的難點(diǎn)，而對“垂直”概念的理解和內(nèi)化比較單薄。教學(xué)實(shí)踐證明，在同一課時(shí)內(nèi)教學(xué)兩個(gè)抽象的幾何概念，對于小學(xué)中年級的學(xué)生，在概念的理解和內(nèi)化上是有一定困難的，同時(shí)垂直和平行的空間觀念構(gòu)建是不到位的，因此需要對教材內(nèi)容進(jìn)行整合。

由于垂直現(xiàn)象在生活中十分普遍，如校園里的單杠、云梯以及學(xué)生已經(jīng)知道長方形和正方相鄰的邊形成的是直角，可見學(xué)生的大腦中已經(jīng)積累了許多垂直的表象。為了更有效地開展教學(xué)，我對學(xué)生進(jìn)行了教學(xué)前測，通過前測我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對垂直的相關(guān)認(rèn)知并非一片空白。其中，對于垂直的判斷和垂直的生活經(jīng)驗(yàn)測試效果較好，而對于兩條直線的位置關(guān)系表達(dá)不清晰，同時(shí)垂直概念的描述上也存在一定的困難。由此可見，從理解同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系，即相交和不相交入手，在理解相交的基礎(chǔ)上，抓住垂直概念的本質(zhì)屬性，引導(dǎo)學(xué)生理解并內(nèi)化垂直的概念，進(jìn)而構(gòu)建垂直的空間觀念是本課教學(xué)的核心。

根據(jù)以上分析，我對教材的內(nèi)容進(jìn)行了有機(jī)整合，把“垂直”概念的學(xué)習(xí)及相關(guān)垂直的知識(shí)點(diǎn)整合在一課時(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)，留有足夠的課堂學(xué)習(xí)時(shí)間讓學(xué)生經(jīng)歷擺小棒、折紙片、畫垂線等操作活動(dòng)，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生垂直的空間觀念。這種線性的教學(xué)設(shè)計(jì)，把垂直概念的理解和內(nèi)化、垂直空間觀念的構(gòu)建、垂線畫法的探究、垂直價(jià)值的感悟進(jìn)行有機(jī)的整合，尊重了學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，又遵循了數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)。

二、在理解垂直概念的過程中，逐步構(gòu)建垂直的空間觀念

小學(xué)幾何概念教學(xué)要遵循學(xué)生的心理特征和認(rèn)識(shí)規(guī)律，讓學(xué)生經(jīng)歷：感知具體對象、嘗試建立表象、抽象本質(zhì)屬性、語言符號(hào)表征、概念內(nèi)化五個(gè)階段。教學(xué)中應(yīng)幫助學(xué)生抓住概念的本質(zhì)屬性，溝通概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，在內(nèi)化概念的過程中，逐步構(gòu)建空間觀念。為此，在本課教學(xué)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生借助具體的圖形進(jìn)行兩次分類，在分類和操作的過程中循序漸進(jìn)，逐層展開垂直概念的學(xué)習(xí)。

第一次層次，在初步感知垂直概念的階段，讓學(xué)生通過想一想、畫一畫、分一分等操作活動(dòng)，經(jīng)歷兩條直線在同一平面內(nèi)位置關(guān)系的探究過程。首先借助學(xué)生動(dòng)手畫出的兩條直線的具體圖形進(jìn)行第一次分類，也就是感知具體對象階段。在分類過程中，使學(xué)生理解“相交”和“不相交”的含義，為進(jìn)一步研究“垂直”做好知識(shí)的準(zhǔn)備。如圖1：

在學(xué)生理解“相交”的基礎(chǔ)上，從探究兩條直線相交時(shí)的共同特征入手，引導(dǎo)學(xué)生觀察，進(jìn)行第二次分類，嘗試建立“垂直”的表象。通過直角的驗(yàn)證活動(dòng)及討論，使學(xué)生對垂直概念的本質(zhì)屬性——“垂直相交”有了直觀的感性認(rèn)識(shí)和積累，這個(gè)環(huán)節(jié)就是抽象本質(zhì)屬性階段。在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行互相垂直、垂線、垂足等概念的學(xué)習(xí)，語言符號(hào)表征階段便水到渠成。這樣，學(xué)生經(jīng)歷了對同一平面內(nèi)兩條直線位置關(guān)系的兩次分類，不但認(rèn)識(shí)了“相交”和“不相交”，理解了垂直的含義，還初步建立了垂直的空間觀念。

第二層次，在學(xué)生通過二次分類理解“垂直”概念后，及時(shí)安排畫兩條互相垂直直線的活動(dòng)，不但為后面的垂線畫法教學(xué)做好鋪墊，更是借助垂線畫法的討論使得學(xué)生對互相垂直的本質(zhì)——兩條直線相交成直角有進(jìn)一步的理解。畫兩條互相垂直的直線，使得垂直的空間觀念在學(xué)生頭腦中逐步清晰，同時(shí)垂線的畫法與垂直的概念緊密結(jié)合。然后用字母a，b表示兩條直線，說說兩條直線的位置關(guān)系，則是對垂直、垂線和垂足知識(shí)的進(jìn)一步理解和鞏固。

第三層次，動(dòng)態(tài)展示同一平面內(nèi)兩條直線位置關(guān)系的整理過程（如圖3）。借助多媒體的動(dòng)態(tài)展示，使得垂直知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)整體呈現(xiàn)，溝通了垂直與相交之間的內(nèi)在聯(lián)系，即垂直是一種特殊的相交。其中，對于垂直的變式判斷，進(jìn)一步加深了對垂直這一概念本質(zhì)屬性的理解，有利于學(xué)生構(gòu)建正確的垂直空間觀念。

這樣先借助具體表象感悟概念，再通過動(dòng)手操作理解概念的本質(zhì)屬性，最后動(dòng)態(tài)演示溝通概念之間的聯(lián)系和區(qū)別，這種層層推進(jìn)的教學(xué)設(shè)計(jì)，使得數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律有效結(jié)合，在學(xué)生對垂直概念不斷理解的過程中，學(xué)生頭腦中垂直的空間觀念也就逐步建立了。

三、在擺、折、畫等操作過程中，有效發(fā)展垂直的空間觀念

人們對幾何圖形的認(rèn)識(shí)，首先是根據(jù)生活實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，依靠直觀觀察、比較、分析、概括而形成的。心理學(xué)的研究還表明，空間觀念的建立一般是多種感覺器官共同活動(dòng)的結(jié)果。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》明確指出：生活經(jīng)驗(yàn)的回憶與再現(xiàn)、實(shí)物觀察與描述、拼擺與畫圖、折紙與展開、分析與推理等，都是發(fā)展學(xué)生空間觀念的有效途徑。因此，在學(xué)生初步理解垂直的概念后，安排了擺一擺、折一折、畫一畫這三個(gè)操作活動(dòng)，旨在讓學(xué)生通過操作活動(dòng)積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而內(nèi)化垂直概念，發(fā)展垂直的空間觀念。

擺一擺的活動(dòng)，具體環(huán)節(jié)如下：

1.擺一擺

（1）用兩根小棒在桌面上擺出互相垂直的情況；學(xué)生獨(dú)立完成，同桌互相檢驗(yàn)。

（2）同桌合作，在桌面上擺出互相垂直的情況。

（3）同桌合作，在空間中用兩根小棒擺出互相垂直的情況，想一想，可以怎樣來擺？

讓學(xué)生借助頭腦中垂直的表象，通過自己擺一擺，同桌合作擺一擺等環(huán)節(jié)，把抽象的垂直概念進(jìn)行物化，同時(shí)把在桌面上擺小棒延伸到空間擺小棒，讓學(xué)生初步體驗(yàn)同一平面的不同情況，進(jìn)一步拓展了學(xué)生的空間觀念。

折一折的活動(dòng)，具體環(huán)節(jié)如下：

2.折一折

師：把這張正方形的紙片折一折，使兩條折痕互相垂直，可以怎么折？

學(xué)生嘗試；匯報(bào)交流；探索不同的方法。

師：大家折的方法盡管不相同，但在折的過程中有什么相同的地方嗎？

折紙活動(dòng)，再次把學(xué)生頭腦中的垂直表象進(jìn)行物化，借助折出互相垂直的折痕的活動(dòng)讓學(xué)生積累創(chuàng)造垂直的經(jīng)驗(yàn)。對不同折紙方法的探索，使得學(xué)生頭腦中垂直的表象更為豐富，垂直的空間觀念不斷發(fā)展。對不同折法共同特征的討論，讓學(xué)生充分感悟到垂直的本質(zhì)屬性是相交出現(xiàn)了直角。這種半抽象的操作活動(dòng)需要學(xué)生頭腦中垂直表象的支撐，在學(xué)生思考、想象的過程中鞏固了學(xué)生垂直的空間觀念。

畫一畫的活動(dòng)，具體環(huán)節(jié)如下：

3.畫一畫

（1）學(xué)生嘗試畫垂線。

師：剛才大家折出了兩條互相垂直的折痕，現(xiàn)在要來畫兩條互相垂直的直線。這里有三組練習(xí)，請你自己選擇一組，先想象垂線在什么位置，再按要求畫一畫。

畫出已知直線的垂線；過直線上一點(diǎn)畫出它的垂線；過直線外一點(diǎn)畫出它的垂線。

（2）同桌交流畫垂線的方法。

（3）全班匯報(bào)展示。

師：你是怎么畫的？把你的畫法給大家說一說。

（4）教師小結(jié)。

師：我們先放一把直尺，與已知直線相交，再借助三角板的直角使得直尺與直線相交成直角，最后沿著直尺的邊沿把這條垂線畫出來，最后標(biāo)上直角符號(hào)。

通過畫一畫的活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷借助直尺和三角板共同畫垂線的過程。在學(xué)生畫垂線時(shí)，先要求學(xué)生想象垂線在哪里，然后再動(dòng)手畫，這樣，當(dāng)學(xué)生頭腦中能呈現(xiàn)垂線正確的位置時(shí)，學(xué)生大腦皮層中垂直的表象已經(jīng)建立，垂直的空間觀念得到了增強(qiáng)。同時(shí)，三個(gè)題組的設(shè)計(jì)，讓不同的學(xué)生在練習(xí)中得到不同的發(fā)展，更好地體現(xiàn)了新課標(biāo)的理念。

由此可見，上面三個(gè)環(huán)節(jié)中學(xué)生經(jīng)歷具體、半抽象、抽象三個(gè)層次的操作活動(dòng)，學(xué)生在動(dòng)手、動(dòng)腦，多種感官參與動(dòng)手操作的過程中，加深了對垂直概念的理解，垂直的空間觀念不斷得到發(fā)展，同時(shí)也讓學(xué)生積累了基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

通過“垂直”這課的教學(xué)實(shí)踐，我感悟到只要符合數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)，尊重學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，有機(jī)整合教學(xué)內(nèi)容，抓住幾何概念教學(xué)的核心環(huán)節(jié)——內(nèi)化概念，通過分層有效的操作活動(dòng)，垂直的空間觀念一定會(huì)不斷發(fā)展，幾何直觀能力就會(huì)逐步提高。

（作者單位 浙江省余姚市實(shí)驗(yàn)學(xué)校）