基于最小方差的聲速測量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不確定度分析尺度

徐仰彬

（西安建筑科技大學(xué)，陜西 西安 710055）

在物理實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理中，經(jīng)常會(huì)通過多次測量取平均值來減少實(shí)驗(yàn)誤差。但是在測量的過程中往往會(huì)忽略估計(jì)值對(duì)真值的影響，或者會(huì)認(rèn)為測量次數(shù)越多，結(jié)果越準(zhǔn)確。經(jīng)過筆者研究發(fā)現(xiàn)，事實(shí)并非如此。比如在聲速測量試驗(yàn)中，求駐波波長的時(shí)候，需要通過多次測量取平均值來逼近真值。

1 對(duì)測量數(shù)據(jù)的估計(jì)

測量波長時(shí)，需要對(duì)測量數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)，因?yàn)楣烙?jì)是數(shù)據(jù)的函數(shù)，而數(shù)據(jù)是隨機(jī)變量，估計(jì)也是隨機(jī)變量，定義估計(jì)量為A，因?yàn)槭菍?duì)同一個(gè)物理量（波長）的多次測量。數(shù)據(jù)分布類似于帶噪聲的直流電平，這里我們數(shù)學(xué)建模為［2，3，4，6］：

x［n］為每次的測量量，w［n］為白高斯噪聲（WGN）具有均值為零，方差為σ2的高斯分布，并且所有測量數(shù)據(jù)互不相關(guān)，因?yàn)樾盘?hào)來源為電信號(hào)，同時(shí)誤差分布均勻，所以采用WGN抽象是合理的。

對(duì)A的一個(gè)估計(jì)量可以定義為：

當(dāng)A為無偏估計(jì)時(shí)，可以得到其概率密度函數(shù)（PDF）：

為了進(jìn)一步分析各參量對(duì)結(jié)果的影響，取不同頻率時(shí)的信號(hào)進(jìn)行駐波法測量，來分析PDF與A之間的關(guān)系，如圖1所示。

圖1 σ＝1和σ＝所對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)

從圖1中可以看出白高斯噪聲的方差對(duì)結(jié)果有明顯的影響，當(dāng)σ2較小的時(shí)候，波長的估計(jì)值更接近于真值。從而可以得到估計(jì)量的精度是隨著σ2減小而改善的。白高斯噪聲主要來源于信號(hào)的產(chǎn)生及疊加，所以進(jìn)行駐波法求波長的時(shí)候需要找到諧振點(diǎn)，只有在諧振的狀態(tài)下才能使其方差最小。

2 實(shí)驗(yàn)估計(jì)值對(duì)實(shí)驗(yàn)誤差的影響

為度量估計(jì)值的精度，我們約束偏差為零，從而求出使方差最小的估計(jì)量，對(duì)p（x；A）的對(duì)數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得到對(duì)數(shù)似然函數(shù)的曲率［1，5，7，8］。

其一階導(dǎo)數(shù)為：

二階導(dǎo)數(shù)為：

根據(jù)cramer－Bao下限定理可知：

當(dāng)p（x；A）滿足“正則”條件

即

那么對(duì)任何無偏估計(jì)量A的方差必定滿足

所以綜合上式，可以得到：

圖2 方差隨N的變化關(guān)系

通常由于系統(tǒng)誤差的存在，使得估計(jì)量A會(huì)存在一定的偏差，當(dāng)A為有偏估計(jì)時(shí)，定義：

其中B（T）為估計(jì)量的偏移量，T為真值。

圖3 測量次數(shù)與偏移量之間的關(guān)系

從圖3中可以看出當(dāng)存在偏移量的時(shí)候，隨著測量次數(shù)的增加，真值落到估計(jì)值范圍中的概率會(huì)越來越低，當(dāng)達(dá)到一定的次數(shù)后，真值出現(xiàn)在測量值范圍內(nèi)的概率將趨近0，從而得到錯(cuò)誤的結(jié)論。所以在測量的過程中并不是測量次數(shù)越多越好。

3 結(jié) 論

通過采用cramer－Bao下限定理對(duì)聲速實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不確定度進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)并不是測量次數(shù)越多實(shí)驗(yàn)結(jié)果越精確，而是依賴于估計(jì)量的偏移程度，在盡量減小系統(tǒng)產(chǎn)生的誤差及盡量提高信號(hào)的信噪比的情況下，測量次數(shù)保證在8～10次即可。

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