極限學(xué)習(xí)機(jī)在湖庫總磷、總氮濃度預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

崔東文

(云南省文山州水務(wù)局，云南文山 663000)

氮、磷是引起水體富營(yíng)養(yǎng)化和水華的主導(dǎo)性因子，也是湖庫營(yíng)養(yǎng)狀態(tài)評(píng)價(jià)、污染物排放總量控制的重要性指標(biāo)。湖庫氮(N)、磷(P)等營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)的大量增加，總是伴隨著水體富營(yíng)養(yǎng)化，甚至水華現(xiàn)象的發(fā)生［1］。因此準(zhǔn)確預(yù)測(cè)湖庫中的N、P 濃度對(duì)預(yù)防水體富營(yíng)養(yǎng)化具有重要現(xiàn)實(shí)意義。近年來，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(artifical neural network，ANN)廣泛運(yùn)用于水質(zhì)預(yù)測(cè)研究領(lǐng)域，如水體礦化度的預(yù)測(cè)［2］、河湖水華預(yù)測(cè)［3-5］、河流BOD-DO 模擬預(yù)測(cè)［6］、湖庫葉綠素預(yù)測(cè)［7］、水質(zhì)指標(biāo)預(yù)測(cè)［8］等，均取得了較好效果。然而傳統(tǒng)BP 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型存在著學(xué)習(xí)收斂速度慢、易陷入局部極值以及網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)難以確定等缺點(diǎn)，為克服其算法的不足，學(xué)者們提出基于附加動(dòng)量、自適應(yīng)調(diào)整參數(shù)、彈性方法、擬牛頓法、共軛梯度法以及Levenberg-Marquardt 等的改進(jìn)算法［9-10］，但在實(shí)際應(yīng)用中仍不夠完善，不能完全克服BP 算法固有的缺陷。針對(duì)傳統(tǒng)BP 算法固有的缺陷，目前普遍采用遺傳算法對(duì)BP 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、網(wǎng)絡(luò)權(quán)值和閾值進(jìn)行優(yōu)化［9］。遺傳算法(genetic algorithm，GA)雖然具有良好的全局優(yōu)化性能，與BP 網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，能夠較好地對(duì)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值、閾值進(jìn)行尋優(yōu)，使網(wǎng)絡(luò)性能得到較大改善，避免局部極值等問題［11］。然而，GABP 算法同樣面臨著復(fù)雜的參數(shù)選取和編碼等問題。徑向基函數(shù)算法(radia basis function，RBF)雖然有著良好的非線性逼近能力和精度，但隱含層神經(jīng)元中心的選取是制約其精度提高的主要因素。極限學(xué)習(xí)機(jī)(extreme learning machine，ELM)是文獻(xiàn)［12-18］提出的一種新型單隱層前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(singlehidden layer feedforward neural network，SLFN)，ELM算法隨機(jī)產(chǎn)生輸入層與隱含層間的連接權(quán)值及隱含層神經(jīng)元閾值，且在訓(xùn)練過程中無需調(diào)整，只需要設(shè)置隱含層神經(jīng)元的個(gè)數(shù)，便可以獲得唯一的最優(yōu)解。與傳統(tǒng)的訓(xùn)練方法相比，該方法具有學(xué)習(xí)速度快、泛化性能好等優(yōu)點(diǎn)。

本文基于ELM 算法基本原理，以云南省某水庫為例，采用SPSS 軟件分析TP、TN 質(zhì)量濃度與環(huán)境因子的相關(guān)性，選取NH3-N、NO-2-N、NO-3-N、CODMn質(zhì)量濃度和水體透明度作為網(wǎng)絡(luò)輸入，TP、TN 質(zhì)量濃度作為輸出，構(gòu)建基于ELM 的湖庫TP、TN 質(zhì)量濃度預(yù)測(cè)模型，并構(gòu)建傳統(tǒng)BP、GA-BP、RBF 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型作為對(duì)比預(yù)測(cè)模型進(jìn)行比較，為湖庫TP、TN 質(zhì)量濃度預(yù)測(cè)探尋新的方法和途徑。

1 極限學(xué)習(xí)機(jī)概述

給定一個(gè)輸入層含有n 個(gè)輸入變量、隱含層有l(wèi)個(gè)神經(jīng)元、輸出層有m 個(gè)神經(jīng)元的典型SLFN 網(wǎng)絡(luò)。不失一般性，設(shè)輸入層與隱含層間的連接權(quán)值為ω，隱含層與輸出層間的連接權(quán)值為β，隱含層神經(jīng)元閾值為b，則ω、β 和b 分別為:

式中:ωij表示輸入層第i 個(gè)神經(jīng)元與隱含層第j 個(gè)神經(jīng)元間的連接權(quán)值;βjk表示隱含層第j 個(gè)神經(jīng)元與輸出層第K 個(gè)神經(jīng)元間的連接權(quán)值;b 為隱含層神經(jīng)元閾值。

設(shè)該網(wǎng)絡(luò)具有Q 個(gè)樣本的訓(xùn)練集輸入矩陣X和輸出矩陣Y 分別為:

給定隱含層神經(jīng)元激勵(lì)函數(shù)g(x)，則網(wǎng)絡(luò)輸出T 為:

式中:j=1，2，…，Q;ωi=［ωi1，ωi2，…，ωin］，xj=［x1j，x2j，…，xnj］T。

式(3)可表示為

其中，T'為矩陣T 的轉(zhuǎn)置;H 稱為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱含層輸出矩陣，具體形式為式(5)所示:

Huang 等在前人研究的基礎(chǔ)上，提出并證明了以下兩個(gè)定理［12-18］，為ELM 的應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。

定理1 給定任意Q 個(gè)不同樣本(xi，ti)，其中xi=［xi1，xi2，…，xin］T∈Rn，ti=［ti1，ti2，…，tim］∈Rm，一個(gè)任意區(qū)間無限可微的激活函數(shù)g:R→R，則對(duì)于具有Q 個(gè)隱含層神經(jīng)元的SLFN，在任意賦值ωi∈Rn和bi∈Rn的情況下，其隱含層輸出矩陣H 可逆且‖Hβ-T'‖=0。

定理2 給定任意Q 個(gè)不同樣本(xi，ti)，其中xi=［xi1，xi2，…，xin］T∈Rn，ti=［ti1，ti2，…，tim］∈Rm，給定任意小誤差ε(ε ＞0)和一個(gè)任意區(qū)間無限可微的激活函數(shù)g:R→R，則總存在一個(gè)含有K(K≤Q)個(gè)隱含層神經(jīng)元的SLFN，在任意賦值ωi∈Rn和bi∈Rn的情況下，有‖HN×MβM×m-T'‖≤ε。

由定理1 可知，若隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)與訓(xùn)練集樣本個(gè)數(shù)相等，則對(duì)于任意ω 和b，都可以以零誤差逼近訓(xùn)練樣本，即

其中，yi=［y1j，y2j，…，ymj］T， j=1，2，…，Q。

在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)訓(xùn)練樣本數(shù)Q 較大時(shí)，為減少計(jì)算量和保證網(wǎng)絡(luò)的泛化能力，通常隱含神經(jīng)元數(shù)K 的取值要比Q 小。

由此可知，當(dāng)激活函數(shù)g(x)無限可微時(shí)，ELM的參數(shù)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)無需全部調(diào)整，ω 和b 在訓(xùn)練前可以隨機(jī)選擇，且在訓(xùn)練過程中保持不變。而隱含層與輸出層間的連接權(quán)值β 可以通過求解以下方程組的最小二乘解獲得:

其解為

式中:H+為隱含層輸出矩陣H 的Moore-Penrose 廣義逆。

ELM 學(xué)習(xí)算法主要有以下幾個(gè)步驟［19］:①確定隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)，隨機(jī)設(shè)定輸入層與隱含層間的連接權(quán)值ω 和隱含層神經(jīng)元的偏置b;②選擇一個(gè)無限可微的函數(shù)作為隱含層神經(jīng)元的激活函數(shù)，進(jìn)而計(jì)算隱含層輸出矩陣H;③計(jì)算輸出層權(quán)值^β。

2 實(shí)例分析

2.1 基本資料與相關(guān)分析

以云南省某水庫TP、TN 質(zhì)量濃度預(yù)測(cè)為例進(jìn)行實(shí)例分析。依據(jù)GB 3838—2002《地表水環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》，選取水位、庫容等14 項(xiàng)可能對(duì)TP、TN 質(zhì)量濃度產(chǎn)生影響的評(píng)價(jià)因子，采用SPSS 軟件計(jì)算統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，分析TP、TN 濃度與環(huán)境因子的相關(guān)性，分析結(jié)果見表1。

從表1 可以看出，ρ(TP)與水溫、ρ(NH3-N)、ρ(CODMn)和水體透明度顯著相關(guān)，其中與水溫、ρ(NH3-N)、ρ(CODMn)呈顯著正相關(guān)，與水體透明度呈顯著負(fù)相關(guān);與水位等無顯著相關(guān)。ρ(TN)與庫容、ρ(NH3-N)、ρ(NO2-N)、ρ(NO3-N)、ρ(CODMn)和水體透明度顯著相關(guān)，其中與庫容、ρ(NH3-N)、ρ(NO2-N)、ρ(NO3-N)、ρ(CODMn)呈顯著正相關(guān)，與透明度呈顯著負(fù)相關(guān);與水位等無顯著相關(guān)。

本文選用2007—2011 年某水庫相關(guān)數(shù)據(jù)建模，選取ρ(NH3-N)、ρ(NO2-N)、ρ(NO3-N)、ρ(CODMn)和水體透明度作為網(wǎng)絡(luò)輸入，ρ(TP)、ρ(TN)作為輸出。按月統(tǒng)計(jì)，共獲得60 組數(shù)據(jù)，并以2007—2010 年48組數(shù)據(jù)作為網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本，以2011 年12 組數(shù)據(jù)作為網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)樣本。

2.2 TP、TN 預(yù)測(cè)的實(shí)現(xiàn)

2.2.1 數(shù)據(jù)處理

由于水質(zhì)預(yù)測(cè)影響因子具有不同的物理意義和不同的量綱及數(shù)量級(jí)，因此，在網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練前要先對(duì)于原始數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理。表1 中，ρ(NH3-N)、ρ(NO2-N)、ρ(NO3-N)、ρ(CODMn)與ρ(TP)、ρ(TN)呈顯著正相關(guān)，采用最大最小法進(jìn)行數(shù)據(jù)歸一化處理，公式如下:

水體透明度與ρ(TP)、ρ(TN)呈顯著負(fù)相關(guān)，采用如下公式進(jìn)行數(shù)據(jù)歸一化處理:

式中:^x 為經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化處理的數(shù)據(jù)，x 為原始數(shù)據(jù)，xmax和xmin分別為數(shù)據(jù)序列中的最大數(shù)和最小數(shù)。經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化處理后，數(shù)據(jù)處于0 ～1 范圍之內(nèi)，有利于網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練。

2.2.2 性能評(píng)價(jià)

選用決定系數(shù)R2和平均相對(duì)誤差絕對(duì)值MPE兩個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)ELM 以及傳統(tǒng)BP、GA-BP、RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)，并選用最大相對(duì)誤差作為參考指標(biāo)。決定系數(shù)R2范圍在［0，1］內(nèi)，愈接近1，表明模型性能越好;平均相對(duì)誤差絕對(duì)值MPE 與最大相對(duì)誤差越小，表明模型的性能越好。

評(píng)價(jià)指標(biāo)計(jì)算公式如下:

表1 ρ(TP)、ρ(TN)與環(huán)境因子的相關(guān)系數(shù)

2.2.3 網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練

筆者基于MATLAB 環(huán)境，創(chuàng)建及訓(xùn)練ELM 以及傳統(tǒng)BP、GA-BP 和RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)湖庫TP、TN 進(jìn)行預(yù)測(cè)。以NH3-N、NO-2-N、NO-3-N、CODMn質(zhì)量濃度和水體透明度作為網(wǎng)絡(luò)輸入向量，即輸入層神經(jīng)元數(shù)為5 個(gè);以TP、TN 質(zhì)量濃度作為輸出向量，即輸出層的神經(jīng)元數(shù)為2 個(gè)，構(gòu)建5 輸入2 輸出的預(yù)測(cè)模型。

圖1 隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)對(duì)ELM 性能的影響

傳統(tǒng)BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型采用目前較為普遍的Kolmogorv 定理［9-11］確定隱含層神經(jīng)元數(shù)，利用逐步增長(zhǎng)或逐步修剪法確定最終神經(jīng)元數(shù)為7，預(yù)測(cè)模型結(jié)構(gòu)為5-7-2，隱含層和輸出層傳遞函數(shù)分別采用logsig 和purelin，訓(xùn)練函數(shù)采用traingdx，期望誤差為0.002 2，最大訓(xùn)練輪回為8 000 次時(shí)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到了較好的預(yù)測(cè)精度。GA-BP 網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)為5-20-2，隱含層和輸出層傳遞函數(shù)分別采用tansig 和purelin，訓(xùn)練函數(shù)采用trainlm，期望誤差為0.001 5，最大訓(xùn)練輪回為1 000 次，種群規(guī)模為50，進(jìn)化次數(shù)為200 次，交叉概率為0.4，變異概率為0.09 時(shí)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到了較好的預(yù)測(cè)精度。RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)人為調(diào)節(jié)的參數(shù)少，只有1 個(gè)閾值，程序采取循環(huán)訓(xùn)練算法，最終確定RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的SPREAD 和期望誤差分別為1 和0.0018 時(shí)，網(wǎng)絡(luò)達(dá)到較佳預(yù)測(cè)效果。

2.3 TP、TN 預(yù)測(cè)結(jié)果及分析

利用上述訓(xùn)練好的ELM、傳統(tǒng)BP、GA-BP 和RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型對(duì)某水庫TP、TN 質(zhì)量濃度進(jìn)行預(yù)測(cè)。預(yù)測(cè)結(jié)果見表3、表4。

分析表3、表4 可以得出以下結(jié)論:①從決定系數(shù)R2上看，對(duì)于TP 質(zhì)量濃度的模型預(yù)測(cè)精度(由高到低，下同)依次是:ELM、GA-BP、RBF 和傳統(tǒng)BP，其數(shù)值分別為0.9131，0.9119，0.9037，0.8898;對(duì)于TN質(zhì)量濃度的預(yù)測(cè)精度依次是:GA-BP、ELM、RBF 和傳統(tǒng)BP，其數(shù)值分別為0.939 7，0.939 5，0.934 9，0.9020，從平均相對(duì)誤差MPE 上看，對(duì)于TP 質(zhì)量濃度的預(yù)測(cè)精度依次是:ELM、RBF、傳統(tǒng)BP 和GA-BP，分別為19.608 6%，21.025 9%，22.090 1%，22.8598%;對(duì)于TN 質(zhì)量濃度，預(yù)測(cè)精度依次是:ELM、GA-BP、RBF 和傳統(tǒng)BP，其數(shù)值分別為13.458 5%，14.910 0%，15.505 0%，17.818 8%。從最大相對(duì)誤差上看，對(duì)于TP 質(zhì)量濃度的預(yù)測(cè)精度依次是:GABP、傳統(tǒng)BP、ELM 和RBF;對(duì)于TN 質(zhì)量濃度的預(yù)測(cè)精度依次是:ELM、RBF、GA-BP 和傳統(tǒng)BP。綜合比較而言，ELM 模型預(yù)測(cè)精度高于傳統(tǒng)BP 和RBF 網(wǎng)絡(luò)模型，甚至略高于GA-BP 模型的預(yù)測(cè)精度。②從模型結(jié)構(gòu)、參數(shù)選擇及訓(xùn)練時(shí)間上比較，ELM 模型具有較大的優(yōu)勢(shì)，其參數(shù)選擇簡(jiǎn)便，訓(xùn)練速度快(運(yùn)行時(shí)間與RBF 相當(dāng))，不會(huì)陷入局部最優(yōu)值等優(yōu)點(diǎn)，較傳統(tǒng)BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性能有著較大的提高。③從某湖庫TP、TN 質(zhì)量濃度預(yù)測(cè)結(jié)果上看，ELM 模型預(yù)測(cè)精度高，泛化能力好，表明研究建立的ELM 湖庫TP、TN 質(zhì)量濃度預(yù)測(cè)模型是合理可行和有效的，可為湖庫TP、TN 質(zhì)量濃度預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)提供新的途徑和方法。④由于TP 與NO-2-N 和NO-3-N質(zhì)量濃度相關(guān)性并不顯著，這在一定程度上影響了TP 質(zhì)量濃度的預(yù)測(cè)精度，從表3 與表4 可以看出，無論從決定系數(shù)R2還是從平均相對(duì)誤差MPE 上看，TP 的質(zhì)量濃度預(yù)測(cè)效果均不如TN 的。

表2 隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)對(duì)ELM 性能的影響

表3 某水庫TP 質(zhì)量濃度預(yù)測(cè)結(jié)果及其模型比較

表4 某水庫TN 質(zhì)量濃度預(yù)測(cè)結(jié)果及其模型比較

3 結(jié) 語

相比傳統(tǒng)的SLFN 學(xué)習(xí)算法，ELM 在訓(xùn)練過程中具有調(diào)節(jié)參數(shù)少、學(xué)習(xí)速度快、泛化能力強(qiáng)、預(yù)測(cè)精度高，且不存在局部極小值等優(yōu)點(diǎn)。本文構(gòu)建了基于ELM、傳統(tǒng)BP、GA-BP、RBF 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的湖庫TP、TN 質(zhì)量濃度預(yù)測(cè)模型，并對(duì)各預(yù)測(cè)模型進(jìn)行比較分析，結(jié)果表明，ELM 網(wǎng)絡(luò)模型在多輸入、多輸出的水質(zhì)預(yù)測(cè)中獲得了令人滿意的預(yù)測(cè)效果，其預(yù)測(cè)精度直逼GA-BP 模型，可以預(yù)見，ELM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型將愈來愈廣泛地應(yīng)用于各行業(yè)、各領(lǐng)域中。

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