油水相對滲透率曲線非線性優(yōu)化校正新方法及其應(yīng)用

楊 超，李彥蘭，徐兵祥，趙慶兵

(1. 中國石油勘探開發(fā)研究院，北京100083; 2. 中海油研究總院，北京100027; 3. 中國石化西北石油局，新疆烏魯木齊830011)

油水相對滲透率曲線受巖石孔隙結(jié)構(gòu)、油水性質(zhì)及相互作用的影響。目前主要確定方法有:實驗室測定(穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài))、經(jīng)驗公式計算、礦場資料計算等，而多以實驗室測定為主［1-5］。然而，實驗室測得的相對滲透率只能代表取心位置處流動特征，并不能反映油藏的整體滲流特征;經(jīng)驗公式和礦場資料計算沒有考慮高含水后期經(jīng)過長期注水沖刷后油藏和原油物性的變化，因此難以與生產(chǎn)動態(tài)數(shù)據(jù)進行匹配。目前已有許多學(xué)者采用統(tǒng)計分析、優(yōu)化等理論綜合利用生產(chǎn)數(shù)據(jù)建立了相對滲透率曲線計算方法，但是目前求取油水相對滲透率曲線方法存在如下個方面局限性:1)統(tǒng)計分析方法［6-7］只適合某一特定區(qū)塊，只針對某一特殊類型油藏進行相對滲透率曲線的修正;2)非線性回歸方法［8-10］計算的相對滲透率曲線存在一定誤差，相對滲透率曲線形態(tài)常出現(xiàn)上凸型，分形幾何方法［11］可以較好地描述相對滲透率曲線形態(tài)，但仍不可避免出現(xiàn)相對滲透率曲線的上凸段;3)方法計算過程復(fù)雜不利于礦場計算［12-14］。

本文基于生產(chǎn)和巖心驅(qū)替數(shù)據(jù)，采用水驅(qū)特征曲線和兩相對滲透率流理論，提出了一種基于非線性優(yōu)化算法和新約束條件的油水相對滲透率曲線校正方法，給出了具體的求解步驟，并采用吐哈油田溫西3 區(qū)塊單井生產(chǎn)數(shù)據(jù)和區(qū)塊歷史擬合后的平均相對滲透率曲線對本文方法進行了驗證。本文提出的相對滲透率曲線校正新方法為研究高含水老油田改善水驅(qū)［15］、提高采收率［16］的滲流規(guī)律提供了方法和依據(jù)。

1 理論含水率-采出程度曲線計算

對于注水開發(fā)油藏來說，原油采出程度取決于注入水體積波及系數(shù)和注入水在孔道中排驅(qū)原油的程度。大量現(xiàn)場資料表明，原油采出程度受儲層的非均質(zhì)性、原油粘度、潤濕性、毛管力、井網(wǎng)密度、注水方式和油井工作制度等多種地質(zhì)和開發(fā)因素的影響［3］。采出程度計算公式為驅(qū)油效率與體積波及系數(shù)的乘積。驅(qū)油效率從微觀上表征原油被注入水清洗的程度，可以采用相對滲透率曲線計算;體積波及系數(shù)表征注入水在油層中的波及程度，一般由宏觀的注采井網(wǎng)和橫向、縱向砂體的連通性決定。

利用相對滲透率曲線可以計算驅(qū)油效率Ed為:

體積波及系數(shù)計算有多種方法，如統(tǒng)計關(guān)系圖版法［6，17］、經(jīng)驗公式方法［18］和水驅(qū)特征曲線方法［1，18］等?？紤]到體積波及系數(shù)是隨時間或含水率變化的量，丙型水驅(qū)特征曲線體現(xiàn)了儲層和流體非均質(zhì)性對生產(chǎn)動態(tài)的綜合反映，因此本文采用丙型水驅(qū)特征曲線計算體積波及系數(shù)。

眾所周知，丙型水驅(qū)特征曲線為:

式中:Lp和Np分別為累積產(chǎn)液量、累積產(chǎn)油量，m3/d;β 和γ 為待定參數(shù)，需要通過生產(chǎn)數(shù)據(jù)擬合得到。經(jīng)過簡單推導(dǎo)得到體積波及系數(shù)Ev為:

聯(lián)合式(1)和式(3)可以得到采出程度R 的理論計算公式為:

利用相對滲透率曲線可以計算油藏含水率fw為:

式中:qo和qw分別為日產(chǎn)油量和日產(chǎn)水量，m3;Kro和Krw分別為油相和水相的相對滲透率，小數(shù);μo和μw分別為油相和水相的粘度，mPa·s。

由相對滲透率曲線和式(4)、式(5)可以確定理論含水率-采出程度曲線。

2 相對滲透率曲線校正方法

通過生產(chǎn)數(shù)據(jù)確定理論含水率-采出程度曲線之后，可通過與實際曲線擬合，校正相對滲透率曲線。相對滲透率為平均含水飽和度的函數(shù)，目前有許多作者提出了相對滲透率曲線與含水飽和度的定量表達式［1］。通過對比分析，最終確定采用如下公式求解不同含水飽和度的相對滲透率:

式中:Sor為殘余油飽和度，小數(shù);m 和n 分別為水相和油相的相對滲透率曲線指數(shù)，與儲層巖石結(jié)構(gòu)和潤濕性有關(guān)，依照一般經(jīng)驗為2～4;α1為殘余油飽和度下水相的相對滲透率，即Krw(Sor);α2為束縛水飽和度下油相的相對滲透率，即Kro(Swi)。

上述公式為Willhite 編著的經(jīng)典教材《Waterflooding》中關(guān)于油水兩相的相對滲透率計算廣泛采用的公式［1］，表明該公式具有較強的適用性。

值得注意的有兩點:①公式中規(guī)定了參數(shù)m 和n的一般經(jīng)驗為2～4，該限定范圍通過實驗室數(shù)據(jù)統(tǒng)計得到，Willhite 在應(yīng)用該公式時也是用于相對滲透率實驗數(shù)據(jù)的擬合回歸，而本文則是在考慮宏觀的油藏生產(chǎn)數(shù)據(jù)的情況下對相對滲透率曲線進行自動擬合，因此不排除存在參數(shù)m 和n 超出該限定范圍的可能性;②盡管公式規(guī)定參數(shù)α1和α2為端點處的相對滲透率(對于給定的相對滲透率數(shù)據(jù)，為固定值)，但正如數(shù)值模擬歷史擬合過程中也常通過微調(diào)相對滲透率曲線端點處的相對滲透率來擬合含水率，本文考慮高含水后期油藏和原油物性的變化以及生產(chǎn)數(shù)據(jù)后，應(yīng)當(dāng)將參數(shù)α1和α2作為可變參數(shù)處理，而不將其設(shè)置為固定的端點相對滲透率透率值。

綜上所述，相對滲透率曲線表達式(6)、式(7)中存在4 個可變參數(shù)，這些參數(shù)與儲層微觀孔隙結(jié)構(gòu)及宏觀生產(chǎn)動態(tài)特征有關(guān)。只要確定了參數(shù)m，n，α1，α2就可通過式(6)和式(7)計算相對滲透率曲線。為此，提出了相對滲透率曲線的校正步驟為:①根據(jù)生產(chǎn)動態(tài)數(shù)據(jù)及水驅(qū)特征曲線，得到實際含水-采出程度曲線;②根據(jù)式(6)、式(7)，結(jié)合初始相對滲透率曲線，得到初始m，n，α1，α2;③根據(jù)式(5)計算含水率，根據(jù)式(4)計算理論采收率，作出理論含水-采出程度曲線;④將理論含水率-采出程度曲線與實際含水率-采出程度曲線進行對比，誤差大時調(diào)整參數(shù)m，n，α1，α2，重復(fù)式(3)-(4);直至達到允許誤差范圍內(nèi)，得到擬合后的m，n，α1，α2;⑤根據(jù)擬合得到的m，n，α1，α2及式(6)、式(7)計算得到校正后的相對滲透率曲線。

下面通過非線性優(yōu)化方法得到上述4 個參數(shù)。

3 有約束的非線性優(yōu)化求解方法

給定含水飽和度分布Swk，問題可以描述為:

約束條件為:

式中:fwcal和fw分別表示理論計算和實際的含水率，小數(shù);Swk表示含水飽和度的第k 個節(jié)點;參數(shù)m，n，α1，α2為待確定參數(shù)。

為了準(zhǔn)確地描述相對滲透率曲線的形態(tài)，引入如下的新的約束條件:

式中:a 和b 為待定參數(shù)，需要通過擬合實測相對滲透率曲線得到。

式(13)兩邊取對數(shù)得到:

該問題的約束條件為非線性的冪函數(shù)，因此式(9)—式(14)構(gòu)成的是有約束的非線性規(guī)劃問題?？赏ㄟ^迭代求解目標(biāo)函數(shù)最小值，即使得理論計算的含水率與實際含水率誤差最小，從而得到所求待定參數(shù):α1，α2，m 和n。

采用著名的廣義既約梯度(GRG，Generalized Reduced Gradient Method)算法求解，該方法是由Abadie和Carpentier 成功地把Wolfe 既約梯度法推廣于求解帶非線性等式約束的情形而得出。數(shù)值實例表明，GRG 法是目前求解約束非線性最優(yōu)化問題的最有效的方法之一。詳細(xì)請參見文獻［19］，這里列出其基本求解步驟。

GRG 主要是通過將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題求解。首先將非線性規(guī)劃中目標(biāo)函數(shù)用非基變量來表示基變量，獲得只包含非基變量的簡約數(shù)學(xué)模型(Economic Mathematical Model)，其迭代格式為:

采用如同梯度法相同的搜索方向進行搜索:

迭代開始后，通過反復(fù)求解線性代數(shù)方程組(15)，直到滿足某一給定的精度要求為止。

4 應(yīng)用實例

吐哈溫西3 區(qū)塊是一個地層傾角7°～16°的斷背斜構(gòu)造，目的層位為中侏羅統(tǒng)三間房組，埋藏深度為2 300～2 600 m，主要為辮狀河三角洲沉積，儲層平均孔隙度15.9%，平均滲透率51 ×10-3μm2，屬于中孔低滲儲層，非均質(zhì)性嚴(yán)重。原油屬弱揮發(fā)輕質(zhì)原油，原油地下粘度為0.626～0.681 mPa·s，油水粘度比接近1。區(qū)塊主體采用強化注采的五點法井網(wǎng)開采，井網(wǎng)密度為40 口/km2。通過生產(chǎn)數(shù)據(jù)回歸，得丙型特征曲線中的待定常數(shù)β=0.575。

該區(qū)塊油水粘度比低，導(dǎo)致水驅(qū)油過程近似活塞式驅(qū)替，絕大多數(shù)產(chǎn)量都在低含水階段采出，一旦見水油井水淹嚴(yán)重，產(chǎn)量急劇下降。因此相對滲透率曲線等滲點之前的低含水采出階段的數(shù)據(jù)對于反映該類型油藏的滲流特征是至關(guān)重要的，然而從該區(qū)塊相對滲透率曲線特征來看，束縛水飽和度與等滲點飽和度之間的相對滲透率數(shù)據(jù)點較少(圖1)，而且利用相對滲透率曲線計算的理論采出程度與實際采出程度差異較大，導(dǎo)致油藏工程計算結(jié)果可靠性低。

下面分別從單井和區(qū)塊角度入手，驗證本文方法計算油水相對滲透率曲線的可靠性。

圖1 巖心實驗測得油水相對滲透率曲線Fig.1 Oil-water relative permeability curves from core experiments

4.1 單井相對滲透率曲線驗證

實驗室測得某巖心的束縛水飽和度0.334 4，殘余油飽和度為0.349 7，油水相對滲透率曲線如圖1 所示。從圖1 中可以看出:原始相對滲透率曲線束縛水飽和度和等滲點飽和度(Sw=0.48)之間的數(shù)據(jù)點缺失，對低含水流動階段的描述能力較差，而輕質(zhì)油油藏絕大多數(shù)的產(chǎn)量在無水采油期或低含水階段采出，采用原始的相對滲透率曲線勢必會造成與生產(chǎn)特征不符。

運用本文的非線性優(yōu)化方法對該井段的生產(chǎn)數(shù)據(jù)擬合，得到待定參數(shù):

通過公式(6)—公式(8)得到油水相對滲透率曲線表達式為:

圖2 校正后油水相對滲透率曲線Fig.2 Oil-water relative permeability curves after correction

圖3 原始相對滲透率和校正后相對滲透率生產(chǎn)數(shù)據(jù)擬合效果對比Fig.3 Comparison of production history fitting effects between the original and corrected oil-water relative permeability

圖2 為通過本文非線性優(yōu)化方法對生產(chǎn)數(shù)據(jù)擬合后得到的油水相對滲透率曲線。從圖中可以看出，校正后的相對滲透率曲線可以反映整個流動階段的特征，有效降低了線性插值的誤差，提高了數(shù)值模擬計算的收斂速度。

為了驗證求得相對滲透率曲線的可靠性，分別采用原始相對滲透率曲線和校正后相對滲透率曲線計算含水率-采出程度關(guān)系與生產(chǎn)數(shù)據(jù)對比(圖3)。圖3中原始相對滲透率曲線與生產(chǎn)數(shù)據(jù)擬合較差，由于早期的數(shù)據(jù)點缺失，理論計算fw-R 曲線在采出程度36%之前沒有數(shù)據(jù)點，開發(fā)后期含水率也與實際情況存在較大差距;校正后的相對滲透率曲線反映了整個流動階段的特征，尤其在采出程度22%之前的低含水采出階段與生產(chǎn)數(shù)據(jù)符合程度較高，雖然個別數(shù)據(jù)點的預(yù)測誤差較大，但都在允許的誤差范圍內(nèi)，偏離的數(shù)據(jù)點可能是由于人為措施造成的含水率波動。

4.2 區(qū)塊平均相對滲透率曲線驗證

為了進一步驗證本文方法的可靠性，選取溫西3區(qū)塊統(tǒng)計關(guān)系式確定原始平均油水相對滲透率曲線和數(shù)值模擬歷史擬合調(diào)整后的油水相對滲透率曲線作為參考，與本文確定出的油水相對滲透率曲線進行對比。

溫西3 區(qū)塊采用非穩(wěn)態(tài)法測定儲油層的油水相對滲透率曲線，綜合巖樣的孔隙結(jié)構(gòu)、油藏巖石的表面潤濕性及油水性質(zhì)等，對獲得的油水相對滲透率曲線進行篩選，選擇7 塊代表性較好的巖樣，獲得了相應(yīng)油藏的平均油水相對滲透率曲線。

圖4 為本文計算相對滲透率曲線(優(yōu)化Krw和優(yōu)化Kro)與原始平均相對滲透率曲線(初始Krw和初始Kro)和歷史擬合相對滲透率曲線(simu-w 和simu-o)的對比圖。

圖4 不同方法獲得的油水相對滲透率曲線對比Fig.4 Oil-water relative permeability curves from different methods

圖5 采用校正后油水相對滲透率曲線計算無因次采液和采油指數(shù)曲線Fig.5 Dimensionless oil and liquid production index curves calculated by using new corrected oil-water relative permeability curves

從圖中可以看出，原始平均相對滲透率曲線中水相對滲透率透率偏低，與生產(chǎn)過程中出現(xiàn)的低采出程度下即達到高含水的事實不符;通過對該區(qū)塊20年生產(chǎn)歷史的擬合校正后，水相對滲透率透率曲線整體提高，殘余油飽和度對應(yīng)的水相對滲透率透率從初始的0.349 8 提高到0.5;本文計算的相對滲透率曲線水相對滲透率透率曲線與歷史擬合較符合，驗證了本文方法的可靠性。

圖5 為采用校正后的相對滲透率曲線計算了該區(qū)塊的無因次采油和采液指數(shù)［20-24］隨含水率變化。從圖中可以看出，含水率小于20%低含水階段無因次采液、采油指數(shù)快速下降，含水率達到20%中含水階段，無因次采液指數(shù)下降幅度不大，而無因次采油指數(shù)仍以較快速度下降;開采后期高含水后期含水率達到90%時，無因次采液指數(shù)有所回升，但上升幅度不大，此時無因次采油指數(shù)非常低，反映了輕質(zhì)油藏開發(fā)后期產(chǎn)液量低、產(chǎn)油量低的特點。

5 結(jié)論

1)提出了一種利用生產(chǎn)動態(tài)數(shù)據(jù)校正油藏相對滲透率曲線的新方法，通過吐哈溫西3 區(qū)塊單井和區(qū)塊驗證表明該方法是可靠的，可以用于缺乏實驗數(shù)據(jù)時對相對滲透率曲線進行估算，也可用作在歷史擬合前對相對滲透率曲線進行預(yù)處理。

2)該方法具有4 個方面的優(yōu)勢:彌補實驗室數(shù)據(jù)缺失的不足，降低數(shù)值模擬對相對滲透率曲線進行線性插值的誤差;需要數(shù)據(jù)量少，僅使用生產(chǎn)產(chǎn)量數(shù)據(jù);可以反映高含水后期物性參數(shù)的變化對開發(fā)動態(tài)的影響;計算的油水相對滲透率曲線形態(tài)良好，克服了曲線上凸。

3)相對滲透率曲線涉及因素較多，實際生產(chǎn)過程含水率中可能包含了其他因素造成的產(chǎn)水量，例如鄰近的注采井網(wǎng)、加密井和井網(wǎng)驅(qū)替面積變化等，這些影響尚未體現(xiàn)在本文校正方法中，需要進一步對這些因素進行研究。

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