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    利用混合巡游方法控制時空混沌

    2013-12-23 06:01:12谷坤明謝偉苗高繼華
    關(guān)鍵詞:巡游控制參數(shù)校正

    谷坤明,謝偉苗,王 宇,高繼華

    深圳大學(xué)材料學(xué)院,深圳市特種功能材料重點實驗室,深圳518060

    混沌控制[1]與混沌同步[2]的先驅(qū)性工作始于20 世紀(jì)90 年代. 由于混沌運動的特性,混沌控制和混沌同步在激光、網(wǎng)絡(luò)安全等領(lǐng)域都有潛在的應(yīng)用價值,是復(fù)雜性研究的重要方向之一[3-11]. 目前,對混沌的研究存在從低維系統(tǒng)向高維系統(tǒng)發(fā)展的趨勢,時空混沌是混沌理論研究的熱點之一[12-21]. 與低維離散系統(tǒng)相比,時空系統(tǒng)模型更接近真實體系,對時空系統(tǒng)的研究可更有效針對實際系統(tǒng)中出現(xiàn)的復(fù)雜性問題,有利于理論向?qū)嶋H應(yīng)用轉(zhuǎn)化. Hu 等[15]利用低維周期反饋信號成功控制了時空混沌系統(tǒng),并建立了局域線性變量反饋(釘扎)方法的解析理論. Gao 等[16]提出廣義反饋方法的概念,并通過局域廣義反饋方法實現(xiàn)了控制時空混沌的數(shù)值實驗. 混沌控制的重點之一是如何在降低控制信號維數(shù)的同時提高可控時空系統(tǒng)維數(shù).Peng 等[17]提出用一組標(biāo)度信號控制超混沌;Xiao等[18]提出用單個控制器通過邊界控制一維偏流時空系統(tǒng);Gao 等[19]提出隨機巡游 (random itinerant)方法,通過單個控制器來控制二維時空系統(tǒng),提高可控時空混沌系統(tǒng)的維數(shù);Gao 等[20]在此基礎(chǔ)上提出校正反饋巡游(rectificative feedback itinerant)方法,進一步提高巡游控制方法的效率,大幅降低了控制器所需的反饋強度. 但是,校正反饋控制方法需實時跟蹤和測量全空間系統(tǒng)變量,不適于某些實際應(yīng)用情形. 本研究采用二維復(fù)金茲堡-朗道方程(complex Ginzburg-Landau equation,CGLE)作為時空混沌模型,提出一種混合巡游方法,增加校正概率作為新的控制參數(shù),既突出了上述兩種巡游方法的優(yōu)點,又增加了巡游反饋方法的適用性.

    1 模型與控制方法

    設(shè)二維CGLE 系統(tǒng)為

    其中,ε 是反饋控制強度;δ(x,y)是二元Dirac 函數(shù),僅當(dāng)x = y = 0 時函數(shù)δ(x,y)≠0,且滿足全空間積分?δ(x,y)dxdy = 1;A^是周期目標(biāo)態(tài),由式(2)確定;xc和yc是反饋控制器所處的空間位置.在隨機反饋巡游方法中,xc和yc每隔時間τ 在系統(tǒng)空間內(nèi)重新隨機選取1 次;在校正反饋巡游方法中,xc和yc每隔時間τ 選取1 次,使它們位于該時刻系統(tǒng)狀態(tài)與目標(biāo)態(tài)差別最大的位置. 這里,τ 為巡游時間. 隨機巡游反饋方法能有效利用低維信號控制高維時空混沌系統(tǒng),但因隨機選擇控制位置,所需控制強度較大,所以控制效率不高;而校正巡游反饋方法雖降低了所需的控制強度,但要及時跟蹤和測量全空間系統(tǒng)變量,并據(jù)此判斷得到系統(tǒng)與目標(biāo)態(tài)差別最大的位置坐標(biāo),所以不適于某些情形. 本研究提出新的時空混沌控制方案,在式(3)中,每個巡游時間τ 以概率q 選擇校正巡游反饋方法,用概率1 - q 選擇隨機巡游反饋方法來控制系統(tǒng). 通過引入新的控制參數(shù)q,在不同場合最大限度地發(fā)揮隨機巡游和校正巡游反饋方法的優(yōu)勢,增加控制方法的靈活性. 這種時空混沌控制方法被稱為混合巡游方法(hybrid itinerant method).

    2 數(shù)值模擬

    通過數(shù)值仿真實驗可驗證混合巡游方法的有效性,并討論校正概率在混沌控制過程中的作用. 控制方程(3)中設(shè)定參數(shù)c1= 2.1、c2= -1.5,則系統(tǒng)處于缺陷湍流態(tài). 系統(tǒng)尺寸為L = 32,目標(biāo)態(tài)在式(2)中取mx= 1、my= 2. 為定量刻畫系統(tǒng)與周期目標(biāo)態(tài)之間的差值,引式(4)的P 函數(shù)來判斷兩者之間的同步程度.

    由式(4)可知,當(dāng)系統(tǒng)未與目標(biāo)態(tài)同步時,P 函數(shù)的值較大,而當(dāng)系統(tǒng)與目標(biāo)態(tài)達到完全同步時,P 函數(shù)的值接近零,則可用P 函數(shù)的值作為標(biāo)準(zhǔn)來判斷系統(tǒng)變量與目標(biāo)態(tài)的同步.

    首先討論隨機巡游反饋和校正巡游反饋方法控制時空混沌的特點. 圖1 (a)和圖1 (b)分別為系統(tǒng)在兩種巡游方法控制下的時空圖,混沌系統(tǒng)均可被完全控制到周期目標(biāo)態(tài). 圖1 (c)和圖1 (d)中分別畫出它們對應(yīng)的P 函數(shù)隨時間的變化情況. 由圖1可見,加入控制后,P 函數(shù)迅速降至接近零的程度,時空混沌在短時內(nèi)被控制到周期態(tài).

    圖1 控制器在t=20 時刻加入系統(tǒng)時,兩種巡游反饋方法控制時空混沌系統(tǒng)的實驗結(jié)果Fig.1 Experimental results of spatiotemporal chaos controlled by two itinerant feedback methods after introducing the controller to the system at t=20

    在相同反饋強度ε 和巡游時間τ 條件下,隨機巡游反饋和校正巡游反饋方法的可控性不同. 在圖2 中,選取ε = 400 及τ = 0.002,并對系統(tǒng)變量的時空圖進行觀察. 從圖2 (a)可見,此時系統(tǒng)未被控制到周期態(tài),加入隨機巡游控制器后系統(tǒng)依然處于混沌態(tài),而在相同的控制參數(shù)條件下,校正反饋巡游方法能把時空混沌引導(dǎo)至目標(biāo)周期態(tài),如圖2(b). 若以P <0.1 作為可控條件,進一步掃描控制參數(shù)空間,在ε-τ 平面內(nèi)搜索可控區(qū)域,則可發(fā)現(xiàn)校正巡游方法的可控區(qū)間比隨機巡游方法的可控區(qū)間大許多,如圖2 (c)和圖2 (d). 采用混合巡游反饋方法并引入校正概率q,可通過調(diào)整q 達到最優(yōu)控制效果. 在某些時空混沌系統(tǒng)中,系統(tǒng)變量隨時間的變化速度較快,此時對系統(tǒng)變量的實時跟蹤和測量變得較困難,每個巡游時間都要考察變量與目標(biāo)態(tài)的差值,且確定控制器坐標(biāo)的成本較高,直接采用校正巡游反饋方法控制混沌并不容易;而在另外一些時空混沌系統(tǒng)中,系統(tǒng)變量隨時間的變化速度較慢,可對系統(tǒng)變量和目標(biāo)態(tài)進行充分地測量和比較,此時可通過提高q 值來發(fā)揮校正巡游反饋方法的優(yōu)勢. 校正概率q 的引入,并非將隨機巡游和校正巡游兩種方法簡單組合,而是要考慮引入不同系統(tǒng)中變量隨時間的變化情況不同,提出一種新的局域反饋控制方法,通過調(diào)整q 值來獲得最優(yōu)化的巡游反饋控制結(jié)果.

    圖2 ε=400,τ=0.002 時,兩種巡游反饋方法的控制結(jié)果Fig.2 Results of spatiotemporal chaos controlled by two itinerant feedback methods for ε=400 and τ=0.002

    采用混合巡游反饋的方法給時空混沌系統(tǒng)注入周期信號,來觀察系統(tǒng)變量隨時間的變化情況. 在q = 0.5、ε = 350 及τ = 0.002 的條件下,系統(tǒng)被成功地控制到目標(biāo)態(tài),如圖3(a). 采用隨機巡游反饋方法,在相同ε 和τ 值下控制時空混沌則是無效的.

    圖3 q=0.5,ε=350,τ=0.002 時,混合巡游反饋方法控制結(jié)果Fig.3 Results of the spatiotemporal chaos controlled by hybriditinerant feedback method for q=0.5,ε=350,and τ=0.002

    在混合巡游方法中,q 是重要的控制參數(shù),以下將討論它對控制結(jié)果的影響. 圖4 顯示了P 函數(shù)隨控制參數(shù)的變化情況. 當(dāng)選取較小的校正概率如q = 0.2 時,系統(tǒng)變量與目標(biāo)態(tài)要達到完全同步,需巡游時間少且反饋強度大,如圖4 (a)和圖4(b). 這說明校正概率較小的條件下,較快的巡游操作和較強的反饋控制更有利于實現(xiàn)混沌控制. 當(dāng)選取較大的校正概率如q = 0.7 時,較慢的巡游操作和較弱的反饋控制也能達到相同的控制效果,如圖4 (c)和圖4 (d). 由圖4 可知,利用巡游方法實現(xiàn)時空混沌控制,存在臨界最大巡游時間τmax和臨界最小反饋強度εmin這兩個關(guān)鍵值. 當(dāng)其他控制參數(shù)固定時,滿足τ <τmax或ε >εmin才能實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)與目標(biāo)態(tài)之間的完全同步.

    圖4 P 函數(shù)隨控制參數(shù)的變化Fig.4 The dependence of P on controlling parameters

    分析校正概率q 與臨界最大巡游時間τmax和臨界最小反饋強度εmin之間的關(guān)系,結(jié)果如圖5. 由混合巡游方法的定義可知,當(dāng)q = 0 時該方法對應(yīng)于隨機巡游反饋方法,而當(dāng)q = 1 時該方法即校正巡游反饋方法. 在實現(xiàn)有效控制時空混沌的前提下,隨機巡游反饋方法所需的反饋強度較大. 從圖5 (a)可見,εmin隨q 的增大呈下降趨勢. 當(dāng)其余控制參數(shù)不變時,成功控制時空混沌所需的巡游時間越大越好,這樣就可在相同的系統(tǒng)演化時間內(nèi)減少控制器進行巡游操作的次數(shù),降低控制成本. 為此,我們進一步分析實現(xiàn)有效控制時空混沌所需的τmax值. 由圖5 (b)可見,τmax隨q 的增大呈上升趨勢.

    圖5 校正概率對εmin和τmax的影響Fig.5 The dependence of εmin and τmax on q

    結(jié) 語

    本研究以二維CGLE 為模型,根據(jù)時空系統(tǒng)的不同特點提出一種混合巡游控制時空混沌的方法,引入校正概率q 并將其作為新的控制參數(shù). 數(shù)值模擬驗證了該方法的有效性,同時分析了校正概率與反饋強度和巡游時間之間的關(guān)系. 在某些時空混沌系統(tǒng)中系統(tǒng)變量隨時間的變化速度比較快,對系統(tǒng)變量的即時跟蹤和測量往往比較困難,直接采用校正巡游反饋方法控制混沌的成本比較高;而在系統(tǒng)變量隨時間的變化速度比較慢的場合,對系統(tǒng)變量和目標(biāo)態(tài)進行測量和比較的成本較低,則可提高校正概率來發(fā)揮校正巡游反饋方法的優(yōu)勢. 通過調(diào)整校正概率q,針對不同的時空系統(tǒng)進行控制器的巡游操作也有不同的要求. 混合巡游方法考慮不同系統(tǒng)中變量隨時間的變化特點,可更靈活地面向時空混沌的實際應(yīng)用.

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