Stewart 型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的振動(dòng)建模與分析*

孫國(guó)立，楊曉鈞

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，哈爾濱 150001)

0 引言

并聯(lián)運(yùn)動(dòng)機(jī)床是Stewart 型并聯(lián)機(jī)構(gòu)在現(xiàn)代工業(yè)中的一個(gè)重要應(yīng)用領(lǐng)域。為實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)床較好的加工精度、運(yùn)動(dòng)性能以及保證其較高的控制精度，Stewart 型并聯(lián)機(jī)構(gòu)振動(dòng)特性的研究就顯得格外重要。Gosselin［1］研究了并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)與各個(gè)支鏈之間的剛度映射關(guān)系。Miller 等人［2］運(yùn)用拉格朗日法建立了Stewart 機(jī)構(gòu)閉環(huán)形式的動(dòng)力學(xué)方程。J. Wang 等人［3］以及B. Dasgupta 等人［4］分別運(yùn)用牛頓歐拉法和虛功原理建立了機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程。Chen［5］研究了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度特性及其穩(wěn)定性。Seling 和Ding［6］在將液壓缸看作彈簧阻尼系統(tǒng)并且假設(shè)各支鏈無(wú)阻尼的前提下，得到了Stewart 平臺(tái)的線性方程，用以研究機(jī)構(gòu)的振動(dòng)特性。Kim［7］提出了一種被動(dòng)控制策略，主要應(yīng)用于Stewart 平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)誤差控制。Cheng 等人［8］給出了Gough-Stewart 平臺(tái)的多體系統(tǒng)模型來(lái)進(jìn)行振動(dòng)控制，以減少風(fēng)對(duì)電波望遠(yuǎn)鏡的干擾。然而，這些振動(dòng)模型應(yīng)用于控制算法設(shè)計(jì)中都太過(guò)簡(jiǎn)化，不適合對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行較為精確的振動(dòng)分析與控制。在本文中，首先對(duì)Stewart 型并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，之后建立了該機(jī)構(gòu)的振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，最后對(duì)其振動(dòng)特性進(jìn)行研究，得出了該機(jī)構(gòu)固有頻率的變化特性。

1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

Stewart 型并聯(lián)機(jī)構(gòu)主要由動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)和驅(qū)動(dòng)桿組成，如圖1 所示。上平臺(tái)為定平臺(tái)，與機(jī)床床身固定在一起。下平臺(tái)為動(dòng)平臺(tái)，即加工平臺(tái)，銑刀及夾具固定于動(dòng)平臺(tái)的中心處。動(dòng)平臺(tái)與定平臺(tái)之間通過(guò)可以伸縮的驅(qū)動(dòng)桿來(lái)連接，其中動(dòng)平臺(tái)與驅(qū)動(dòng)桿通過(guò)球鉸連接，定平臺(tái)和驅(qū)動(dòng)桿通過(guò)萬(wàn)向節(jié)連接。通過(guò)調(diào)節(jié)各個(gè)驅(qū)動(dòng)桿的長(zhǎng)度，動(dòng)平臺(tái)可以實(shí)現(xiàn)不同的位置和姿態(tài)。

圖1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

此并聯(lián)機(jī)床有六個(gè)自由度，包括三個(gè)線性平移自由度和三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。在研究并聯(lián)機(jī)床兩平臺(tái)之間的位姿關(guān)系時(shí)，建立了兩套坐標(biāo)系，他們分別是定坐標(biāo)系(也叫參考坐標(biāo)系)和動(dòng)坐標(biāo)系。定坐標(biāo)系O-XYZ 用A 來(lái)表示，固定于定平臺(tái)上。動(dòng)坐標(biāo)系o-xyz用B 來(lái)表示，固定于動(dòng)平臺(tái)的中心上，隨著動(dòng)平臺(tái)一起運(yùn)動(dòng)，如圖1 所示。

動(dòng)平臺(tái)在參考系中的位置可以用向量p =(X，Y，Z)來(lái)表示，即動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)o 在參考坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)。動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于定坐標(biāo)系的姿態(tài)可以用旋轉(zhuǎn)矩陣ABRzxz來(lái)表示。旋轉(zhuǎn)矩陣可以通過(guò)歐拉角求得:

式中s 和c 分別表示正弦和余弦函數(shù)，α、β 和γ 為歐拉角。

根據(jù)圖1，鉸接點(diǎn)Bi在動(dòng)坐標(biāo)系o-xyz 下的坐標(biāo)可以表示為BBi=(xBi，yBi，zBi)T，將其在參考坐標(biāo)系下表示:

桿i 的桿長(zhǎng)向量可通過(guò)下式得出:

其中Ai為定平臺(tái)上鉸接點(diǎn)Ai在參考坐標(biāo)系下的位置向量，那么桿長(zhǎng)Li為:

則各桿沿著桿長(zhǎng)軸線方向的單位方向矢量為:

Bi點(diǎn)的速度可以通過(guò)對(duì)式(2)求導(dǎo)得到:

上式還可以表示成如下形式:

將其化為矩陣形式可得:

對(duì)于全部六根桿，可以寫成下列形式:

簡(jiǎn)記:

其中:

［J］－1是機(jī)構(gòu)的逆速度雅可比矩陣，反應(yīng)了末端速度到關(guān)節(jié)速度的映射關(guān)系。

2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的振動(dòng)模型

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)及固定平臺(tái)的剛度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于支鏈的剛度，故可將其看作為剛體［9］。為了得到機(jī)構(gòu)的振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程，假定驅(qū)動(dòng)桿、球鉸和萬(wàn)向節(jié)為彈性元件，并且假設(shè)運(yùn)動(dòng)副之間足夠光滑，可忽略這些運(yùn)動(dòng)副之間的摩擦力。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的振動(dòng)特性很大程度上受到動(dòng)平臺(tái)位姿的影響，而此型并聯(lián)機(jī)構(gòu)有6 個(gè)自由度，位姿千變?nèi)f化，這就增加了研究的難度。

基于以上假設(shè)，提出了Stewart 型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的振動(dòng)模型，如圖2 所示。由于機(jī)構(gòu)的6 個(gè)驅(qū)動(dòng)桿是完全相同的，所以僅畫出了一條支鏈的振動(dòng)模型。

圖2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)振動(dòng)模型簡(jiǎn)圖

圖中Mp和Ip分別為動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣;m2i和m3i(i=1，…，6)分別表示驅(qū)動(dòng)桿上桿和下桿的質(zhì)量;K1i，K2i，K3i，K4i和K5i分別表示萬(wàn)向節(jié)、驅(qū)動(dòng)桿上桿、滑動(dòng)副、驅(qū)動(dòng)桿下桿和球鉸的剛度系數(shù);C1i，C2i，C3i，C4i和C5i分別代表萬(wàn)向節(jié)、驅(qū)動(dòng)桿上桿、滑動(dòng)副、驅(qū)動(dòng)桿下桿和球鉸的阻尼系數(shù)。假設(shè)s1i、s2i、s3i、s4i和s5i表示萬(wàn)向節(jié)、驅(qū)動(dòng)桿上桿、滑動(dòng)副、驅(qū)動(dòng)桿下桿和球鉸的形變。

建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)的振動(dòng)方程之前，首先應(yīng)分析各個(gè)桿件與動(dòng)平臺(tái)之間的受力關(guān)系，圖3 為機(jī)構(gòu)的受力分析圖。

在圖中，BFex和BTex分別表示作用于動(dòng)平臺(tái)銑刀上的外部力和外部力矩。

動(dòng)平臺(tái)的牛頓方程和歐拉方程分別為:

圖3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的受力分析圖

式中，φ = (α，β，γ)，rBi表示動(dòng)平臺(tái)球鉸的位置矢量，Bro表示銑刀受力點(diǎn)的位置矢量。

由于支鏈的各個(gè)元素之間是串聯(lián)關(guān)系，可得:

又因?yàn)?

式中cei和kei為桿i 的等效阻尼系數(shù)和剛度系數(shù)。

由以上各式可得:

定義q = [ p φ]T，聯(lián)立式10、12－2 即可得到Stewart 型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程:

3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的振動(dòng)特征研究

下面來(lái)研究Stewart 型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的振動(dòng)特性，假設(shè)該機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)副采用滾珠絲杠副。首先，定義該機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)和剛度系數(shù)。對(duì)于驅(qū)動(dòng)桿上桿和下桿的剛度，可以通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算求得，至于萬(wàn)向節(jié)與進(jìn)給滾珠絲杠副的剛度系數(shù)可以參考文獻(xiàn)［10］和文獻(xiàn)［11］。表1 列出了該機(jī)構(gòu)的相關(guān)參數(shù)。

表1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的有?關(guān)參數(shù)

(續(xù)表)

表2 是并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)14 種位姿下的位置坐標(biāo)和姿態(tài)角。

表2 動(dòng)平臺(tái)的位置與姿態(tài)角

根據(jù)給出的機(jī)床參數(shù)，結(jié)合該機(jī)構(gòu)的振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程，即可求得各個(gè)姿態(tài)下的固有頻率。表3 為所列的14 種動(dòng)平臺(tái)位姿下的固有頻率。

表3 動(dòng)平臺(tái)各姿態(tài)下的固有頻率

為了驗(yàn)證所建立模型的正確性與否，下面利用ANSYS 軟件進(jìn)行有限元分析驗(yàn)證說(shuō)明。按照上述參數(shù)建立了該型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的三維模型，然后導(dǎo)入ANSYS中進(jìn)行網(wǎng)格劃分和計(jì)算分析。圖4 為劃分網(wǎng)格后的有限元模型。

在劃分完網(wǎng)格建立有限元模型后，即可進(jìn)行模態(tài)分析，根據(jù)表2 所列的各個(gè)動(dòng)平臺(tái)位姿進(jìn)行分析。圖5 為有限元計(jì)算的一個(gè)示例。

圖4 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的有限元模型

圖5 ANSYS 計(jì)算示例

表4 即為利用ANSYS 軟件計(jì)算所得的14 種位姿下的固有頻率值。

表4 ANSYS 運(yùn)算得到的固有頻率

對(duì)比ANSYS 計(jì)算的仿真值與理論推導(dǎo)值，可以發(fā)現(xiàn)兩者相差不大，充分驗(yàn)證了所建立的振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型的正確性。根據(jù)所列的各個(gè)位姿下的固有頻率，得到了該機(jī)構(gòu)的固有頻率分布圖。通過(guò)分布圖可以清晰地看出不同位置姿態(tài)下的固有頻率變化情況，如圖6所示。

通過(guò)表2、3 和表4 的數(shù)據(jù)分析及圖6 的變化趨勢(shì)可知，工作平臺(tái)的固有振動(dòng)頻率和動(dòng)平臺(tái)的位姿有著很大的關(guān)系。位姿不同，則該機(jī)構(gòu)的固有振動(dòng)頻率將發(fā)生很大的變化。這與傳統(tǒng)的加工機(jī)床有著很大的區(qū)別，傳統(tǒng)加工機(jī)床的各階固有頻率基本上穩(wěn)定的，不會(huì)有明顯的變化。

圖6 機(jī)構(gòu)的各階固有頻率分布圖

同樣姿態(tài)的條件下，當(dāng)動(dòng)平臺(tái)遠(yuǎn)離定平臺(tái)的，機(jī)構(gòu)的固有頻率有下降的趨勢(shì)，即動(dòng)平臺(tái)的位置越低，固有頻率越低。因此高的切削速度可以防止切削加工的切削不穩(wěn)定性，這一特性也正說(shuō)明了為何并聯(lián)機(jī)床更適合進(jìn)行高速切削加工這一特點(diǎn)。但是其位置較低時(shí)，機(jī)床的剛度相對(duì)于高位置時(shí)較小，故適合進(jìn)行小切削量的高速精加工。當(dāng)動(dòng)平臺(tái)的中心位置相同時(shí)，動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)與定平臺(tái)姿態(tài)不重合時(shí)的前幾階固有頻率要比重合時(shí)高。當(dāng)動(dòng)平臺(tái)高度和姿態(tài)恒定時(shí)，并聯(lián)機(jī)床的前幾階固有頻率隨著動(dòng)平臺(tái)在水平面上移動(dòng)而降低，并且移動(dòng)的位移越大，降低得越多。這些特性對(duì)于并聯(lián)機(jī)床銑削加工具有重要的指導(dǎo)意義。

4 結(jié)論

通過(guò)對(duì)Stewart 型并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，得到了該機(jī)構(gòu)的Jacobian 矩陣。將機(jī)床的驅(qū)動(dòng)桿、球鉸和萬(wàn)向節(jié)視為彈性元件，并且忽略這些運(yùn)動(dòng)副之間的摩擦力，運(yùn)用牛頓歐拉法對(duì)其進(jìn)行力學(xué)分析，得到了Stewart型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程。最后研究了該機(jī)構(gòu)的振動(dòng)特性。

在動(dòng)平臺(tái)中心位置不變的情況下，動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)與定平臺(tái)姿態(tài)不重合時(shí)的前幾階固有頻率要比重合時(shí)高。當(dāng)動(dòng)平臺(tái)高度和姿態(tài)恒定時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的前幾階固有頻率隨著動(dòng)平臺(tái)在水平面上移動(dòng)而降低，并且移動(dòng)的位移越大，降低的幅度越大。同樣姿態(tài)的條件下，動(dòng)平臺(tái)的位置越低，固有頻率也相應(yīng)越低，因此并聯(lián)機(jī)床更適合進(jìn)行高速切削加工。

通過(guò)分析可知，與傳統(tǒng)機(jī)床不同，并聯(lián)運(yùn)動(dòng)機(jī)床在切削加工過(guò)程中，隨著工作平臺(tái)的位姿變化，其固有振動(dòng)頻率有很大的不同。所以在進(jìn)行 并聯(lián)床結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)要充分考慮到所要求的剛度和固有頻率指標(biāo)，適當(dāng)調(diào)整機(jī)構(gòu)參數(shù)。

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