可導性缺失情況下函數(shù)單調(diào)性的研究

歐陽露莎，劉敏思

(1 中南民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院，武漢 430074; 2 華中師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院，武漢 430079)

1 定義及引理

定義1[4-7]設(shè)f(x)定義在區(qū)間(a,b)內(nèi)，x∈(a,b)，若極限：

，

存在，則稱f(x)在x處對稱可導(或Schwarz可導)，其極限值稱為f(x)在x處的對稱導數(shù)，記為fs(x)．若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)每一點的對稱導數(shù)都存在，則稱f(x)在(a,b)內(nèi)對稱可導．

定義2 設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，E?I，mE=0，若mf(E)=0，則稱E是I中相對于f具有N—性質(zhì)的集合，簡稱E相對f具有N—性質(zhì)，其中mE表示E的Lebesgue測度，f(E)={f(x):x∈E}．

易得，對于區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)f(x)，I中總存在相對于f(x)具有N—性質(zhì)的集合，例如空集，I的至多可數(shù)子集等就是這樣的集合．

證明對于任意μ∈(f(d),f(c))，記x0=sup{x∈[c,d]|f(x)≥μ}，顯然x0

事實上，假設(shè)f(x0)>μ，則f(x0)>μ>f(d)，由連續(xù)函數(shù)的介值性，存在x1∈(x0,d)，使得f(x1)=μ，從而x1∈{x∈[c,d]|f(x)≥μ}，這與x0=sup{x∈[c,d]|f(x)≥μ}矛盾，故必有f(x0)=μ．

由x0=sup{x∈[c,d]|f(x)≥μ}知，對任意x∈(x0,d)，有f(x)<μ，從而對任意x0+Δx∈(x0,d)，

所以:

所以，x0∈E．故μ=f(x0)∈f(E)，再由μ的任意性，(f(d),f(c))?f(E)．

引理2 設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，記E1={x∈(a,b)|fs(x)≤0或fs(x)不存在}?I，若c,d∈[a,b](其中cf(d)，則(f(d),f(c))?f(E1)．

證明對于任意μ∈(f(d),f(c))，記x0=sup{x∈[c,d]|f(x)≥μ}，類似于引理1的方法可得，x0

下證x0∈E1．事實上，由x0=sup{x∈[c,d]|f(x)≥μ}知，對任意x∈(x0,d)，有f(x)<μ，再注意到f(c)>μ=f(x0)，還有存在rn→0+，使得x0-rn∈{x∈[c,d]|f(x)≥μ}且x0

故fs(x0)≤0或fs(x0)不存在，從而x0∈E1．再由μ的任意性，(f(d),f(c))?f(E1)．

定義3[8]設(shè)f(x)是[a,b]上的函數(shù)，若對任意ε>0，恒有δ>0，使得對[a,b]上的任意一組分點

a≤a1

引理3 若函數(shù)f(x)在[a,b]上絕對連續(xù)，E?[a,b]，且mE=0，則E相對f一定具有N—性質(zhì)．

E{a,b}?G?(a,b)且

mG

由連續(xù)函數(shù)的介值性，我們選ci,di∈[ai,bi]，使得f([ai,bi])=[f(ci),f(di)]，注意到：

可得:

0≤m*f(E)=m*f(E{a,b})≤m*f(G)≤

由ε的任意性可知m*f(E)=0，所以mf(E)=0，即E相對f一定具有N—性質(zhì)．

2 主要定理及證明

證明由于f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，我們只須證明I為開區(qū)間時，f(x)在I上嚴格單調(diào)遞增即可．以下證明都假設(shè)I為開區(qū)間．

倘若f(x)在I上不嚴格單調(diào)遞增，則至少存在兩點c,d∈I(c

下面分兩種情形來導出矛盾：

10當f(c)>f(d)時，由引理1得，(f(d),f(c))?f(E0)?f(E)，所以：

m*f(E)≥f(c)-f(d)>0，

這顯然與E相對f具有N—性質(zhì)矛盾．

20當f(c)=f(d)時，

若f(x)在[c,d]上不恒為常數(shù)，則必存在η∈(c,d)，使得f(c)=f(d)≠f(η)．當f(c)>f(η)時，由引理1得，(f(η)，f(c))?f(E0)?f(E),所以m*f(E)≥f(c)-f(η)>0，這與E相對f具有N—性質(zhì)矛盾．當f(c)f(d)，同理可得，m*f(E)>0，這也與E相對f具有N—性質(zhì)矛盾．

綜合10、20得，對于?x1,x2∈I，當x1

證明對任意ε>0，作函數(shù)F(x)=f(x)+εx，由條件易得，F(xiàn)(x)在I上連續(xù)，且在IE上，

由定理1，F(xiàn)(x)在I上嚴格單調(diào)遞增，所以對任意x1，x2∈I,x1

f(x1)+εx1=F(x1)

從而讓ε→0得，f(x1)≤f(x2)，即f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增．

推論2 設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，E為I的至多可數(shù)子集，

證明因為E為至多可數(shù)集，則f(E)必為至多可數(shù)集，從而E相對f具有N—性質(zhì)，所以，由定理1和推論1即得結(jié)論．

注：推論2中，當E=?時，就是文獻[2,3]中的結(jié)論．

推論3 設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上絕對連續(xù)，若f′(x)>0 a.e.于[a,b](f′(x)≥0 a .e于[a,b])，則f(x)在區(qū)間[a,b]上嚴格單調(diào)遞增(單調(diào)遞增)．

證明記E是[a,b]上不滿足f′(x)>0的點所成的集，由條件知，mE=0，再由引理3，定理1和推論1即可證明結(jié)論成立．

定理2 設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，E?I，且E相對f具有N—性質(zhì)，若f(x)在IE上滿足：fs(x)>0，則f(x)在區(qū)間I上嚴格單調(diào)遞增．

證明類似于定理1，我們僅證I為開區(qū)間的情形．

倘若f(x)在I上不嚴格單調(diào)遞增，則至少存在兩點c,d∈I(c

記E0={x∈I|fs(x)≤0或fs(x)不存在}，由條件知E0?E，從而f(E0)?f(E)．

下面分兩種情形來導出矛盾.

10當f(c)>f(d)時，由引理2得，(f(d),f(c))?f(E0)?f(E)，所以:

m*f(E)≥f(c)-f(d)>0，

這與E相對f具有N—性質(zhì)矛盾．

若f(x)在[c,d]上不恒為常數(shù)，則必存在η∈(c,d)，使得f(c)=f(d)≠f(η)．當f(c)>f(η)時，由引理2得，(f(η),f(c))?f(E0)?f(E)，所以m*f(E)≥f(c)-f(η)>0，這也與E相對f具有N—性質(zhì)矛盾．當f(c)f(d)，同理可得矛盾．

綜合10、20得，對于?x1,x2∈I，當x1

推論4 設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，E?I，且E相對f具有N—性質(zhì)，若f(x)在IE上滿足：fs(x)≥0，則f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增．

證明對任意ε>0，作函數(shù)F(x)=f(x)+εx，類似于推論1的方法由定理2即可得結(jié)論．

推論5 設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，E為I的至多可數(shù)子集，

(1)若f(x)在IE上滿足：fs(x)>0，則f(x)在區(qū)間I上嚴格單調(diào)遞增;

(2)若f(x)在IE上滿足：fs(x)≥0，則f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增．

證明因為E為至多可數(shù)集，則f(E)必為至多可數(shù)集，從而E相對f具有N—性質(zhì)，所以，由定理2和推論4即得結(jié)論．

注：推論5中，當E=?時，就是文獻[5,6]中的結(jié)論．

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