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    非連通圖C3(m,0,0)∪G的優(yōu)美性

    2013-12-21 13:26:14吳躍生
    關(guān)鍵詞:標(biāo)號(hào)端點(diǎn)頂點(diǎn)

    吳躍生

    (華東交通大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院,江西南昌330013)

    1 引言與概念

    本文所討論的圖均為無(wú)向簡(jiǎn)單圖,V(G)和E(G)分別表示圖G的頂點(diǎn)集和邊集,記號(hào)[m,n] 表示整數(shù)集合{m,m+1,…,n} ,其中m和n均為非負(fù)整數(shù),且滿(mǎn)足0 ≤m<n。未說(shuō)明的符號(hào)及術(shù)語(yǔ)均同文[1]。圖的優(yōu)美標(biāo)號(hào)問(wèn)題是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)熱門(mén)課題[1-10]。

    定義1[1]對(duì)于一個(gè)圖G=(V,E)如果存在一個(gè)單射θ:V(G)→[0,|E(G)|]使得對(duì)所有邊e=(u,v)∈E(G),由θ′(e)=|θ(u)-θ(v) |導(dǎo)出的E(G)→[1,|E(G) |]是一個(gè)雙射,則稱(chēng)G是優(yōu)美圖,θ是G的一組優(yōu)美標(biāo)號(hào),稱(chēng)θ′為G的邊上的由θ導(dǎo)出的誘導(dǎo)值。

    定義2[1]設(shè)f為G的一個(gè)優(yōu)美標(biāo)號(hào),如果存在一個(gè)正整數(shù)k,使得對(duì)任意的uv∈E(G)有

    f(u)>k≥f(v)或f(u)≤k<f(v)

    成立,則稱(chēng)f為G的平衡標(biāo)號(hào)(或稱(chēng)G有平衡標(biāo)號(hào)f),且稱(chēng)k為f的特征。圖G稱(chēng)為平衡二分圖(balanced bipartite graph)。

    顯然,若f為G的平衡標(biāo)號(hào),則k是邊導(dǎo)出標(biāo)號(hào)為1的邊的兩個(gè)端點(diǎn)中標(biāo)號(hào)較小的頂點(diǎn)的標(biāo)號(hào)。

    定義3[1]在平衡二分圖G中,設(shè)其優(yōu)美標(biāo)號(hào)θ的特征為k,并且θ(u0)=k,θ(v0)=k+1,則稱(chēng)u0為G的二分點(diǎn),v0為G的對(duì)偶二分點(diǎn)。

    定義4[2]G是一個(gè)優(yōu)美二部圖,其優(yōu)美標(biāo)號(hào)為θ,V(G)劃分成兩個(gè)集合X,Y,如果,則稱(chēng)θ是G的交錯(cuò)標(biāo)號(hào)。稱(chēng)G是在交錯(cuò)標(biāo)號(hào)θ下的交錯(cuò)圖。

    定義5[3-4]V(G)={v1,v2,…,vn}的每個(gè)頂點(diǎn)vi都粘接了ri條懸掛邊(ri為自然數(shù),i=1,2,…,k)所得到的圖,稱(chēng)為圖G的(r1,r2,…,rn) -冠,簡(jiǎn)記為G(r1,r2,…,rn)。特別地,當(dāng)r1=r2=…=rn=r時(shí),稱(chēng)為圖G的r-冠。圖G的0-冠就是圖G。

    本文討論了非連通圖C3(m,0,0)?G的優(yōu)美性。

    2 主要結(jié)果及其證明

    定理1設(shè)G是一個(gè)p條邊的優(yōu)美圖,g是G的優(yōu)美標(biāo)號(hào),p-1 不是g的標(biāo)號(hào)值,h是圖H特征為k的交錯(cuò)標(biāo)號(hào),k+2 不是h的標(biāo)號(hào)值(k+2 <q,|E(H)| =q)則非連通圖G?H存在k+1 不是其標(biāo)號(hào)值的優(yōu)美標(biāo)號(hào)。特別地,當(dāng)G是交錯(cuò)圖時(shí),則非連通圖G?H存在k+1不是其標(biāo)號(hào)值的交錯(cuò)標(biāo)號(hào)。

    證設(shè)X,Y是交錯(cuò)圖H的一個(gè)二分化,且=k+1,|E(H) |=q。

    定義非連通圖G?H的頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)θ為

    下面證明θ是非連通圖G?H的優(yōu)美標(biāo)號(hào)。

    1)θ:X→[0,k]是單射(或雙射);θ:Y→[k+1+p,p+q]-{k+2+p}是單射(或雙射);θ:V(G)→[k+2,k+2+p]-{k+1+p}是單射(或雙射);容易驗(yàn)證:θ:V(G?H)→[0,p+q]-{k+1}是單射(或雙射)。

    2)θ′:E(G)→[1,p]是雙射。θ′:E(H)→[p+1,p+q]是雙射容易驗(yàn)證:θ′:E(G?H)→[1,p+q]是一一對(duì)應(yīng)。

    由1)和2)可知θ就是非連通圖G?H的缺k+1標(biāo)號(hào)值的優(yōu)美標(biāo)號(hào)。

    特別地,當(dāng)G是交錯(cuò)圖時(shí),設(shè)X1,Y1是圖G的一個(gè)二分化,且=k1+1 ,令X2=X?X1,Y2=Y?Y1,有=k1+k+2 <=k1+k+3 則非連通圖G?H存在k+1不是其標(biāo)號(hào)值的特征為k1+k+2 的交錯(cuò)標(biāo)號(hào)。證畢。

    引理1對(duì)任意自然數(shù)m,C3(m,0,0)存在缺標(biāo)號(hào)值m+2 的優(yōu)美標(biāo)號(hào)。

    證設(shè)圈C3的頂點(diǎn)依次為v1,v2,v3,與頂點(diǎn)v1鄰接的端點(diǎn)(或葉)記為x1,j(j=1,2,…,m),定義非連通圖C3(m,0,0) 的頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)θ為:θ(v1)=3+m,θ(v2)=m,θ(v3)=m+1,θ(x1,j)=m-j,j=1,2,…,m,(當(dāng)m=0 時(shí),θ(x1,j)=θ(v1))。

    容易驗(yàn)證:θ就是C3(m,0,0)缺標(biāo)號(hào)值m+2 的優(yōu)美標(biāo)號(hào)。

    定理2對(duì)任意自然數(shù)m,圖G是特征為k且缺k+2 標(biāo)號(hào)值的交錯(cuò)圖(k+2 <q,|E(G)| =q),則非連通圖存在缺標(biāo)號(hào)值k+1的兩種不同的優(yōu)美標(biāo)號(hào)。

    證由定理1 和引理1,可給出非連通圖C3(m,0,0)?G的第一種優(yōu)美標(biāo)號(hào),下面給出非連通圖C3(m,0,0)?G的第二種優(yōu)美標(biāo)號(hào)。

    設(shè)圈C3的頂點(diǎn)依次為v1,v2,v3,與頂點(diǎn)v1鄰接的端點(diǎn)(或葉)記為x1,j(j=1,2,…,m),設(shè)X,Y是圖G的一個(gè)二分化,θ1是圖G的交錯(cuò)標(biāo)號(hào),且=k+1。

    定義非連通圖C3(m,0,0)?G的頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)θ為

    θ(v1)=k+2,θ(v2)=3+k,θ(v3)=5+k+m,θ(x1,j)=3+k+j,j=1,2,…,m,(當(dāng)m=0 時(shí),θ(x1,j)=θ(v1)),

    下面證明θ是非連通圖C3(m,0,0)?G的優(yōu)美標(biāo)號(hào)。

    1)θ:X→[0,k]是單射(或雙射);θ:Y→[k+m+4,q+m+3]-{k+m+5}是單射(或雙射);θ:V(C3(m,0,0)) →[k+2 ,k+m+3]?k+m+5 是雙射;容易驗(yàn)證:θ:V(C3(m,0,0)?G)→[0,q+m+3]-{k+1}是單射(或雙射)。

    2)=1+j,j=1,2,…,m;=1,=2+m,=3+m,:E(C3(m,0,0))→[1,m+3]是雙射;:E(G)→[m+4,q+m+3]是雙射。

    由1)和2)可知θ就是非連通圖C3(m,0,0)?G的缺k+1標(biāo)號(hào)值的優(yōu)美標(biāo)號(hào)。證畢。

    例1由定理2可得非連通圖C3(4,0,0)?C4缺標(biāo)號(hào)值2的第一種優(yōu)美標(biāo)號(hào)為:C3(4,0,0):10(3,4,5,6),7,8;C4:0,11,1,9;由定理2可得非連通圖C3(4,0,0)?C4缺標(biāo)號(hào)值2的第二種優(yōu)美標(biāo)號(hào)為:C3(4,0,0):3(5,6,7,8),4,10;C4:0,11,1,9。

    引理2[1]對(duì)任意自然數(shù)m,n,當(dāng)m≥2,n≥2 時(shí),完備二分圖Km,n存在特征為m-1 且缺m+1 標(biāo)號(hào)值的交錯(cuò)標(biāo)號(hào)。

    證設(shè)完備二分圖Km,n的頂點(diǎn)二分劃為V1,V2,V1={v1,v2,…,vm},V2={u1,u2,…,un},令

    θ(vi)=i-1,θ(vi)=i-1,i=1,2,…,m,θ(ui)=im,i=1,2,…,n

    容易驗(yàn)證:對(duì)任意自然數(shù)m,n,當(dāng)m≥2,n≥2 時(shí),完備二分圖Km,n存在特征為m-1 且缺m+1 標(biāo)號(hào)值的交錯(cuò)標(biāo)號(hào)。

    由引理2和定理2,有

    推論3對(duì)任意自然數(shù)h,m,n,當(dāng)m≥2,n≥2 時(shí),非連通圖C3(m,0,0)?Km,n存在且缺標(biāo)號(hào)值m的兩種不同的優(yōu)美標(biāo)號(hào)。

    例2由推論3可得C3(4,0,0)?K3,2缺標(biāo)號(hào)值3的兩種不同的優(yōu)美標(biāo)號(hào)如圖1所示。

    圖1 非連通圖C3(4,0,0)?K3,2 的兩種優(yōu)美標(biāo)號(hào)Fig.1 The graceful labeling of C3(4,0,0)?K3,2

    我們把順序有一個(gè)公共點(diǎn)的m個(gè)C4的連通并圖記作Fm,4[1]。

    引理3[1]對(duì)任意自然數(shù)m,圖Fm,4存在特征為m且缺m+2 標(biāo)號(hào)值的交錯(cuò)標(biāo)號(hào)。

    由引理3和定理2,有

    推論4對(duì)任意自然數(shù)m,n,非連通圖C3(m,0,0)?Fn,4存在缺標(biāo)號(hào)值n+1的兩種不同的優(yōu)美標(biāo)號(hào)。

    例3由推論4可得C3(4,0,0)?F3,4缺標(biāo)號(hào)值4的兩種不同的優(yōu)美標(biāo)號(hào)如圖2所示。

    圖2 非連通圖C3(4,0,0)?F3,4 的兩種優(yōu)美標(biāo)號(hào)Fig.2 The graceful labeling of C3(4,0,0)?F3,4

    我們把m個(gè)C4間順序加一條邊的圖記作∧C4,m[1]。

    引理4[1]對(duì)任意自然數(shù)m,圖∧C4,m存在特征為2m-1且缺2m+1標(biāo)號(hào)值的交錯(cuò)標(biāo)號(hào)。

    由引理4和定理2,有

    推論4對(duì)任意自然數(shù)m,n,非連通圖C3(m,0,0)?∧C4,n存在缺標(biāo)號(hào)值2n的兩種不同的優(yōu)美標(biāo)號(hào)。

    例4由推論4可得C3(4,0,0)?∧C4,2缺標(biāo)號(hào)值4的兩種不同的優(yōu)美標(biāo)號(hào)如圖3所示。

    圖3 非連通圖C3(4,0,0)ΛC4,2 的兩種優(yōu)美標(biāo)號(hào)Fig.3 The graceful labeling of C3(4,0,0)ΛC4,2

    引理5[1]對(duì)任意自然數(shù)a,b,圖C4(a,0,b,0)存在特征為1且缺3 標(biāo)號(hào)值的交錯(cuò)標(biāo)號(hào)。

    證設(shè)C4上的頂點(diǎn)依次為u1,u2,u3,u4,與頂點(diǎn)u1鄰接的端點(diǎn)(或葉)記為y1,j,j=1,2,…,a,與頂點(diǎn)u3鄰接的端點(diǎn)(或葉)記為y3,j,j=1,2,…,b。

    定義C4(a,0,b,0) 的頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)θ為:θ(u1)=0,θ(u3)=1,θ(u4)=2 ,θ(y1,j)=5+a+b-j,j=1,2,…,a,(當(dāng)a=0 時(shí),θ(y1,j)=θ(u1)),θ(u2)=4+b,θ(y3,j)=4+b-j,j=1,2,…,b,(當(dāng)b=0 時(shí),θ(y3,j)=θ(u3))。

    下面證明θ是C4(a,0,b,0)的優(yōu)美標(biāo)號(hào)。

    1)容易驗(yàn)證:θ:V(C4(a,0,b,0))→[0,4+a+b]-{3}是一一映射。

    2)(u1u2)=|θ(u1)-θ(u2)|=4+b,(u3u2)=|θ(u3)-θ(u2)|=3+b,(u3u4)=|θ(u3)-θ(u4)|=1,=|θ(u1) -θ(u4)|=2,(u1y1,j)=|θ(u1) -θ(y1,j)|=4+a+b-j,j=1,2,…,a,(u3y3,1)=|θ(u3)-θ(y3,1) |=3+b-j,

    由1)和2)可知θ是C4(a,0,b,0)的優(yōu)美標(biāo)號(hào)。

    令X={u1,u3},Y={u2,u4}?{y1,j|j=1,2,…,a}?{y3,j|j=1,2,…,b}則有

    所以,θ就是圖C4(a,0,b,0)特征為1,且缺3的交錯(cuò)標(biāo)號(hào)。

    由引理5和定理2,有

    推論5對(duì)任意自然數(shù)a,b,m,非連通圖C3(m,0,0)?C4(a,0,b,0)存在缺標(biāo)號(hào)值2 的兩種不同的優(yōu)美標(biāo)號(hào)。

    例5由推論5可得C3(4,0,0)?C4(3,0,5,0)缺標(biāo)號(hào)值2的兩種不同的優(yōu)美標(biāo)號(hào)如圖4所示。

    圖4 非連通圖C3(4,0,0)?C4(3,0,5,0)的兩種優(yōu)美標(biāo)號(hào)Fig.4 The graceful labeling of C3(4,0,0)?C4(3,0,5,0)

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    [4]吳躍生,李詠秋.關(guān)于圈C4h+3的(r1,r2,…,r4h)-冠的優(yōu)美性[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,32(6):1-4.

    [5]吳躍生.關(guān)于圖P6k+53∪Pn3的優(yōu)美性[J]吉首大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,33(3):4-7.

    [6]吳躍生,徐保根.兩類(lèi)非連通圖(P2∨)(0,0,r1,0,…,0,rn)?St(m)及(P2∨)(r1+a,r2,0,…,0)?Gr的優(yōu)美性[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,51(5):63-66.

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    [8]吳躍生,王廣富.關(guān)于C4h+1⊙K1的(Gr1,Gr2,…,Gr4h+1,Gr4h+2)-冠的優(yōu)美性[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào),2013,48(4):25-27.

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    [10]吳躍生,王廣富,徐保根.非連通圖C2n+1∪Gn-1的優(yōu)美性[J].華東交通大學(xué)學(xué)報(bào),2012,29(6):26-29.

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