一種高精度的光子晶體光纖理論分析方法探討

魏艷華

【摘 要】本文介紹了光子晶體光纖的數(shù)值模擬方法，特別對(duì)于高精度模擬光子晶體光纖，采用的方法—局域基函數(shù)法，進(jìn)行了詳細(xì)的分析，最后總結(jié)了在平面波法和局域基函數(shù)法基礎(chǔ)上的混合法的相關(guān)特點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】光子晶體光纖；局域基函數(shù)法；平面波法

1.引言

光子晶體光纖（PCF）的概念最早在 1992 年由 St.J.Russell 等人提出，其初衷是要在光纖中引入光子帶隙效應(yīng)實(shí)現(xiàn)對(duì)光的導(dǎo)引。受到制備工藝的限制，直到 1996 年首根光子晶體光纖才成功問(wèn)世。該光纖具有獨(dú)特的無(wú)盡單模傳輸特性，在學(xué)術(shù)界和產(chǎn)業(yè)界引起極大的轟動(dòng)。為了建立一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的數(shù)值方法，使之對(duì)高折射率纖芯三角型結(jié)構(gòu)PCF能提供定性的模式傳播特性，Birks等人提出了有效折射率法。其基本思想就是先分析包層周期的重復(fù)二氧化硅中的孔結(jié)構(gòu)，然后（根據(jù)這種包層結(jié)構(gòu)的近似波導(dǎo)性質(zhì)）用恰當(dāng)選擇的有效折射率代替這個(gè)包層。

2.局域基函數(shù)法理論

盡管簡(jiǎn)單的有效折射率模型提供了很好的定性知識(shí)，但對(duì)來(lái)高精度模擬光子晶體光纖還是有必須用一些精確的數(shù)值方法。1998年，Mogilevtsev等人發(fā)展了一種方法，這種方法是將麥克斯韋方程組直接求解，并將折射率和場(chǎng)分布表示成局域基函數(shù)的和，所以稱之為局域基函數(shù)法。這種方法最初是用來(lái)模擬三角形光子晶體光纖的，而后被進(jìn)一步被開拓用于所有光子晶體光纖結(jié)構(gòu)的數(shù)值模擬。

光子晶體光纖的導(dǎo)模被局域在緊靠近形成纖芯的區(qū)域，這個(gè)芯區(qū)域在光子帶隙波導(dǎo)文獻(xiàn)里常稱之為缺陷，表示這個(gè)區(qū)域的完全周期結(jié)構(gòu)被破壞，也就是只要一個(gè)空氣孔被固體材料所替換，反之亦然。因?yàn)槟Ｊ綀?chǎng)的局域化，才可能通過(guò)將場(chǎng)表示成局域于纖芯附近的函數(shù)之和來(lái)模擬導(dǎo)模。這種方法的明顯優(yōu)勢(shì)是適當(dāng)選取一組基函數(shù)，只需要適中數(shù)量的函數(shù)就能精確描述束縛模，從而大大降低計(jì)算資源。為了實(shí)現(xiàn)這種方法，麥克斯韋方程需要作重新表示，作為傳播常數(shù)的本征值問(wèn)題，重新表示后的方程沿Z軸（光纖的長(zhǎng)度軸）平移是不變的：

（2.1）

這里代表周期xy平面內(nèi)的梯度（），是自由空間波數(shù)，矢量的分量表示磁場(chǎng)的橫向分量，它可表示成：

（2.2）

這里，是傳播常數(shù)，z是表示沿光纖位置的坐標(biāo)，c是真空中的光速，t是時(shí)間。

對(duì)于基函數(shù)系統(tǒng)，利用一組Hermite—Gaussian函數(shù)[3.13]，可以將其寫成如下形式：

（2.3）

其中是m階的Hermite多項(xiàng)式，是晶格的周期。函數(shù)是相互正交的，它們?cè)趚y平面內(nèi)形成一個(gè)完備系統(tǒng)。它們局域在點(diǎn)（x，y）=（0，0）附近，也表明用（0，0）坐標(biāo)系位于波導(dǎo)芯的中心部分。Hermite—Gaussian函數(shù)不僅由于它們的局域化是一種有利的選擇，也因?yàn)樗鼈兊闹丿B積分可以進(jìn)行解析估算。根據(jù)函數(shù)，等式（2.1）變成代數(shù)本征值問(wèn)題：

（2.4）

系數(shù)矢量代表Hermite-Gaussian基中的橫向磁場(chǎng)，是Hermite-Gaussian基中方程（2.1）等號(hào)左邊算符的矩陣系數(shù)。它們都是實(shí)數(shù)，對(duì)于大范圍的晶格都可以用解析法獲得這些矩陣系數(shù)。

在高頻區(qū)，橫向平面內(nèi)場(chǎng)正交分量之間的耦合可以忽略，這種方法的實(shí)現(xiàn)變得特別簡(jiǎn)單。在這個(gè)頻段內(nèi)，標(biāo)量近似就有效，方程（2.4）的本征值問(wèn)題變成Hermitian型。用于計(jì)算PCF的導(dǎo)模時(shí)，方程（2.1）的第三項(xiàng)描述橫截面上場(chǎng)的正交分量之間耦合隨著空氣填充分?jǐn)?shù)按比例變化；對(duì)于小空氣孔，很快達(dá)到高頻極限。舉例來(lái)說(shuō)，三角形PCF，其空氣填充分?jǐn)?shù)小于10%、波長(zhǎng)小于時(shí)，就處在高頻區(qū)。

最初由Mogilevtsev等人提出的這種技術(shù)，說(shuō)明了模式局域化的優(yōu)勢(shì)，對(duì)于緊密束縛和簡(jiǎn)單模場(chǎng)分布，它比廣泛應(yīng)用的平面波法常常更有效。而局域函數(shù)法，如果沒(méi)有準(zhǔn)確表示折射率，那么其計(jì)算結(jié)果也不會(huì)準(zhǔn)確。由于下述原因，這是建立模型公式中的一個(gè)重要問(wèn)題：由于解析計(jì)算重疊積分的可能性，可能總想用局域函數(shù)（如Hermite-Gaussians）代表折射率結(jié)構(gòu)。然而，Monro等人的工作中把橫向折射率分布分成兩個(gè)部分：孔的周期晶格用周期函數(shù)描述，中心折射率缺陷（即芯）用局域Hermite-Gaussian函數(shù)描述。

中心的折射缺陷可以用和模式展開中同樣的基函數(shù)來(lái)描述，它們能夠形成完備的一組基函數(shù)。但是發(fā)現(xiàn)，選取特征寬度（）的函數(shù)較有效。因?yàn)榕c缺陷直徑（d）成正比，而不是與成正比，這樣精確的描述就需要很少的項(xiàng)數(shù)。比例常數(shù)是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選取的。經(jīng)驗(yàn)表明，當(dāng)=0.26d時(shí)，缺陷能夠用很少項(xiàng)最準(zhǔn)確地重現(xiàn)。

因此，折射率平方分布可用下式分解：

（2.5）

這里的C和P分別用于表示缺陷和圓孔的項(xiàng)數(shù)，是結(jié)構(gòu)的橫向范圍，函數(shù)代表下列Hermite-Gaussian基函數(shù)正交集的元素：

（2.6）

其中是i階Hermite多項(xiàng)式（i是多項(xiàng)式的主導(dǎo)階）。對(duì)于任一給定光子晶體光纖結(jié)構(gòu)，方程（2.5）的折射率分解中，系數(shù)和可以由周期包層的cosine函數(shù)和中心缺陷的Hermite-Gaussian函數(shù)做重疊積分來(lái)得到。這些系數(shù)對(duì)于任一結(jié)構(gòu)只需要計(jì)算一次；一旦知道這些系數(shù)，在任何波長(zhǎng)光纖的模式特性可以決定。

3.總結(jié)與展望

以上介紹了用局域基函數(shù)法模擬光子晶體光纖的理論，這種方法對(duì)于高精度模擬光子晶體光纖有一定的作用。但是在用局域函數(shù)來(lái)表示空氣孔情況下，高折射率反差可能變成一個(gè)重要難點(diǎn)，因?yàn)樗鼈兊姆直媛屎湍Ｐ偷挠行钥赡茏兊煤茈y成立。

結(jié)合使用局域函數(shù)和平面波法的某些最大特點(diǎn)，空氣孔晶格用平面波分解來(lái)描述，實(shí)芯和模式場(chǎng)用局域函數(shù)描述，這就是后來(lái)的混合法。這種方法能夠有效描述理想周期結(jié)構(gòu)的光子晶體光纖。當(dāng)考慮較復(fù)雜的光纖結(jié)構(gòu)時(shí)，就削弱了分別描述空氣孔和局域化芯的優(yōu)勢(shì)，那么用平面波展開來(lái)描述整個(gè)折射率分布，而局域函數(shù)只用于模式場(chǎng)，得到效率和精度的最好結(jié)合。這種混合法的通用工具能夠用于探索各種光子晶體光纖結(jié)構(gòu)和模式，并利用掃描電鏡照片確定樣品的折射率分布預(yù)測(cè)實(shí)際光子晶體光纖的性質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

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