彈性層狀半空間中無限長洞室對斜入射平面SH波的三維散射（Ⅱ）——數(shù)值結果與分析＊

梁建文 陳健琦 巴振寧

（中國天津300072天津大學土木工程系）

引言

目前，地下洞室對彈性波的散射研究多局限在二維模型（Lee，Trifunac，1979；Kobayashi，Nishimura，1983；Manolis，Beskos，1988；Luco，De Barros，1994）.實際上（地震）波的傳播方向與地下洞室軸線多存在一夾角，這時地下洞室對波的散射是一個三維問題.然而，地下洞室對斜入射平面波三維散射的研究還非常少 （De Barros，Luco，1993；Stamos，Beskos，1996）.梁建文等（2012）采用間接邊界元方法，求解了層狀半空間中無限長洞室對斜入射平面SH波的三維散射問題，并通過與已有結果的比較驗證了方法的正確性.本文在梁建文等（2012）方法的基礎上，以基巖上單一土層場地為例，研究層狀半空間中無限長洞室對斜入射平面SH波三維散射與均勻半空間情況的差別，并分析基巖與土層剛度比、土層厚度對地表位移幅值的影響.同時，本文還在頻域解答基礎上，研究了Ricker波入射下地表位移的時域響應.

1 頻域解答

1.1 基巖與土層剛度比對地表位移幅值的影響

基巖上單一土層場地是最簡單的一種層狀半空間場地.圖1給出了在平面SH波斜入射下基巖上單一土層場地中圓形洞室附近地表位移幅值.基巖介質由其剪切波速crs、質量密度ρr、泊松比νr和阻尼比ζr確定；土層由其剪切波速cls、質量密度ρl、泊松比νl和阻尼比ζl確定，土層厚度為H.圓形洞室半徑為a，埋深為h.定義無量綱頻率η＝ωa／πcls，ω為入射波頻率.計算參數(shù)如下：洞室埋深與洞室半徑之比為h／a＝2.0，土層厚度與洞室半徑之比H／a＝4.0，基巖與土層質量密度比ρr／ρl＝1，基巖和土層阻尼分別為ζr＝0.02和ζl＝0.05，基巖和土層泊松比為νr＝νl＝ν＝1／3，波水平入射角度θh＝45°，豎向入射角度分別為θv＝5°，30°，60°和90°，波入射頻率分別為η＝0.125，0.25，0.375，0.5，1.0和2.0.基巖與土層剪切波速比＝2.0，5.0和∞.圖1中給出了無量綱地表位移幅值已由基巖面入射SH波位移幅值ASH正規(guī)化.

從圖1中可以看出，與均勻半空間情況相比，層狀半空間場地由于考慮了土層自身動力特性，洞室附近地表位移幅值存在明顯差異.在土層共振頻率附近（η＝0.125和η＝0.375）時，層狀半空間情況地表位移幅值明顯大于均勻半空間情況，基巖與土層剛度比的變化也會引起非常大的差別.如當η＝0.125時，＝∞和＝5.0情況下兩個水平方向地表位移幅值分別達到＝2.0情況的5倍和2倍.這是由土層對入射SH波的放大作用引起的.層狀半空間情況較均勻半空間情況，地表位移幅值空間分布也更為復雜，這是因為層狀半空間場地中地表位移幅值是由土層自身動力特性以及洞室對入射SH波的散射二者共同決定的，且洞室與土層之間存在相互作用.另外，與均勻半空間中洞室在SH波入射時的散射相同，基巖上單一土層中洞室附近（－1≤x／a≤1）地表位移幅值相對較小，而兩側相對較大；當基巖與土層剪切波速比較小時（crs／cls＝2.0），由于洞室對入射平面波存在“屏障效應”，入射波近端地表位移相對比較復雜，而遠端地表位移相對比較簡單.對于基巖上單一土層中洞室情況，當波水平入射角度θh一定時，隨著豎向入射角度θv的逐漸增大，地表位移幅值逐漸減小.這與均勻半空間中洞室情況相反（均勻半空間中，豎向入射角度較小時，地表位移幅值較大）.

圖1 （a，b） 基巖與土層剛度比變化對洞室附近地表位移幅值的影響.（a）η＝0.125；（b）η＝0.25Fig.1（a，b） Effect of bedrock-to-soil layer stiffness ratio on surface displacement amplitude near cavity.（a）η＝0.125；（b）η＝0.25

圖1 （c，d） 基巖與土層剛度比變化對洞室附近地表位移幅值的影響.（c）η＝0.375；（d）η＝0.5Fig.1（c，d） Effect of bedrock-to-soil layer stiffness ratio on surface displacement amplitude near cavity.（c）η＝0.375；（d）η＝0.5

圖1 （e，f） 基巖與土層剛度比變化對洞室附近地表位移幅值的影響.（e）η＝1.0；（f）η＝2.0Fig.1（e，f） Effect of bedrock-to-soil layer stiffness ratio on surface displacement amplitude near cavity.（e）η＝1.0；（f）η＝2.0

從圖中還可以看出，隨著基巖與土層剪切波速比的不斷增大，當豎向入射角度θv為5°，30°和60°時，位于洞室上部附近的地表位移幅值變得基本對稱，而“屏障效應”變得不再明顯.當crs／cls＝∞時，波豎向入射角度雖然改變，但洞室上部附近地表位移幅值相同.因為對于SH入射，基巖露頭只有水平位移，這樣當基巖與土層剛度比無窮大時，輸入各點的相位相同，所以非垂直角度與垂直角度的輸入相同.而且由于各角度入射時，基巖露頭位移幅值一樣，因此洞室地表位移幅值與豎向入射角度不再相關.

1.2 土層厚度對地表位移幅值的影響

圖2給出了土層厚度不同時，洞室附近地表位移幅值.其它計算參數(shù)均與圖1中計算參數(shù)相同.入射頻率仍為η＝0.125，0.25，0.375，0.5，1.0和2.0，基巖與土層剪切波速比crs／cls＝5.0，土層厚度分別為H／a＝4，6和8.

從圖2中可以看出，土層厚度的改變對地表位移幅值有著顯著的影響.隨著土層厚度的增大，整體上地表位移幅值逐漸減小.這是因為本文考慮了土層和基巖的材料阻尼，故隨著土層厚度的增大，位移幅值衰減越多.可以預計，隨著土層厚度的逐漸增大，地表位移幅值會逐漸趨近于均勻半空間情況.但值得指出的是，當波入射頻率與土層共振頻率相同或比較接近時，會出現(xiàn)例外.例如當η＝0.25、H／a＝6時，地表位移幅值會大于H／a＝4時地表位移幅值，因為H／a＝6正好位于土層第二共振頻率.另外，由于考慮了土層和基巖的材料阻尼，隨著入射頻率的增大，地表位移幅值會逐漸減小.例如當土層厚度H／a＝8、入射頻率η＝2.0時，地表位移幅值會非常小.從圖中還可以看出，當入射頻率較低時（如η＝0.125），地表位移幅值趨近于均勻半空間中自由場位移幅值.說明當入射頻率很小時，入射波不僅感覺不到洞室的存在，也感覺不到土層的存在.

2 時域解答

為了清晰地說明斜入射平面SH波在層狀半空間中的傳播以及在洞室周圍散射的過程，圖3給出了均勻半空間和基巖上單一土層中洞室在Ricker波入射下地表位移.Ricker波在地震學中常用來分析研究波的時域散射規(guī)律，其形式為

式中，fc＝fa／cls為特征頻率，τ＝tcls／a為無量綱時間.計算參數(shù)：洞室埋深與洞室半徑之比為h／a＝2.0，土層厚度與洞室半徑之比分別為H／a＝4.0和8.0，基巖與土層的剪切波速比分別為crs／cls＝2.0和crs／cls＝5.0，基巖與土層質量密度比ρr／ρl＝1，基巖和土層泊松比νr＝νl＝1／3，基巖阻尼比ζr＝0.02，土層阻尼比ζl＝0.05，波垂直入射角度＝45°，水平入射角度＝45°，特征頻率fc＝1.0.

圖2 （a，b） 土層厚度變化對洞室附近地表位移幅值的影響.（a）η＝0.125；（b）η＝0.25Fig.2（a，b） Effect of soil layer thickness on surface displacement amplitude near cavity.（a）η＝0.125；（b）η＝0.25

圖2 （c，d） 土層厚度變化對洞室附近地表位移幅值的影響.（c）η＝0.375；（d）η＝0.5Fig.2（c，d） Effect of soil layer thickness on surface displacement amplitude near cavity.（c）η＝0.375；（d）η＝0.5

圖2 （e，f） 土層厚度變化對洞室附近地表位移幅值的影響.（e）η＝1.0；（f）η＝2.0Fig.2（e，f） Effect of soil layer thickness on surface displacement amplitude near cavity.（e）η＝1.0；（f）η＝2.0

具體計算時，首先把Ricker波時程通過傅里葉分析變換到頻域，然后針對每個頻率，按照前述頻域計算方法，在頻域內(nèi)進行計算，最后通過傅里葉逆變換得到時域結果.文中波的輸入位置均選在基巖露頭處.

首先考察均勻半空間情況（圖3a）.從圖中可以看出，由于洞室對波的屏障效應，入射端地表位移比較復雜，波動的持續(xù)時間比較長；遠端地表位移相對簡單，波動的持續(xù)時間相對較短.兩個水平方向波的傳播同步，但入射端與遠端之間延遲非常明顯；而豎向總體到時相對較晚，且波最先到達洞室上方.這是因為豎向地表位移是由波的散射引起的，洞室上方地表距離洞室最近，因此波最先到達.

圖3 時域內(nèi)洞室附近地表位移（a）均勻半空間；（b）基巖上單一土層（crs／cls＝2.0，H／a＝4.0）；（c）基巖上單一土層（crs／cls＝5.0，H／a＝4.0）；（d）基巖上單一土層（crs／cls＝5.0，H／a＝8.0）Fig.3 Time-domain surface displacement near cavity（a）Homogeneous half-space；（b）Single layer over bedrock（crs／cls＝2.0，H／a＝4.0）；（c）Single layer over bedrock（crs／cls＝5.0，H／a＝4.0）；（d）Single layer over bedrock（crs／cls＝5.0，H／a＝8.0）

下面考察層狀半空間情況（圖3b－－d）.從圖中可以看出，洞室對波的屏障效應相對于均勻半空間情況有所減弱，兩個水平方向波的到達延時相對于均勻半空間情況也有所縮短，其原因是波由基巖折射到土層時，波的入射角度增大所致.隨著基巖與土層剛度比的增大，地表位移逐漸增大，兩個水平方向波的到達延時進一步縮短.這是因為波的入射角度隨基巖與土層剛度比的增大而增大.隨著土層厚度的增加，地表位移逐漸減小，總體到時逐漸延長.這是由于阻尼的原因，波的傳播路徑的增加，會導致波的進一步衰減、總體到時進一步延長.

3 結論

本文通過數(shù)值計算研究了層狀半空間中無限長洞室對斜入射平面SH波的散射問題，以基巖上單一土層場地為例研究了基巖與土層剛度比、土層厚度等對散射的影響.研究表明，層狀半空間中洞室對斜入射平面SH波的散射與均勻半空間中洞室對斜入射SH波的散射存在顯著差別.由于土層和洞室對斜入射平面SH的共同作用，層狀半空間中地表位移幅值空間、時間變化都較均勻半空間中情況要復雜.基巖與土層剛度比和土層厚度對地表位移幅值均有著重要的影響：隨著基巖與土層剛度比的增大，地表位移幅值整體上逐漸增大，基巖與土層剛度比無窮情況下地表位移幅值可以達到基巖與土層剛度比兩倍情況的5倍；隨著土層厚度的增大，土層對地表位移幅值的影響逐漸減小，且可以預計，地表位移幅值會逐漸趨近于均勻半空間情況.層狀半空間中無限長洞室對斜入射平面SH波散射的時域響應與頻域響應有著相似的規(guī)律.

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