基于小生境混沌免疫算法的PID參數(shù)優(yōu)化

鮑克，胡旭東，向忠

(浙江理工大學(xué) 機械與自動控制學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引言

PID控制器具有結(jié)構(gòu)簡單、魯棒性好、可靠性高等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于各種工業(yè)對象和過程[1－2]。PID參數(shù)的優(yōu)化是 PID控制中的關(guān)鍵問題，控制參數(shù)的優(yōu)劣直接影響控制效果的好壞，并與系統(tǒng)的穩(wěn)定、經(jīng)濟運行息息相關(guān)[3]。隨著工業(yè)技術(shù)的發(fā)展，被控對象日趨復(fù)雜，部分被控對象具有大滯后、非線性、無法建立精確數(shù)學(xué)模型等特點，利用傳統(tǒng)方法很難獲取最優(yōu)或次優(yōu)的PID參數(shù)組合。

隨著人工智能技術(shù)和自動控制領(lǐng)域的相互滲透，各種先進PID參數(shù)優(yōu)化方法層出不窮，許多PID控制器融合了模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、專家系統(tǒng)、遺傳算法等智能技術(shù)，這給PID參數(shù)優(yōu)化的研究注入了新的活力[4－5]。然而，模糊控制技術(shù)存在精度不高的缺點，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練周期較長，遺傳算法容易陷入局部最優(yōu)[6－7]。

本文結(jié)合小生境機制、混沌細搜索和人工免疫算法，提出了一種基于小生境混沌免疫算法的PID參數(shù)優(yōu)化方法，并通過仿真實例驗證了該方法的有效性。

1 PID控制原理

PID控制器是一種線性控制器，它根據(jù)給定值和實際輸出值構(gòu)成控制偏差，將偏差的比例、積分和微分通過線性組合構(gòu)成控制量對被控對象進行控制。

依據(jù)PID控制原理，調(diào)節(jié)kp、ki、kd3個參數(shù)，就可以改變控制量。在采用免疫算法對PID參數(shù)進行優(yōu)化時，可將控制器的性能指標(biāo)作為目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，視為抗原，而將參數(shù) kp、ki、kd作為優(yōu)化問題的解，視為抗體，其原理如圖1所示。

圖1 基于小生境混沌免疫算法的PID控制系統(tǒng)原理框圖

2 小生境混沌免疫算法

2.1 混沌細搜索

混沌是非線性系統(tǒng)中普遍存在的一種復(fù)雜現(xiàn)象，混沌運動具有隨機性，遍歷性和對初值高度敏感的特點，它能在一定范圍內(nèi)按其自身規(guī)律不重復(fù)地遍歷所有狀態(tài)[8－9]。將混沌動力學(xué)特性與免疫算法結(jié)合起來，利用免疫算法進行全局粗搜索得到次優(yōu)解后，再利用混沌算法在次優(yōu)解周圍進行細搜索，能夠加強算法的局部尋優(yōu)能力。

本文采用 Logistic方程產(chǎn)生混沌變量。Logistic映射形式如下:

式中Xn代表經(jīng)過n次混沌迭代后的混沌變量，其中0＜X0＜1;當(dāng)μ=4時，Logistic映射處于完全混沌狀態(tài)，其混沌空間為(0，1)。

由于混沌變量的變化范圍為(0，1)，而PID參數(shù)不一定在此范圍內(nèi)，因此在進行混沌細搜索前需要將PID參數(shù)由解空間映射至混沌空間。設(shè) kp的取值范圍[kpmin，kpmax]，混沌變量為 X1，n;ki的取值范圍[kimin，kimax]，混沌變量為 X2，n;kd的取值范圍[kdmin，kdmax]，混沌變量為 X3，n，則映射方程如下:

混沌細搜索結(jié)束后，再次通過映射方程將新一代混沌變量由混沌空間映射至解空間。

2.2 小生境機制

小生境機制運用到優(yōu)化問題的主要思想是:當(dāng)兩個個體的海明距離小于預(yù)先設(shè)定的小生境距離L時，認為這兩個個體距離過近并對其中適應(yīng)度低的個體進行懲罰。

本算法中，將上一代抗體中適應(yīng)度最高的n個抗體，與當(dāng)前代抗體混合，計算任意兩個抗體間的海明距離，若計算結(jié)果小于小生境距離，則對適應(yīng)度低的抗體施加一個懲罰系數(shù)，待全部抗體的計算完成后，剔除適應(yīng)度最低的n個抗體?？贵w間的海明距離可由下式計算:

式中 d(v，w)表示抗體 v和抗體 w的海明距離;kvp、kvi、kid分別代表抗體v的比例、積分、微分三個參數(shù)。

小生境距離L的選取與解空間的范圍有關(guān)。解空間的范圍越大，L也越大。根據(jù)這種思想，設(shè)計如下小生境距離計算公式:

式中[kpmin，kpmax]、[kimin，kimax]、[kdmin，kdmax]分別表示 kp、ki、kd的取值范圍，λ∈(0，1)。

公式(4)給出了小生境距離L的選取依據(jù)，通過λ可自由調(diào)整小生境機制對算法的影響。當(dāng)λ取值越大，小生境距離L也越大，更多的抗體對處于小生境距離內(nèi)，受到懲罰的抗體增加。此時，抗體群保持抗體多樣性的能力較強，但收斂速度較慢。當(dāng)λ取值減小時，處于小生境距離內(nèi)的抗體對減少，抗體群的收斂速度加快。因此，一般可在算法運行的前期，設(shè)定較大的λ值，保持抗體多樣性;在算法運行的后期，可逐步減小λ，保證算法的快速收斂。

在小生境機制的實現(xiàn)過程中，將上一代適應(yīng)度最高的數(shù)個抗體與當(dāng)前代混合，這在本質(zhì)上實現(xiàn)了精英保留，可有效防止抗體群在進化過程中丟失最優(yōu)抗體，因而引入小生境機制后的免疫算法無需再另行實現(xiàn)精英保留策略。

2.3 基于抗體濃度的人工免疫算法

人工免疫算法與遺傳算法的核心區(qū)別在于選擇復(fù)制策略，人工免疫算法依據(jù)抗體適應(yīng)度和濃度兩個方面對抗體進行復(fù)制操作，對抗體質(zhì)量的評價更為全面，減小了算法過早收斂的可能。

人工免疫算法中，抗體相似度、濃度、期望繁殖率、選擇復(fù)制率概念如下:

在給定抗體群中，若抗體v和抗體w滿足公式(5)，則稱抗體v與抗體w相似。式中fv和fw分別為抗體v和抗體w的適應(yīng)度;ε稱為抗體相似度閾值。越接近于0，抗體v和抗體w相似度越高。

在給定抗體群中，與抗體 v相似的抗體的個數(shù)(計入抗體 v自身)稱為抗體v的濃度，記為cv。

在給定抗體群中，抗體 v的期望繁殖率 ev可由公式(6)表示。式中，β是反映期望繁殖率中抗體適應(yīng)度和濃度相對重要性的一個可變參數(shù)。

在給定抗體群中，抗體v被選擇復(fù)制的概率psv可由公式(7)表示。式中m表示種群規(guī)模。

交叉算子和變異算子是影響免疫算法行為和性能的關(guān)鍵因素之一，對算法收斂性有直接影響。為了保證算法的快速收斂和抗體群的多樣性，對于適應(yīng)度高于群體平均適應(yīng)度的抗體，可采用較小的pc和pm;對于適應(yīng)度低于群體平均適應(yīng)度的抗體，可采用較大的pc和pm。本算法在變異操作中采用如下自適應(yīng)變異概率:

式中fv表示抗體v的適應(yīng)度，fmax表示當(dāng)前抗體群的最大適應(yīng)度，γ為變異系數(shù)，可自由調(diào)整。

選用誤差絕對時間積分性能指標(biāo)作為參數(shù)選擇的目標(biāo)函數(shù)。為了防止控制能量過大，在目標(biāo)函數(shù)中加入控制輸入的平方項，為了避免超調(diào)，在產(chǎn)生超調(diào)時將超調(diào)量作為目標(biāo)函數(shù)的一項。

式中e(t)為系統(tǒng)誤差，u(t)為控制器輸出，tr為上升時間，w1，w2，w3，w4為權(quán)值，ey(t)=y(t)－y(t－1)。

抗體適應(yīng)度與目標(biāo)函數(shù)值一般通過下式轉(zhuǎn)化:

但是公式(10)無法避免數(shù)值計算帶來的舍入誤差和計算溢出。為了提高算法的計算精度，可對抗體適應(yīng)度函數(shù)作如下改進:

式中c為一固定系數(shù)，一般取為10n(n為正整數(shù))，δ為一極小的正實數(shù)。

2.4 小生境混沌免疫算法流程

(1)隨機生成m個抗體，組成初始抗體群，設(shè)置進化代數(shù) t=1。

(2)依公式計算各個抗體的適應(yīng)度fk(k=1，2，…，m)，根據(jù)適應(yīng)度對抗體進行降序排序，記憶前h個抗體為q'(t)，記憶前n個抗體為p'(t)。

(3)依公式(2)將q'(t)中的h個抗體轉(zhuǎn)化至混沌空間。

(4)依公式(1)分別對h組混沌變量進行迭代，將迭代所得的混沌變量轉(zhuǎn)化為PID參數(shù)，計算其適應(yīng)度，若混沌迭代所得抗體的適應(yīng)度大于原抗體的適應(yīng)度，則替代。循環(huán)執(zhí)行本步驟10次，

(5)依公式(5)計算各抗體的抗體相似度及抗體濃度。

(6)依公式(6)計算各抗體的期望繁殖率，依公式(7)計算各抗體的選擇概率，根據(jù)選擇概率利用“輪盤賭法”對抗體群執(zhí)行選擇和復(fù)制操作。

(7)對抗體群執(zhí)行交叉操作。

(8)依公式(8)計算各抗體的變異率，對抗體群執(zhí)行變異操作。

(9)將上一步得到的m個抗體和p'(t)中的n個抗體合并，得到一個含有m+n個抗體的新抗體群，依據(jù)公式(3)計算任意兩個抗體的海明距離。當(dāng)＜L時，比較抗體 v和抗體 w的適應(yīng)度大小，對其中適應(yīng)度低的抗體施加一個懲罰系數(shù)p。

(10)依據(jù)新的適應(yīng)度對這m+n個抗體進行降序排列，取前m個抗體作為新一代抗體群，記憶前h個抗體為q'(t)，記憶前n個抗體為p'(t)。

(11)令t=t+1，若 t≤NC，則返回3);否則，輸出最優(yōu) PID參數(shù)，算法結(jié)束。

3 仿真及分析

3.1 仿真對象選取與參數(shù)設(shè)定

仿真實驗以HHS－2箱式電阻爐數(shù)學(xué)模型為對象，在MATLAB2011a上進行。HHS－2箱式電阻爐的數(shù)學(xué)模型如下:

設(shè)定 kp的取值范圍為[0，1]，ki的取值范圍為[0，1]，kd的取值范圍為[0，10]，種群規(guī)模 m=0，最大進化代數(shù) NC=150，交叉概率 pc=0.7，變異系數(shù) γ =2.5，λ =0.1，c=1 000，懲罰系數(shù) p=0.5，采用實數(shù)編碼，以單位階躍信號為輸入。

采用帶有精英保留策略的遺傳算法和人工免疫算法作為對比對象，其變異概率pm=0.1，其余參數(shù)設(shè)置與小生境混沌免疫算法相同。

圖2 的單位階躍曲線圖

3.2 仿真結(jié)果及分析

表1列出了三種算法下的階躍響應(yīng)系統(tǒng)性能指標(biāo)，其中，NCIA表示小生境混沌免疫算法，調(diào)整時間的允許誤差范圍為2%，由于小生境混沌免疫算法無超調(diào)，故不統(tǒng)計其上升時間。圖2為的單位階躍響應(yīng)曲線，圖 3為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化曲線。分析表1和圖2可知，小生境混沌免疫算法下系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間ts、超調(diào)量Mp較 SGA、AIA 大幅下降，系統(tǒng)擁有更好的動態(tài)性能。分析圖3可知，小生境混沌免疫算法和AIA都具備快速尋優(yōu)能力，GA的尋優(yōu)速度明顯慢于兩者。綜上所述，基于小生境混沌免疫算法的PID控制器具有更好的控制效果。

圖3 目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化曲線

表1 的階躍響應(yīng)系統(tǒng)性能指標(biāo)

4 結(jié)束語

本文在免疫算法中引入小生境機制和混沌細搜索機制，提出了一種基于小生境混沌免疫算法的PID參數(shù)優(yōu)化方法。仿真結(jié)果表明，利用小生境混沌免疫算法設(shè)計的PID控制器可以有效地提高控制性能，其控制效果優(yōu)于遺傳算法和人工免疫算法下的PID控制器。

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