非雙倍測度上的θ-型Caldero′n-Zygmund算子

王海蓮 王良龍 郝江鋒

（1 安徽大學數學科學學院，安徽 合肥 230039）

（2 巢湖學院數學系，安徽 巢湖 238000）

1 引言及主要結果

在過去的一段時間里，非雙倍測度上的奇異積分算子的有界性被廣泛地研究，參考文獻[1-7].設μ是Rd上的非雙倍Radon測度，對所有的x∈Rd，r＞0和某些固定的0＜n≤d，滿足

其中C是與x和r無關的正數.對于x∈supp μ和 r＞0，若存在正常數C使得μ（B（x，2r））≤C μ（B（x，r）），則稱 μ 滿足雙倍條件。

令θ是一個定義在R+=（0，∞）上的非負不減函數，滿足

關于上述核和測度μ的θ-型Calder ο′n-Zygmund算子被定義為

這個積分可能對許多函數都不收斂，從而考慮截斷函數Tε（ε＞0），其定義為

若 Tε關于 ε＞0 在 LP（ μ）上一致有界，則稱 T 在 LP（ μ）上有界.

Tolsa在[1]中建立了非雙倍測度上的Calder ο′n-Zygmund理論。后來，胡國恩、孟巖和楊大春等在[2-4]中研究了非雙倍測度上的奇異積分的極大算子和多線性交換子。受這些文獻的啟發(fā)，本文研究了θ-型 Calder ο′n-Zygmund 算子若滿足 L2（ μ）有界性，則是從 L∞（ μ）到 RBMO（μ）上有界算子。在給出主要結果之前，先回顧一些定義。

設Rd中的方體Q是一個閉方體，其邊平行于坐標軸且邊長記為l（Q）。令a和βd是滿足a＞1和βd＞an的正常數。若 μ（aQ）≤β μ（Q），則稱 Q 是（a，β）雙倍方體，其中 aQ 表示以 Q 的中心為中心，邊長為al（Q）的方體。對于兩個方體Q?R，令

其中NQ，R表示滿足 l（2kQ）≥l（R）的最小正整數 k.

定義1[1]設b是μ-局部可積函數，稱b∈RBMO（μ）.如果存在一個常數C＞0使得

且對于任何兩個雙倍方體Q?R，有

滿足（7）和（8）的最小常數 C 稱為 b 的 RBMO（μ）范數，記為‖b‖*.

Tolsa在[1]中說明了RBMO（μ）的定義與 ρ，α＞1和 βd＞αn的選取無關。本文我們選取 ρ＝ α ＝2和βd＞2d+1.若 Tε關于 ε 從 L∞（ μ）到 RBMO（μ）上一致有界，則稱 T 從 L∞（ μ）到 RBMO（μ）上有界。

定理 1 若 θ-型 Calder′on-Zygmund 算子 T 是 L2（ μ）有界的，則它是從 L∞（ μ）到 RBMO（μ）上的有界算子。

注 全文中的C是一個與主要參數無關的正常數，但是它在不同的地方有可能取的值不同。用p′表示p的共軛指數，即滿足

2 定理的證明

為了證明定理1，我們利用[1]中RBMO（μ）的等價定義。

引理 1 設f∈Lloc（μ），下面兩個命題是等價的：

（b）存在一個常數C＞0使得對每個方體Q，

且對于任何兩個雙倍方體Q?R，

定理 1 的證明 首先證明若 f∈L∞（ μ）∩LP0（ μ），P0∈[1，∞），則

對于任何方體Q，

由 Ho¨lder不等式和 T 的 L2（ μ）有界性，得到

通過條件（4），對任何 x，y∈Q，有

這里我們使用了下面的不等式：

因此

接下來證明（10）成立，即證明若Q?R，則有

因為NQ，R表示滿足 2kQ?R 的最小正整數k.令QR=2NQ，R+1Q，對于 x∈Q和 y∈R，有

因為

所以現在對x在Q上取平均，對y在R上取平均，由T的L∞（μ）有界性，得到

另一方面，因為l（QR）≈l（R）得到

從而

[1]Tolsa X.and Calder′on-Zygmund operators for non doubling measures[J].Math.Ann.,2001，19：89-149.

[2]Hu G,Meng Y,Yang D.Multilinear commutators of singular integrals with non doubling measures[J].Integr.equ.oper.theory,2005，51：235-255.

[3]Hu G,Meng Y,Yang D.Estimates for maximal singular integral operators in non-homogeneous spaces[J].Proc.Roy.Soc.Edinburgh,2006，136A：351-364.

[4]Meng Y,Yang D.Multilinear commutators of Calder′on-Zygmund operators on Hardy-type spaces with non-doubling measures[J].J.Math.Anal.Appl.,2006，317：228-244.

[5]Fu X,Meng Y,Yang D.Boundedness of commutators with Lipschitz functions in non-homogeneous spaces[J].Chin.Ann.Math.,2007，28B：67-80.

[6]Tolsa X.Littlewood-Paley theory and the T （1） theorem with non-doubling measures[J].Adv.Math.,2001，164：57-116.

[7]Tolsa X.The space H1 for nondoubling measures in terms of a grand maximal operator[J].Trans.Amer.Math.Soc.,2003，355：315-348.