旋轉(zhuǎn)環(huán)形淺液池內(nèi)雙組分溶液耦合熱-溶質(zhì)毛細(xì)對流漸近解*

龔振興 李友榮 彭嵐 吳雙應(yīng) 石萬元

(重慶大學(xué)動力工程學(xué)院,低品位能源利用技術(shù)及系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400044)

(2012年5月31日收到;2012年9月14日收到修改稿)

1 引言

液體的表面張力會隨溫度和濃度的不同而發(fā)生變化,在雙組分混合溶液中,當(dāng)自由表面同時存在溫度和濃度梯度時,將會產(chǎn)生表面張力梯度,從而驅(qū)動流體流動,這種流動通常被稱為耦合熱-溶質(zhì)毛細(xì)對流.耦合的毛細(xì)對流過程廣泛存在于晶體生長、合金凝固、混合工質(zhì)的相變傳熱等過程中[1?3].

Bergman[4]最先對水平溫度梯度和濃度梯度作用下矩形池內(nèi)耦合熱-溶質(zhì)毛細(xì)對流進(jìn)行了數(shù)值模擬,主要討論了熱和溶質(zhì)毛細(xì)力大小相等、方向相反的特殊情況,研究表明,當(dāng)熱Marangoni數(shù)超過臨界值時,流體將由靜止?fàn)顟B(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱鲃訝顟B(tài).Bergeon等[5]采用二維數(shù)值模擬和穩(wěn)定性分析方法研究了垂直溫度梯度作用下矩形池內(nèi)雙組分溶液Marangoni對流現(xiàn)象,分析了Soret效應(yīng)對流動的影響,結(jié)果表明,當(dāng)Soret效應(yīng)足夠大時,溶質(zhì)梯度驅(qū)動的Marangoni流動起主導(dǎo)作用,同時,討論了流體流動的分岔現(xiàn)象.Arafune等[6,7]對Bergman的研究進(jìn)行了拓展和完善,發(fā)現(xiàn)了多種流型的存在,并對流動出現(xiàn)分岔的物理機(jī)制進(jìn)行了解釋.Chen和Chan[8]采用穩(wěn)定性分析、數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)觀測相結(jié)合的方法研究了腔體內(nèi)表面張力和浮力驅(qū)動的流動穩(wěn)定性,得到了流動失穩(wěn)的臨界條件.Cr¨oll等[2]借助實(shí)驗(yàn)研究了Czochralski法晶體生長過程中鍺-硅熔體內(nèi)溶質(zhì)毛細(xì)對流現(xiàn)象,測定了不同重力水平下熔體的流動速度.Li等[9]和Chen等[10]對水平溫度梯度和濃度梯度作用下矩形池內(nèi)Marangoni對流現(xiàn)象進(jìn)行了穩(wěn)定性分析和二維數(shù)值模擬,其主要針對熱和溶質(zhì)毛細(xì)力大小相等、方向相反的特殊情況,獲得了流體的流型轉(zhuǎn)變規(guī)律,并分析了物性參數(shù)和幾何形狀對傳熱和傳質(zhì)速率的影響.隨后,Zhan等[11]在Li等[9]和Chen等[10]研究的基礎(chǔ)上采用三維數(shù)值模擬方法對矩形池內(nèi)Marangoni對流現(xiàn)象、流型的演變以及物性和幾何參數(shù)對傳熱傳質(zhì)的影響進(jìn)行了系統(tǒng)研究.此外,Li等[12]和Shi等[13]對旋轉(zhuǎn)環(huán)形液池內(nèi)的熱毛細(xì)流動現(xiàn)象也進(jìn)行了研究,Zheng等[14,15]和Zhang等[16]獲得了Marangoni對流邊界層近似解析解.然而,對于旋轉(zhuǎn)環(huán)形池內(nèi)水平溫度和濃度梯度作用下耦合熱-溶質(zhì)毛細(xì)對流的研究鮮有報(bào)道.匹配漸近展開法是研究流體流動的一種常用的有效方法.Cormack和Leal[17],Merker和Leal[18],Leppinen[19]用這種方法求解了兩側(cè)邊壁具有溫度差的矩形和環(huán)形淺液池內(nèi)流體自然對流過程;Li等[20?22]將這種方法進(jìn)行了拓展,研究了環(huán)形單層及雙層淺液池內(nèi)熱毛細(xì)對流和熱毛細(xì)-浮力對流過程,獲得了中心區(qū)域近似解.本文的目的是采用匹配漸近展開法研究旋轉(zhuǎn)環(huán)形淺液池內(nèi)耦合熱-溶質(zhì)毛細(xì)對流過程,同時分析旋轉(zhuǎn)、Soret效應(yīng)、浮力、溶質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)和幾何尺寸對流動的影響.

2 物理數(shù)學(xué)模型

假定環(huán)形淺液池內(nèi)半徑為ri,外半徑為ro,深度為h,寬度為l,則ro=ri+l.液池底部為固壁,頂部為不變形的自由界面,底部和頂部均絕熱,如圖1所示.液池深寬比ε=h/l,對于淺液層,ε→0.記液池幾何參量Γ=ri/l,δ=ri/h,則Γ=εδ.設(shè)液池按逆時針方向繞垂直中心軸旋轉(zhuǎn),轉(zhuǎn)速為每分鐘n轉(zhuǎn).內(nèi)、外壁分別維持恒溫TC和Th(Th＞TC).初始時刻液池內(nèi)溶質(zhì)濃度分布均勻,比重較大組分的溶質(zhì)質(zhì)量分?jǐn)?shù)為N0,質(zhì)量濃度為S0.為簡化起見,假定:1)流體為不可壓縮的牛頓流體,除表面張力和浮力項(xiàng)中的密度外,所有的物性參數(shù)都為常數(shù);2)溫差?T=Th?TC較小,液池轉(zhuǎn)速較低,流動為軸對稱二維穩(wěn)態(tài)層流;3)在頂部自由表面考慮熱和溶質(zhì)毛細(xì)力作用,且表面張力是溫度和濃度的線性函數(shù);4)所有固壁無質(zhì)量滲透,且滿足無滑移條件;5)考慮Soret效應(yīng)的影響,忽略Dufour效應(yīng).

圖1 淺液池的物理模型

分 別 將 εν/h, ρν2/h2, Th? TC, ?S=?DTSSo(1?No)(Th?TC)/D(DTS=ST·D,ST為Soret系數(shù))和h作為控制方程的無量綱參考速度、壓力、溫度、濃度和長度,并引入無量綱流函數(shù)ψ和渦量ω:

則無量綱化后的控制方程組為

定義常數(shù)a,當(dāng)考慮Soret效應(yīng)時,a=1,反之a(chǎn)=0.相應(yīng)的無量綱邊界條件為

其中,R和Z分別為無量綱坐標(biāo);U,V和W分別為無量綱的徑向、軸向和周向速度.上述各式中其他無量綱量定義如下:

其中,Θ為無量綱溫度,Φ為無量綱濃度,Pr為普朗特?cái)?shù),Sc為施密特?cái)?shù),Gr為格拉曉夫數(shù),φ為濃度不均勻和溫度不均勻引起的浮力比,ReR為旋轉(zhuǎn)毛細(xì)雷諾數(shù),ReT和ReS分別為熱毛細(xì)雷諾數(shù)和溶質(zhì)毛細(xì)雷諾數(shù),ν,α和D分別為流體的運(yùn)動黏度系數(shù)、熱擴(kuò)散率和質(zhì)量擴(kuò)散率;βT=?ρ?ρ/?T和 βS=?ρ?ρ/?S分別為溫度和濃度體積膨脹系數(shù);γT= ??σ/?T 和 γS= ??σ/?S 分別為表面張力溫度和濃度系數(shù);μ為流體動力黏度系數(shù).

3 近似解求解過程

3.1 中心區(qū)域近似解

在物理模型中,當(dāng)深寬比ε→0,有Γ=εδ=ri/l=O(1).為方便計(jì)算,無量綱方程中的變量R用 δ+X 代替,則 1/R=1/(δ+X)=ε/(Γ+εX),同時,做如下變換:展開,代入到各控制方程和邊界條件中,得到各階控制方程和相應(yīng)的邊界條件.

零階控制方程和邊界條件如下:

其中a0=aT0+aS0,均為與?X有關(guān)的參數(shù).由零階控制方程和邊界條件可以求得:

二階能量方程如下:

因此,aT0為常數(shù).同理,根據(jù)二階傳質(zhì)方程和邊界條件也可證明aS0為常數(shù).

對(21)和(22)式積分得到

積分常數(shù)dT0和dS0在與邊界區(qū)域的匹配時確定.

運(yùn)用相同的方法可以求得其余各階近似解,其中相應(yīng)的未知積分常數(shù)可通過與邊壁區(qū)域的匹配求得.

3.2 與邊壁區(qū)域的匹配

邊壁區(qū)域的無量綱流函數(shù)、渦量、周向速度、溫度和濃度分別用來表示,為方便起見,做如下變換:則中心區(qū)域與邊壁區(qū)域匹配條件為ε→0時,

其中ξ=1/ε?X.

由此可以求得:

由零階邊界條件得

當(dāng)不考慮Soret效應(yīng)時,a=0,此時,環(huán)形液池內(nèi)溶質(zhì)分布均勻,0=0,并且dS0是與a無關(guān)的常數(shù),故dS0=0.其他階中的積分常數(shù)亦用相同階次下的匹配條件求得.

3.3 中心區(qū)域解

將各系數(shù)代入到中心區(qū)域的各階近似解中,便可完整地寫出中心區(qū)域的漸近解,結(jié)合流函數(shù)的定義,可得到中心區(qū)域溫度、濃度和速度分布為

采用此方法可以得到更高階的解析解,但解的表達(dá)式非常復(fù)雜,并且ε是一個趨于零的小量,更高階的項(xiàng)對淺液池內(nèi)溫度、濃度和速度分布的影響很小,可以忽略,所以,這里只給出了二階近似解析解.

4 結(jié)果分析與討論

當(dāng)忽略液池旋轉(zhuǎn)及Soret效應(yīng)時,由于所有固壁無質(zhì)量滲透,故此時液池內(nèi)的濃度分布是均勻的,此時的對流過程為無旋轉(zhuǎn)的熱毛細(xì)-浮力對流過程.在上述解中,令n=0,a=0,則可得到與Li等[21]的研究完全一致的結(jié)果.

當(dāng)忽略浮力時,旋轉(zhuǎn)環(huán)形淺液池內(nèi)耦合熱-溶質(zhì)毛細(xì)對流過程相對比較簡單,可以采用類似方法求得二階以上的解.例如,包含三階的中心區(qū)域溫度、濃度和速度分布:

當(dāng)n=0,a=0時,液池?zé)o旋轉(zhuǎn),且內(nèi)部溶質(zhì)分布均勻.上述結(jié)果與Li等[20]得到的環(huán)形淺液池內(nèi)純熱毛細(xì)對流的近似解完全一致,由此可以證明以上所得結(jié)果的正確性.

邊壁區(qū)域流動結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜,采用匹配漸近展開法很難求得控制方程在邊壁區(qū)域的漸近解,根據(jù)Leppinen[19],Sen和Davis[23]的研究可知,對于邊壁區(qū)域的流動結(jié)構(gòu)、溫度和濃度分布只能通過數(shù)值方法獲得.

溫度、濃度和速度的分布表達(dá)式中不包含旋轉(zhuǎn)雷諾數(shù),它應(yīng)該包含在更高階的項(xiàng)中,高階項(xiàng)對淺液池內(nèi)的近似解影響很小,可忽略不計(jì),因此,低轉(zhuǎn)速對液池內(nèi)溫度、濃度、徑向和軸向速度分布基本沒有影響,這與Shi等[13]所研究的旋轉(zhuǎn)環(huán)形液池內(nèi)熱毛細(xì)對流的結(jié)論一致,即較低轉(zhuǎn)速對軸對稱的穩(wěn)態(tài)毛細(xì)流動過程中的溫度和徑向速度分布基本沒有影響.

圖2 耦合的毛細(xì)力對無量綱徑向速度分布的影響(ε=1/50,Γ=1/5,Pr=5,Sc=500,Re R=1,Re T=600,Gr=0,φ=0)

為了分析熱毛細(xì)力、溶質(zhì)毛細(xì)力的耦合效應(yīng),進(jìn)行如下工況的計(jì)算:ε=1/50,Γ=1/5,Pr=5,Sc=500,ReR=1,ReT=600,Gr=0和φ=0.圖2給出了忽略浮力影響時,耦合熱-溶質(zhì)毛細(xì)力對中心截面(R=δ+1/2ε)處流體徑向速度分布的影響,當(dāng)忽略Soret效應(yīng)時,液池內(nèi)濃度分布均勻ReS=0,此時為純熱毛細(xì)流動過程,自由表面上流體由外壁高溫區(qū)向內(nèi)壁低溫區(qū)流動,回流出現(xiàn)在液池底部附近;當(dāng)溶質(zhì)毛細(xì)力方向與熱毛細(xì)力方向相同時,流動增強(qiáng),否則,流動減弱;當(dāng)ReS=?600時,熱毛細(xì)力和溶質(zhì)毛細(xì)力正好相互抵消,流體處于靜止?fàn)顟B(tài),因此,速度總是為零.溶質(zhì)毛細(xì)力的大小與Soret效應(yīng)和液池內(nèi)初始濃度有關(guān),由濃度差?S=?DTSSo(1?No)(Th?TC)/D的定義可知,當(dāng)初始時刻液池內(nèi)質(zhì)量分?jǐn)?shù)增大時,Soret效應(yīng)引起液池內(nèi)水平方向上溶質(zhì)濃度梯度增加,溶質(zhì)毛細(xì)力增大,從而增強(qiáng)(熱毛細(xì)力與溶質(zhì)毛細(xì)力同向)或減弱(兩種力反向)流體流動.

圖3給出了在溫度不均勻引起的浮力恒定的情況下,不同浮力比φ對中心截面徑向速度分布的影響.圖3中φ=0為忽略濃度不均勻引起的浮力,僅考慮溫度不均勻引起的浮力時中心截面上的徑向速度分布;φ=?1和φ=1分別表示兩種浮力方向相反和相同的情況.對比圖2中ReS=600(Gr=0)與圖3中的徑向速度分布,可以發(fā)現(xiàn):由于耦合的熱-溶質(zhì)毛細(xì)力對流體流動起主導(dǎo)作用,浮力對流動強(qiáng)度的影響較小,在計(jì)算工況下,由于溫度不均勻引起的浮力總是增強(qiáng)流體流動,因此,兩種浮力方向相同時,流動增強(qiáng),方向相反時,流動減弱.

圖3 耦合的浮力對無量綱徑向速度分布的影響(ε=1/50,Γ=1/5,Pr=5,Sc=500,Re R=1,Re T=600,Re S=300,Gr=10)

圖4 施密特?cái)?shù)對無量綱徑向速度分布的影響(ε=1/50,Γ=1/5,Pr=5,Re R=1,Re T=600,Re S=300,Gr=10,φ=1)

圖4 給出了普朗特?cái)?shù)Pr恒定時,不同施密特?cái)?shù)Sc下中心截面的徑向速度分布.毛細(xì)雷諾數(shù)恒定時,施密特?cái)?shù)越大,溶質(zhì)擴(kuò)散速率越小,液池內(nèi)水平方向上Soret效應(yīng)引起的濃度梯度越小,因此,流動強(qiáng)度隨施密特?cái)?shù)的增大而減弱.

液池幾何尺寸對流動的影響如圖5所示,顯然,相同的毛細(xì)雷諾數(shù)下,液池寬度越大,徑寬比Γ=ri/l和深寬比ε=h/l越小,液池內(nèi)水平方向上溫度梯度和濃度梯度越小,因此,流動減弱;相反,液池寬度越小,流動增強(qiáng).

圖5 幾何尺寸對無量綱徑向速度分布的影響 (a)徑寬比的影響(ε=1/50);(b)深寬比的影響(Γ=1/5);(Pr=5,S c=500,Re R=1,Re T=600,Re S=300,Gr=10,φ=1)

由以上分析可知:溫差引起的表面張力梯度驅(qū)動的熱毛細(xì)對流占主導(dǎo)地位;對于大多數(shù)雙組分溶液而言,Soret效應(yīng)相對較小,因此,Soret效應(yīng)引起的溶質(zhì)毛細(xì)對流相比熱毛細(xì)對流較弱;浮力對流相比毛細(xì)對流更弱;旋轉(zhuǎn)對流動的影響很小,可忽略不計(jì).

5 結(jié)論

采用匹配漸近展開法求得了水平溫度梯度作用下旋轉(zhuǎn)環(huán)形淺液池內(nèi)耦合熱-溶質(zhì)毛細(xì)對流中心區(qū)域的近似解析解.結(jié)果表明:耦合的熱毛細(xì)力和溶質(zhì)毛細(xì)力對流動過程起主導(dǎo)作用,低轉(zhuǎn)速和浮力對流動的影響較小,而溶質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)和幾何尺寸對流體流動有較明顯的影響;當(dāng)耦合的浮力和毛細(xì)力作用方向相同時,流動增強(qiáng),相反時流動減弱.

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