變化背景時(shí)空中哈密頓－雅克比方法對粒子隧穿的研究

陳德友

(西華師范大學(xué) 理論物理研究所，四川 南充637009)

Parikh－Wilczek 半經(jīng)典隧穿模型是一種有效研究黑洞霍金輻射的方法［1］．在該模型中，無質(zhì)量標(biāo)量粒子的隧穿行為得到真實(shí)描述．粒子的隧穿勢壘由出射粒子本身提供，粒子出射前后為隧穿勢壘的轉(zhuǎn)折點(diǎn)．采用WKB 近似，得到粒子作用量與隧穿率的聯(lián)系．當(dāng)變化的背景時(shí)空被考慮到，輻射粒子的隧穿率與黑洞Bekenstein－Hawking 熵的變化有關(guān)．將該方法推廣到有質(zhì)量粒子的情況，Zhang J Y 等人對一般時(shí)空中荷電粒子的隧穿輻射進(jìn)行了研究［2－3］．另一方面，粒子的作用量可以通過哈密頓－雅克比方法得到［4］．運(yùn)用該方法，黑洞時(shí)空中標(biāo)量粒子的隧穿輻射被深入研究．在該方法中，變化的背景時(shí)空未被考慮，因此，得到霍金溫度是標(biāo)準(zhǔn)的溫度［5－6］．

在本文中，將考慮變化的背景時(shí)空，采用哈密頓－雅克比方法對Demianski－Newman(DN)黑洞時(shí)空中標(biāo)量粒子的隧穿行為進(jìn)行研究．未考慮變化的背景時(shí)空時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)的霍金溫度通過粒子隧穿視界得到．當(dāng)考慮到變化的背景時(shí)空，得到輻射粒子的隧穿率與黑洞Bekenstein－Hawking 熵的變化有關(guān)系．該結(jié)果與Parikh 等人的結(jié)果一致．

1 變化背景時(shí)空中粒子的隧穿輻射

DN 黑洞描述穩(wěn)態(tài)旋轉(zhuǎn)的黑洞時(shí)空，它的線元給出如下［7］:

其中，

a、M分別是單位質(zhì)量上的角動(dòng)量和黑洞總質(zhì)量． 該黑洞存在內(nèi)、外兩個(gè)視界，只關(guān)心外視界:rh=M+黑洞熵為由于黑洞旋轉(zhuǎn)，視界附近能層將被拖曳，對研究粒子的隧穿行為不方便，因此，對線元(1)進(jìn)行拖曳坐標(biāo)變換

得到:

它表示四維時(shí)空中的三維超曲面．將在視界附近考慮粒子的隧穿行為，因此，將線元(4)在視界附近展開得到:

將方程(5)的逆變度規(guī)代入哈密頓－雅克比方程得到:

很難直接上述方程求解作用量，為此，對作用量進(jìn)行變量分離:

Ω=dφ/dt表示角速度，j是粒子的角動(dòng)量，ω 表示粒子的能量(8)．并將作用量代入方程(7)得到:

直接積分不能得到正確的結(jié)果．因此引入固有空間距離:

這里需要注意:粒子是沿橢球軌道隧穿出視界，因此，在θ 方向上不考慮粒子的運(yùn)動(dòng)，這意味著dθ=0 和:

于是，方程(9)表示徑向作用量，解得為:

在方程(12)中，存在σ=0 的奇異性，它對應(yīng)于視界的位置．將徑向作用量代入方程(8)，得到出射粒子作用量的虛部為:

利用WKB 近似，粒子的隧穿率得到為:

然而，Parikh－Wilczek 的半經(jīng)典隧穿模型表明:當(dāng)考慮到變化的背景時(shí)空，粒子的隧穿率應(yīng)該與粒子出射前后黑洞的Bekenstein－Hawking 熵的變化有關(guān)．上面得到的結(jié)果并沒有顯示出該特性．因此，將考慮變化的背景時(shí)空，對粒子的隧穿行為重新進(jìn)行研究．

考慮到變化的時(shí)空，固定時(shí)空的總能量和總角動(dòng)量．當(dāng)一個(gè)粒子以能量為ω，角動(dòng)量為j隧穿出黑洞時(shí)，作用量中的質(zhì)量M和角動(dòng)量J應(yīng)該分別替換為M－ω 和J－j．考慮到自引力相互作用，作用量虛部應(yīng)該寫為:

運(yùn)用WKB 近似和方程(14)，可以得到:

該結(jié)果與Parikh－Wilczek 隧穿模型得到的結(jié)果一致．因此，通過哈密頓－雅克比方法同樣可以得到粒子的隧穿率與Bekenstein－Hawking 熵的變化有關(guān)的結(jié)果．

2 結(jié)語

在本文中，通過哈密頓－雅克比方法對DN 黑洞時(shí)空中標(biāo)量粒子的隧穿行為進(jìn)行了研究．在討論中，DN黑洞的標(biāo)準(zhǔn)霍金溫度通過標(biāo)量粒子隧穿視界得到．在Parikh 和Wilczek 的工作中，考慮到黑洞變化的背景時(shí)空，粒子的隧穿率與黑洞的Bekenstein－Hawking 熵的變化有關(guān)．為了得到該結(jié)果，同樣考慮變換的背景時(shí)空，這意味著作用量需要修改．通過對修改后作用量的計(jì)算，得到了與Parikh 等人一致的結(jié)果．

［1］ Parikh M P． Wilczek F． Hawking radiation as tunneling［J］．Phys Rev Lett，2000，85(24):5042－5045．

［2］ Zhang J Y，Zhao Z． Hawking radiation of charged particles via tunneling from the Reissner－Nordstrom black hole［J］．JHEP，2005(10):055．

［3］ Jiang Q Q，Wu S Q，Cai X． Hawking radiation as tunneling from the Kerr and Kerr－Newman black holes［J］．Phys Rev D，2006，73(6):64003．

［4］ Angheben M，Nadalini M，Vanzo L，Zerbini S． Hawking radiation as tunneling for extremal and rotating black holes［J］．JHEP，2005(5):14．

［5］ Kerner R，Mann R B． Tunnelling，temperature and Taub－NUT black holes［J］．Phys Rev D，2006，73(8):104010．

［6］ Kerner R，Mann R B． Fermions tunnelling from black holes［J］．Class Quant Grav，2008，25(9):95014．

［7］ Anon A． Classical filed:general relativity and gauge theory［M］．New York:John Wiley Sons，1982:387．