基于兩種數(shù)學(xué)模型的坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換的比較

陶葉青,楊 娟,趙 強(qiáng)

1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)國(guó)土環(huán)境與災(zāi)害監(jiān)測(cè)國(guó)家測(cè)繪局重點(diǎn)試驗(yàn)室，江蘇徐州，221116；2.宿州學(xué)院煤礦勘探工程技術(shù)研究中心，安徽宿州，234000

基于兩種數(shù)學(xué)模型的坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換的比較

陶葉青1，2,楊 娟2,趙 強(qiáng)2

1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)國(guó)土環(huán)境與災(zāi)害監(jiān)測(cè)國(guó)家測(cè)繪局重點(diǎn)試驗(yàn)室，江蘇徐州，221116；2.宿州學(xué)院煤礦勘探工程技術(shù)研究中心，安徽宿州，234000

針對(duì)坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換是測(cè)量作業(yè)與生產(chǎn)中經(jīng)常遇到的問題，首先對(duì)四參數(shù)模型與七參數(shù)模型在坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用進(jìn)行分析和探討，然后在此基礎(chǔ)上通過(guò)對(duì)已知數(shù)據(jù)分別應(yīng)用四參數(shù)模型與七參數(shù)模型進(jìn)行坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換，并對(duì)坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換進(jìn)行比較。結(jié)果表明:在較大區(qū)域范圍內(nèi)，七參數(shù)模型的坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換精度要比四參數(shù)模型的轉(zhuǎn)換精度高；四參數(shù)模型更適用于參心坐標(biāo)系與地心坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換。

坐標(biāo)系統(tǒng)；四參數(shù)模型；七參數(shù)模型；轉(zhuǎn)換精度

隨著原始測(cè)繪資料的大量積累和測(cè)繪技術(shù)的迅速發(fā)展以及坐標(biāo)系統(tǒng)的更新?lián)Q代，在實(shí)際工作中，經(jīng)常需要對(duì)坐標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。國(guó)內(nèi)坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換主要包括兩個(gè)方面：第一，參心坐標(biāo)系統(tǒng)(北京54坐標(biāo)系統(tǒng)、西安80坐標(biāo)系統(tǒng))向新一代地心坐標(biāo)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換(CGCS200)；第二，在GNSS所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)參考框架下獲得的觀測(cè)成果向我國(guó)坐標(biāo)系統(tǒng)下成果的轉(zhuǎn)換。

坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換的基本原理是根據(jù)相同控制點(diǎn)在不同坐標(biāo)系統(tǒng)的坐標(biāo)對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)換參數(shù)進(jìn)行求解，應(yīng)用求解出參數(shù)的轉(zhuǎn)換模型解算某一坐標(biāo)系統(tǒng)下的控制點(diǎn)在另外一種坐標(biāo)系統(tǒng)下的未知坐標(biāo)。常用的轉(zhuǎn)換模型主要有基于平面的四參數(shù)模型[1]與基于空間的七參數(shù)模型[2]。當(dāng)控制點(diǎn)數(shù)目大于必要觀測(cè)數(shù)時(shí)，則應(yīng)用最小二乘準(zhǔn)則(Least Squares，LS)建立高斯-馬爾可夫模型(Gauss-Markov，G-M)求解模型參數(shù)。測(cè)繪工作者通常對(duì)建立G-M模型的準(zhǔn)則進(jìn)行討論，對(duì)應(yīng)用總體最小二乘準(zhǔn)則(Total Least Squares，TLS)和不等式約束準(zhǔn)則(Inequality Constraints，IC)建立G-M模型的方法進(jìn)行比較并得出有益的結(jié)論[3-4]。應(yīng)用七參數(shù)模型實(shí)現(xiàn)參心坐標(biāo)系向地心坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，需要控制點(diǎn)的空間三維直角坐標(biāo)。由于控制點(diǎn)在參心坐標(biāo)系中缺乏高精度的大地高信息，導(dǎo)致無(wú)法精確獲得控制點(diǎn)在參心坐標(biāo)系中的空間三維直角坐標(biāo)。為解決控制點(diǎn)在參心坐標(biāo)系中缺乏高精度的空間三維直角坐標(biāo)對(duì)轉(zhuǎn)換參數(shù)求解的影響，文獻(xiàn)[5]～[7]對(duì)此問題進(jìn)行了討論，并得出有益結(jié)論。應(yīng)用四參數(shù)模型實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換，需要控制點(diǎn)的平面坐標(biāo)。由于應(yīng)用GPS觀測(cè)得到的是控制點(diǎn)的空間三維直角坐標(biāo)(差)，將空間三維直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)為平面坐標(biāo)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一定的變形。為減小由空間三維直角轉(zhuǎn)換為平面坐標(biāo)時(shí)產(chǎn)生的變形，文獻(xiàn)[8]對(duì)選擇合適的投影面實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換進(jìn)行了討論。

本文對(duì)應(yīng)用四參數(shù)轉(zhuǎn)換模型與七參數(shù)轉(zhuǎn)換模型實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換分別進(jìn)行闡述，對(duì)不同模型在轉(zhuǎn)換區(qū)域與轉(zhuǎn)換精度上進(jìn)行比較，并通過(guò)算例對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的算法進(jìn)行實(shí)現(xiàn)。

1 轉(zhuǎn)換模型

1.1 四參數(shù)轉(zhuǎn)換模型

基于平面的坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)模型為：

(1)

式中(x1，y1)、(x2，y2)為不同坐標(biāo)系統(tǒng)下的平面坐標(biāo)，(ab)T為平移參數(shù)，α為旋轉(zhuǎn)參數(shù)，λ為尺度參數(shù)。轉(zhuǎn)換模型的參數(shù)通過(guò)在不同坐標(biāo)系中進(jìn)行控制測(cè)量，獲得公共點(diǎn)在不同坐標(biāo)系中的平面坐標(biāo)(x1，y1)、(x2，y2)；當(dāng)控制點(diǎn)數(shù)量多于兩個(gè)時(shí)(即存在多余觀測(cè)),按最小二乘法求解轉(zhuǎn)換參數(shù)。

應(yīng)用GNSS進(jìn)行控制測(cè)量，獲得的是控制點(diǎn)在WGS-84坐標(biāo)系統(tǒng)下的空間三維直角坐標(biāo)(差)，即控制點(diǎn)間的基線向量；應(yīng)用四參數(shù)模型進(jìn)行坐標(biāo)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換，須將控制點(diǎn)的空間三維直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為平面坐標(biāo)：先將空間三維直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為大地坐標(biāo)，再將大地坐標(biāo)按高斯-克呂格投影正算獲得平面坐標(biāo)。

1.2 七參數(shù)轉(zhuǎn)換模型

基于空間的坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)模型為：

(2)

式中(X1、Y1、Z1)T與(X2、Y2、Z2)T為控制點(diǎn)在不同坐標(biāo)系中空間三維直角坐標(biāo)，平移參數(shù)為(X0、Y0、Z0)T、旋轉(zhuǎn)參數(shù)為(εX,εY,εZ)、尺度參數(shù)為δμ。轉(zhuǎn)換模型的參數(shù)通過(guò)在不同坐標(biāo)系中進(jìn)行控制測(cè)量，獲得公共點(diǎn)在不同坐標(biāo)系中的空間三維直角坐標(biāo)(X1、Y1、Z1)T與(X2、Y2、Z2)T；當(dāng)控制點(diǎn)數(shù)量多于兩個(gè)時(shí)(即存在多余觀測(cè)),按最小二乘法求解轉(zhuǎn)換參數(shù)。

運(yùn)用七參數(shù)模型對(duì)我國(guó)參心坐標(biāo)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換時(shí)，由于控制點(diǎn)在參心坐標(biāo)系的坐標(biāo)是以二維坐標(biāo)(大地坐標(biāo)或平面坐標(biāo))與高程表示的，因此，須將二維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為空間三維直角坐標(biāo)：先將平面坐標(biāo)按高斯-克呂格投影反算獲得大地坐標(biāo)，再將大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為空間三維直角坐標(biāo)。此過(guò)程中,需要高精度的控制點(diǎn)大地高信息，但由于參心坐標(biāo)系都是用光學(xué)方法構(gòu)建的，控制點(diǎn)缺乏高精度的大地高[2]。因此，控制點(diǎn)在參心坐標(biāo)系中的空間三維直角坐標(biāo)精度不高。

2 算例與分析

表1 控制點(diǎn)在不同坐標(biāo)系中的平面坐標(biāo)

應(yīng)用已知數(shù)據(jù)(表1)中的1、2、3號(hào)點(diǎn)作為已知點(diǎn)計(jì)算轉(zhuǎn)換參數(shù)；應(yīng)用4、5、6號(hào)點(diǎn)作為檢核點(diǎn)。模型的內(nèi)符合精度以單位權(quán)方差(式(3))作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)[9]：

(3)

外符合精度以點(diǎn)位中誤差(式(4))做為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)[9]:

(4)

分別應(yīng)用四參數(shù)模型與七參數(shù)模型進(jìn)行坐標(biāo)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換，獲得模型的內(nèi)符合精度與外符合精度，如表2。

表2 兩種轉(zhuǎn)換模型的轉(zhuǎn)換精度

內(nèi)符合精度(式(3))是模型含有多大模型誤差的表征。應(yīng)用七參數(shù)模型實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換，無(wú)需顧及坐標(biāo)在投影過(guò)程中引起的投影變形的影響；而應(yīng)用四參數(shù)模型則無(wú)法顧及由空間三維直角坐標(biāo)投影至平面時(shí)引起的投影變形。表2中，七參數(shù)模型的內(nèi)符合精度高于四參數(shù)模型的內(nèi)符合精度，說(shuō)明七參數(shù)模型更適用于坐標(biāo)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換。

外符合精度(式(4))是經(jīng)模型轉(zhuǎn)換后的控制點(diǎn)點(diǎn)位精度的表征。外符合精度的高低，除受轉(zhuǎn)換模型自身適用性程度的影響外，控制點(diǎn)中含有的固有誤差也影響其轉(zhuǎn)換精度。表2中，七參數(shù)模型的外符合精度高于四參數(shù)模型的外符合精度，說(shuō)明七參數(shù)模型更加適用。不同控制點(diǎn)的外符合精度的大小不同，表明控制點(diǎn)含有的固有誤差大小不一。

四參數(shù)模型雖然轉(zhuǎn)換精度不及七參數(shù)模型，但是，它用于我國(guó)參心坐標(biāo)系與地心坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換更有理論依據(jù)。我國(guó)的參心坐標(biāo)系由于控制點(diǎn)缺乏精確的大地高信息，導(dǎo)致控制點(diǎn)的空間三維直角坐標(biāo)無(wú)法精確獲得，因此，應(yīng)用七參數(shù)模型轉(zhuǎn)換缺乏數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

3 結(jié) 論

本文在對(duì)兩種常用坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換模型的轉(zhuǎn)換原理進(jìn)行討論的基礎(chǔ)上，通過(guò)已知數(shù)據(jù)對(duì)其轉(zhuǎn)換精度進(jìn)行分析。結(jié)果表明：(1)七參數(shù)轉(zhuǎn)換模型的轉(zhuǎn)換精度高于四參數(shù)轉(zhuǎn)換模型；(2)七參數(shù)模型無(wú)需顧及控制點(diǎn)由空間三維直角坐標(biāo)投影至平面時(shí)引起的變形誤差；(3)由于我國(guó)參心坐標(biāo)系的控制點(diǎn)大地高精度不高，四參數(shù)模型更加適用于參心坐標(biāo)系向地心坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。

[1]姚宜斌．平面坐標(biāo)系統(tǒng)相互轉(zhuǎn)換的一種簡(jiǎn)便算法[J]．測(cè)繪與信息工程，2001(1)：1-3

[2]施一民．現(xiàn)代大地控制測(cè)量[M]．北京：測(cè)繪出版社，2003：5-100

[3]劉立龍，姚朝龍.LS和TLS在平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用[J].測(cè)繪科學(xué),2012，37(5)：12-14

[4]陶葉青，楊娟．基于不等式約束的顧及長(zhǎng)度變形的坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換方法[J]．測(cè)繪通報(bào)，2013(2)：51-53

[5]王解先，邱楊媛．高程誤差對(duì)七參數(shù)轉(zhuǎn)換的影響[J]．大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2007，27(3)：25-27

[6]王解先，王軍，陸彩萍．WGS-84與北京54坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換問題[J]．大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2003，23(3)：70-73

[7]謝鳴宇，姚宜斌．三維空間與二維空間七參數(shù)轉(zhuǎn)換參數(shù)求解新方法[J]．大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2008，28(2)：104-109

[8]陶葉青，黃淑玲，楊娟，等．一種適合單基站CORS平面坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換的方法[J]．測(cè)繪科學(xué)，20012，37(3)：116-117

[9]武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院測(cè)量平差學(xué)科組．誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)[M]．武漢：武漢大學(xué)出版社，2003：102-185

(責(zé)任編輯：汪材印)

ComparisonofCoordinatesTransformationBasedonTwoMathematicalModels

TAO Ye-qing,YANG Juan, ZHAO Qiang

1.China University of Mining and Technology,Key Laboratory for Land Environment and Disaster Monitoring of SBSM，Jiangshu Xuzhou，221116;2.Engineering Research Center of Coal Mining Exploration,SuZhou University,Anhui Suzhou，230000，China

coordinates transformation is the main problem in the survey work. Four parameters model and seven parameters model are in use frequently of the many transformation models. On the basis of discussion the methods of four parameters model and seven parameters model for coordinate conversion, applies the known data to compare the accuracy of two conversion models. The result appears that seven parameters model is more accurate than four parameters model, and four parameters model is more suitable for conversion between reference-ellipsoid-centric coordinate and geocentric coordinates.

Coordinates system;Four parameters model;Seven parameters model;Transformation Accuracy

10.3969/j.issn.1673-2006.2013.09.021

P228

A

1673-2006(2013)09-0078-03

2013-04-09

安徽省煤礦勘探工程技術(shù)研究中心開題課題資助“礦區(qū)坐標(biāo)系統(tǒng)一致性改造的區(qū)域性橢球?qū)崿F(xiàn)方法”(2013YKF03)，宿州學(xué)院碩士科研啟動(dòng)基金資助“高層建筑物變形監(jiān)測(cè)與預(yù)計(jì)分析”(2013yss01)。

陶葉青(1984-)，江蘇淮安人，碩士，助教，主要研究方向：測(cè)量數(shù)據(jù)處理。