基于非線(xiàn)性規(guī)劃模型的分布式聲定位算法研究

葉 永，陳建峰，張 竹，冷 欣

(西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院，陜西西安710072)

0 引言

隨著無(wú)線(xiàn)傳感器網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的興起，聲源定位技術(shù)［1，2］與無(wú)線(xiàn)傳感器網(wǎng)絡(luò)技術(shù)［3］相結(jié)合，產(chǎn)生了聲源分布式定位系統(tǒng)。目前，測(cè)向交叉定位法在聲源分布式定位系統(tǒng)中有廣泛的應(yīng)用，如低空聲目標(biāo)定位［4］、水下監(jiān)視［5］、機(jī)器人聽(tīng)覺(jué)系統(tǒng)以及智能雷場(chǎng)［6］等。

測(cè)向交叉定位法需要每個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)獲得目標(biāo)的方位信息［7］和傳感器陣列節(jié)點(diǎn)布署位置信息，經(jīng)過(guò)三角計(jì)算，就可以得出目標(biāo)的位置。該定位方法計(jì)算量小，實(shí)時(shí)性強(qiáng)，易于工程實(shí)現(xiàn)。當(dāng)采用測(cè)向交叉定位法進(jìn)行節(jié)點(diǎn)信息融合時(shí)，為使估計(jì)誤差盡可能小，人們提出了最大似然估計(jì)法［8］，但其計(jì)算復(fù)雜，運(yùn)算量大，在實(shí)際中難以得到應(yīng)用。而最小二乘估計(jì)算法［9］則通過(guò)數(shù)學(xué)上的近似，減少了非線(xiàn)性運(yùn)算量，當(dāng)區(qū)域內(nèi)可用節(jié)點(diǎn)數(shù)目較多時(shí)，也能有效的保證定位精度，因此，應(yīng)用比較廣泛。

當(dāng)使用最小二乘估計(jì)算法時(shí)，會(huì)出現(xiàn)距離聲源越遠(yuǎn)的節(jié)點(diǎn)對(duì)定位精度影響越大的現(xiàn)象，這與實(shí)際應(yīng)用相矛盾。如果優(yōu)先選取距目標(biāo)聲源較近的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行運(yùn)算以提高定位精度，又勢(shì)必會(huì)造成未參與運(yùn)算的節(jié)點(diǎn)定向信息的浪費(fèi)。為了解決這些矛盾，本文嘗試?yán)梅蔷€(xiàn)性規(guī)劃理論建立測(cè)向交叉定位法的非線(xiàn)性規(guī)劃模型，通過(guò)與最小二乘估計(jì)算法比較，分析其定位精度，并給出實(shí)際條件下的算法優(yōu)選建議。

1 數(shù)學(xué)模型與求解方法

1.1 測(cè)向交叉定位法

分布式麥克風(fēng)陣列的測(cè)向交叉定位模型如圖1所示，探測(cè)區(qū)域內(nèi)有若干個(gè)節(jié)點(diǎn) N1，N2，…Nn。節(jié)點(diǎn) Nk，k∈(1，n)獲得的目標(biāo)方向角為α^k，理想情況下，各個(gè)節(jié)點(diǎn)同一時(shí)刻對(duì)同一聲源目標(biāo)的估計(jì)結(jié)果連線(xiàn)的交點(diǎn)即為目標(biāo)的位置。

實(shí)際應(yīng)用時(shí)，由于測(cè)量誤差、系統(tǒng)誤差的影響，各節(jié)點(diǎn)估計(jì)出的方向角連線(xiàn)不會(huì)交匯于一點(diǎn)，可能是一塊區(qū)域，這就需要選取適當(dāng)?shù)乃惴▽?duì)聲源目標(biāo)位置進(jìn)行融合估計(jì)。

圖1 測(cè)向交叉定位法基本模型Fig 1 Basic model of direction finding cross localization

1.2 最小二乘模型

最小二乘估計(jì)是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，它通過(guò)使誤差的平方和最小來(lái)尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。在解決分布式聲定位問(wèn)題時(shí)，出現(xiàn)了多種最小二乘模型［10～13］，現(xiàn)在介紹一種應(yīng)用較為廣泛的模型——改進(jìn)的偽線(xiàn)性最小二乘算法模型［14］。

假設(shè)目標(biāo)的估計(jì)位置為(^x，^y)，探測(cè)區(qū)域內(nèi)共有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，Nk(xk，yk)，k∈［1，n］表示第k個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)，^αk，k∈［1，n］表示第 k個(gè)節(jié)點(diǎn)的定向角度，dk，k∈［1，n］表示聲源目標(biāo)到第k個(gè)節(jié)點(diǎn)的距離，則可以得到如下方程

由式(1)可得

令

其中，C為n×1的矩陣，H為n×2的矩陣，帶入式(2)可得目標(biāo)的估計(jì)位置坐標(biāo)

1.3 非線(xiàn)性規(guī)劃模型

非線(xiàn)性規(guī)劃是具有非線(xiàn)性約束條件或目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)劃，它主要研究一個(gè)n元實(shí)函數(shù)在一組等式或不等式的約束條件下的極值問(wèn)題，且目標(biāo)函數(shù)和約束條件至少有一個(gè)是未知量的非線(xiàn)性函數(shù)。

由1.1節(jié)的數(shù)學(xué)模型出發(fā)，假設(shè)目標(biāo)的估計(jì)位置為(^x，^y)，探測(cè)區(qū)域內(nèi)共有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，Δ^α為節(jié)點(diǎn)的測(cè)量偏差，^αk，k∈［1，n］表示第 k個(gè)節(jié)點(diǎn)的定向結(jié)果。對(duì)于任意節(jié)點(diǎn)Nk(xk，yk)，k∈［1，n］來(lái)說(shuō)，構(gòu)建模型如下

兩邊同時(shí)取正切，令δ=tanΔ^α，可得

化簡(jiǎn)式(6)可以得到

或

將不等式左邊項(xiàng)分解后可以發(fā)現(xiàn)，左邊是含有δ，x，y，δx，δy的三元二次代數(shù)式，屬于非線(xiàn)性規(guī)劃范疇，可以用非線(xiàn)性規(guī)劃法解決。因此，分布式聲源定位可以看成由δ，x，y三變量決定，由2k個(gè)不等式約束的非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題。即可以得到如下非線(xiàn)性規(guī)劃模型

或

其中，式(9)為目標(biāo)函數(shù)，式(10)或式(11)為線(xiàn)性約束條件，將目標(biāo)函數(shù)與線(xiàn)性約束條件相結(jié)合，運(yùn)用一定的優(yōu)化方法，就可以確定目標(biāo)聲源的位置。

1.4 非線(xiàn)性規(guī)劃模型求解方法

以上建立的非線(xiàn)性規(guī)劃模型問(wèn)題可以利用數(shù)學(xué)軟件Matlab求解。在運(yùn)用Matlab軟件對(duì)以上模型的定位誤差進(jìn)行求解時(shí)，使用到了Fmincon函數(shù)。該函數(shù)提供了大型優(yōu)化算法和中型優(yōu)化算法。默認(rèn)時(shí)，如果Fun函數(shù)提供了梯度，并且只有上下界存在或者只有等式約束的時(shí)候，F(xiàn)mincon函數(shù)將選擇大型算法。當(dāng)既有等式約束又有梯度約束時(shí)，使用中型算法。Fmincon函數(shù)的中型算法使用的是序列二次規(guī)劃(SQP)法，其在每一步迭代都是求解一個(gè)二次規(guī)劃問(wèn)題，并更新拉格朗日Hessian矩陣，直到趨近于最優(yōu)值。

2 算法仿真分析

2.1 遠(yuǎn)節(jié)點(diǎn)對(duì)定位精度影響

由于最小二乘估計(jì)會(huì)造成離聲源目標(biāo)距離越遠(yuǎn)的節(jié)點(diǎn)對(duì)定位結(jié)果的影響反而越大，而非線(xiàn)性規(guī)劃法中假設(shè)各節(jié)點(diǎn)的定位偏差Δ^α是統(tǒng)一的，并根據(jù)節(jié)點(diǎn)距聲源目標(biāo)的距離而做出相應(yīng)的調(diào)整，當(dāng)δ一定時(shí)，距離目標(biāo)聲源遠(yuǎn)的節(jié)點(diǎn)對(duì)估計(jì)坐標(biāo)的變化沒(méi)有近節(jié)點(diǎn)敏感，即遠(yuǎn)節(jié)點(diǎn)對(duì)定位精度的影響比近節(jié)點(diǎn)小，消除了最小二乘估計(jì)算法的矛盾現(xiàn)象。為驗(yàn)證此理論進(jìn)行以下仿真。

如圖2所示，4個(gè)節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)分別為 N1(350，100 m)，N2(550，100 m)，N3(350，300m)和 N4(550，300m)，Q為4個(gè)節(jié)點(diǎn)所包圍的誤差較小的監(jiān)測(cè)區(qū)域?，F(xiàn)將節(jié)點(diǎn)N4以為單位往東北方向平移，觀察區(qū)域Q內(nèi)系統(tǒng)定位誤差的平均值。仿真結(jié)果如表1所示。其中，ε為N1，N2，N33個(gè)固定不動(dòng)的節(jié)點(diǎn)通過(guò)最小二乘算法求得的系統(tǒng)定位誤差平均值，ε1為所有4個(gè)點(diǎn)通過(guò)最小二乘算法求得的系統(tǒng)定位誤差平均值，ε2為4個(gè)點(diǎn)通過(guò)非線(xiàn)性規(guī)劃法求得的系統(tǒng)定位誤差平均值。

圖2 四節(jié)點(diǎn)布局示意圖Fig 2 Layout diagram of four nodes

表1 遠(yuǎn)節(jié)點(diǎn)對(duì)定位精度的影響Tab 1 Effect of remote nodes on positioning precision

由表1的數(shù)據(jù)可以看出:隨著節(jié)點(diǎn)N4的遠(yuǎn)離，在4節(jié)點(diǎn)的情況通過(guò)最小二乘算法得到的系統(tǒng)定位誤差平均值顯著增加，當(dāng)N4處于(750，500m)時(shí)定位誤差和3節(jié)點(diǎn)的情況相近，再向外平移之后，則定位效果反而不如3節(jié)點(diǎn)的情況。而非線(xiàn)性規(guī)劃模型下，雖略有增加，但增幅很小。距離遠(yuǎn)的節(jié)點(diǎn)對(duì)定位結(jié)果的影響比使用最小二乘算法時(shí)要小得多。

2.2 節(jié)點(diǎn)位置隨機(jī)時(shí)算法穩(wěn)健性分析

在2.1節(jié)中，假設(shè)分布式麥克風(fēng)陣列4個(gè)節(jié)點(diǎn)布放形式已知。但實(shí)際應(yīng)用中，往往節(jié)點(diǎn)的位置是隨機(jī)的，而且參與定位的有效節(jié)點(diǎn)的數(shù)目也會(huì)不確定，這里將重點(diǎn)分析節(jié)點(diǎn)位置隨機(jī)的情況下節(jié)點(diǎn)數(shù)目對(duì)算法穩(wěn)健性的影響。

如圖3所示，在200 m×200 m的監(jiān)測(cè)區(qū)域內(nèi)以正東為x軸正方向，正北為y軸正方向建立直角坐標(biāo)系，假設(shè)單個(gè)聲源Q位于該監(jiān)測(cè)區(qū)域內(nèi)，且真實(shí)坐標(biāo)為(100，100 m)。各定向節(jié)點(diǎn)位置隨機(jī)，即節(jié)點(diǎn)的x，y坐標(biāo)值為0～200 m之間的隨機(jī)數(shù)，且符合均勻分布。每個(gè)節(jié)點(diǎn)除了固有的定向離散誤差外，還受到背景白噪聲的影響，假設(shè)背景白噪聲對(duì)第k個(gè)節(jié)點(diǎn)的定向結(jié)果施加的影響n(yōu)k(弧度)，且nk～N(0，σ2)，現(xiàn)利用最小二乘估計(jì)算法和非線(xiàn)性規(guī)劃法對(duì)聲源Q的位置進(jìn)行估計(jì)，以測(cè)量1000次定位誤差的平均值為基準(zhǔn)進(jìn)行比較，結(jié)果如圖4～圖6所示。

圖4 3個(gè)節(jié)點(diǎn)隨機(jī)布放時(shí)定位誤差與噪聲方差的關(guān)系Fig 4 Relationship between positioning error and noise variance when three nodes are distributed randomly

圖5 10個(gè)節(jié)點(diǎn)隨機(jī)布放時(shí)定位誤差與噪聲方差的關(guān)系Fig 5 Relationship between positioning error and noise variance when ten nodes are distributed randomly

圖6 20個(gè)節(jié)點(diǎn)隨機(jī)布放時(shí)定位誤差與噪聲方差的關(guān)系Fig 6 Relationship between positioning error and noise variance when twenty nodes are distributed randomly

圖4為3個(gè)節(jié)點(diǎn)隨機(jī)布放在監(jiān)測(cè)區(qū)域的情況。由圖可知，當(dāng)背景白噪聲較小時(shí)，2種算法的定位精度相似。而隨著背景噪聲影響不斷加強(qiáng)，二者的定位性能出現(xiàn)變化，但非線(xiàn)性規(guī)劃法始終占優(yōu)。說(shuō)明3個(gè)節(jié)點(diǎn)的情況下，非線(xiàn)性規(guī)劃法在存在背景噪聲時(shí)更加穩(wěn)健。

由圖4至圖6對(duì)比可知，當(dāng)監(jiān)測(cè)區(qū)域內(nèi)只有3個(gè)可用節(jié)點(diǎn)時(shí)，非線(xiàn)性規(guī)劃法的定位性能有明顯優(yōu)勢(shì);當(dāng)有10個(gè)可用節(jié)點(diǎn)時(shí)，2種算法的定位性能相近;當(dāng)可用節(jié)點(diǎn)數(shù)目增加為20個(gè)時(shí)，最小二乘法的定位精度反而更高。

3 結(jié)論

1)使用非線(xiàn)性規(guī)劃模型進(jìn)行定位時(shí)，距離遠(yuǎn)的節(jié)點(diǎn)對(duì)定位結(jié)果的影響比使用最小二乘算法時(shí)小得多;

2)存在背景噪聲，節(jié)點(diǎn)數(shù)目不同且位置隨機(jī)擺放的情況下，2種方法呈現(xiàn)不同的優(yōu)劣:在節(jié)點(diǎn)數(shù)目較少(如5個(gè)和5個(gè)以下)的情況下，非線(xiàn)性規(guī)劃法占有較大的優(yōu)勢(shì);最小二乘算法比非線(xiàn)性規(guī)劃法更適合在節(jié)點(diǎn)分布密集的情況下使用。因此，在實(shí)際應(yīng)用中要根據(jù)區(qū)域內(nèi)可用節(jié)點(diǎn)的數(shù)目情況選取不同的算法。

［1］高 為.無(wú)源定位技術(shù)研究［D］.上海:上海交通大學(xué)，2006.

［2］Fallon M F，Godsill SJ.Acoustic source localization and tracking of a time-varying number of speakers［J］.IEEE Transactions on Audio，Speech，and Language Processing，2012，20(4):1409-1415.

［3］周新宇，楊風(fēng)暴，吉琳娜，等.一種多傳感器信息融合的可能性關(guān)聯(lián)方法［J］.傳感器與微系統(tǒng)，2012，31(4):33-35.

［4］馬馳州，滕鵬曉，楊亦春，等.分布式實(shí)時(shí)被動(dòng)聲定位系統(tǒng)研究［J］.探測(cè)與控制學(xué)報(bào)，2007，29(1):18-22.

［5］王 彪，李 宇，黃海寧.水聲傳感器網(wǎng)絡(luò)目標(biāo)協(xié)同定位方法研究［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2009，21(19):6174-6177.

［6］孫 勇，趙俊渭，張銀兵，等.一種多基地聲納的聯(lián)合估計(jì)定位算法［J］.魚(yú)雷技術(shù)，2009，17(2):33-36.

［7］程 萍，陳建峰，馬 馳，等.十字陣短時(shí)寬帶聲源實(shí)時(shí)定向算法［J］.應(yīng)用聲學(xué)，2012，31(2):123-129.

［8］Chen JC，Hudson R E，Yao Kung.Maximum-likelihood source localization and unknown sensor location estimation for wideband signals in the near-field［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2002，50(8):1843-1854.

［9］Yan Yongsheng，Wang Haiyan，Wang Xuan.A novel least-square method of source localization based on acoustic energy measurements for UWSN［C］∥IEEE International Conference on Signal Processing，Communications and Computing(ICSPCC)，2011.

［10］李 淳，劉聰峰，廖桂生，等.約束最小二乘無(wú)源定位算法的求解與分析［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2012，34(2):221-226.

［11］劉若辰，王英民，張 群.基于線(xiàn)性最小二乘估計(jì)的雙基地聲納定位優(yōu)化算法［J］.魚(yú)雷技術(shù)，2011，19(6):428-432.

［12］張小鳳，應(yīng) 歡.基于加權(quán)最小二乘的多基地聲納定位算法研究［J］.計(jì)算機(jī)仿真，2011，28(8):393-396.

［13］張曉芳，李國(guó)徽，王 娟.無(wú)線(xiàn)傳感器網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)自適應(yīng)周期定位［J］.計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2011，47(29):117-120.

［14］徐建華，任 超.基于傳感器網(wǎng)絡(luò)的水下聲音源定位方法研究［J］.計(jì)算機(jī)測(cè)量與控制，2011，19(7):1681-1683.