Zernike亞像素圖像矩邊緣檢測(cè)算子方向角模型研究*

姜 邁，梁 煒，張曉玲，李世明

(中國科學(xué)院沈陽自動(dòng)化研究所工業(yè)控制網(wǎng)絡(luò)與系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，遼寧沈陽110016)

0 引言

傳統(tǒng)的邊緣檢測(cè)方法(例如:Sobel算子、LOG算子、Canny算子等)對(duì)圖像邊緣的定位只能達(dá)到像素級(jí)，由于測(cè)量系統(tǒng)對(duì)精度的要求越來越高，因此，有必要對(duì)亞像素邊緣檢測(cè)與定位技術(shù)進(jìn)行研究［1］。Hueckel首先提出了亞像素邊緣檢測(cè)的概念，亞像素邊緣的定位可以突破物理分辨率的限制，同時(shí)也降低了工業(yè)應(yīng)用中要求精度所需要的計(jì)算代價(jià)。按照數(shù)學(xué)模型分類，現(xiàn)有的亞像素級(jí)精度邊緣檢測(cè)技術(shù)可以分為三大類，即擬合法、插值法和矩方法，其中，矩方法是亞像素邊緣檢測(cè)算子中應(yīng)用最廣泛的方法，而且由于圖像矩是基于積分運(yùn)算的方法，所以，同其他基于微分運(yùn)算的邊緣檢測(cè)算子相比矩邊緣檢測(cè)算法具有更好的抗噪能力，矩方法包括空間矩方法和 Zernike矩方法［2，3］。本文提出一種基于4階方向角模型計(jì)算像素點(diǎn)方向角參數(shù)的新方法，通過與常規(guī)Zernike矩算子的定位精度比較討論，驗(yàn)證了該方法的可行性。

1 Zenike亞像素圖像矩邊緣檢測(cè)原理

圖像的n階m次Zernike矩定義為

其中，n為正整數(shù)或0;m為正負(fù)整數(shù)，且滿足n-|m|為偶數(shù)和|m|≤n的條件限制;r為單位采樣圓的原點(diǎn)到點(diǎn)(x，y)的矢量長度，-1＜x，y＜1;θ為矢量 r與x軸的夾角;Vnm(r，θ)為正交復(fù)數(shù)多項(xiàng)式，Vnm(r，θ)=Rnm(r)ejmθ;Rnm(r)為點(diǎn)(x，y)徑向多項(xiàng)式。

如果圖像f(x，y)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角，設(shè)旋轉(zhuǎn)前后圖像的Zernike矩分別為Znm和Z'nm，則在同一坐標(biāo)系中，原始圖像與旋轉(zhuǎn)后的圖像間的關(guān)系為

在極坐標(biāo)下，旋轉(zhuǎn)后的Zernike矩為

變換變量 θ'=θ-α，于是有

從式(4)可以看出圖像旋轉(zhuǎn)前后Zernike矩的模不變，只是相角改變，這個(gè)性質(zhì)被稱為旋轉(zhuǎn)不變性。利用Zernike矩的旋轉(zhuǎn)不變性把圖像進(jìn)行旋轉(zhuǎn)后，通過建立多個(gè)矩與4個(gè)參數(shù)的關(guān)系［4］，然后，求解矩從而解得上述參數(shù)，再將參數(shù)與設(shè)定閾值比較實(shí)現(xiàn)對(duì)邊緣的精確定位。

采用如圖1所示的邊緣模型，圖中b是單位圓內(nèi)的背景灰度，h是階躍高度，d是圓盤中心到邊緣的垂直距離，d∈［-1，1］;θ是邊緣與 x軸所成的角度，θ∈［-π/2，+π/2］［5，6］。

圖1 Zernike矩階躍邊緣模型Fig 1 Step edge model of Zernike moment

由旋轉(zhuǎn)不變性可知，原始圖像的Zernike矩Znm與旋轉(zhuǎn)后的Zernike矩Z'nm的關(guān)系如式(5)所示

其中

經(jīng)過計(jì)算可知正交復(fù)數(shù)多項(xiàng)式V00，V01，V20分別為

則由Zernike矩定義可知

式(7)中f'(x，y)是旋轉(zhuǎn)后的邊緣函數(shù)。將窗口旋轉(zhuǎn)θ角，使邊緣與 x軸垂直，則此時(shí) f'(x，y)在區(qū)間［-1，l］與［l，1］分別為 b 與 b+h，均為常數(shù)［7，8］。因此，函數(shù) f'(x，y)y關(guān)于y為奇函數(shù)，積分區(qū)域關(guān)于x軸對(duì)稱，可以得到

將式(6)與式(8)聯(lián)立可知

按照Zernike矩計(jì)算公式，旋轉(zhuǎn)θ角后，理想階躍邊緣的Zernike矩為

由式(10)，式(11)可以得到理想邊緣模型的邊緣參數(shù)［9］

對(duì)于每個(gè)像素點(diǎn)，將hz，dz作為邊緣點(diǎn)的判據(jù)。設(shè)定閾值 m1，m2，如果 hz＞ m1，dz＜ m2，則該點(diǎn)為邊緣點(diǎn)［10］。

2 基于4階方向角的Zenike矩亞像素邊緣檢測(cè)算子

前面所討論的Zernike矩邊緣檢測(cè)算子是基于2階方向角模型的。由于方向角的取值決定著后續(xù)距離判據(jù)與階躍判據(jù)的大小，本文提出一種計(jì)算像素點(diǎn)方向角參數(shù)的新方法，通過與2階方向角模型算子的檢測(cè)效果進(jìn)行比較，驗(yàn)證該方法的可行性。同樣采用如圖1所示的邊緣模型，將窗口旋轉(zhuǎn)θn角，使邊緣與x軸垂直。正交復(fù)數(shù)多項(xiàng)式為

由Zernike定義知

由Zernike旋轉(zhuǎn)特性知

由于 f'(x，y)在區(qū)間［-1，l］與［l，1］分別為 b與 b+h(恒定為常數(shù))。而函數(shù)f'(x，y)(3y3+3x2y-2y)關(guān)于y為奇函數(shù)，積分區(qū)域關(guān)于x軸對(duì)稱，可以得到

聯(lián)立式(15)～式(17)可知

Im Z'31=Im Z31·cos θn-Re Z31·sin θn=0，即

tanθn=Im Z31/Re Z31.

由此可以得到基于4階方向角的理想邊緣模型的邊緣參數(shù)

3 仿真實(shí)驗(yàn)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

由于圖像存儲(chǔ)形式為離散形式，Zernike圖像矩離散表達(dá)形式為

假定每個(gè)像素點(diǎn)上灰度值 f(x，y)是常數(shù)，這樣根據(jù)式(21)只需將(x，y)的鄰域的像素灰度與模板M(即正交復(fù)數(shù)多項(xiàng)式V*nm(r，θ))卷積即可得到點(diǎn)(x，y)的 Zernike 矩。模板階次N越大，計(jì)算越復(fù)雜且耗時(shí)越多，但同時(shí)對(duì)噪聲的抑制能力和邊緣的定位精度也越高［9］。由于邊緣參數(shù)的計(jì)算需要用到不同階次的Zernike矩模板，為了提高邊緣檢測(cè)速度可以提前將不同階次模板計(jì)算出來，M11實(shí)數(shù)模板、M11虛數(shù)模板、M20模板、M31實(shí)數(shù)模板及M31虛數(shù)模板相應(yīng)三維仿真曲線如圖2所示(N=9)。

為了對(duì)比檢測(cè)基于傳統(tǒng)2階和4階方向角的Zernike矩亞像素算子的檢測(cè)能力，采用Visio繪制一副具有代表性的理想二值圖片，構(gòu)造1個(gè)圓、1個(gè)等腰直角三角形及1個(gè)正方形，如圖3所示，坐標(biāo)軸原點(diǎn)設(shè)置在圖像左上角，分別對(duì)圓的頂點(diǎn)(上頂點(diǎn)、下頂點(diǎn))，等腰直角三角形的3個(gè)頂點(diǎn))及正方形4個(gè)頂點(diǎn)共計(jì)9個(gè)點(diǎn)的亞像素坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算。其中，由圖1可知亞像素坐標(biāo)計(jì)算公式為

圖2 9×9模板系數(shù)三維仿真圖Fig 2 3D simulation image of 9×9 mask coefficient

圖3 人造圖片F(xiàn)ig 3 Man-made picture

其中，x，y分別為頂點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，xi，yi為頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的亞像素坐標(biāo)，di，θi為(i=z，n)為頂點(diǎn)的邊緣參數(shù)，N 為模板中心周圍N×N個(gè)像素的階次。

Zernike矩算子性能比較結(jié)果如表1。

表1 Zernike矩算子性能比較分析Tab 1 Comparison and analysis on characteristics of Zernike moments operators

由表1可知，由于基于4階方向角的Zernike矩涉及到更高階次的模板計(jì)算，因此，運(yùn)行時(shí)間高于2階矩。2階方向角在X方向相對(duì)誤差均值低于4階方向角，在Y方向則高于4階方向角。同時(shí)2階方向角在X方向相對(duì)誤差方差高于4階方向角，在Y方向則低于4階方向角。通過對(duì)兩者相對(duì)誤差均值和方差分析上，很難比較出兩者的性能優(yōu)劣。采用凌云公司代理IMPERX公司的Bobcat ICL—B2520面陣相機(jī)，CCD分辨率為2456×2058，靶面尺寸為8.47 mm×7.10 mm，像元尺寸為3.45μm，相機(jī)焦距為f=20 mm，工作距離為2 m，檢測(cè)對(duì)象為基恩士公司生產(chǎn)的IL—1000激光傳感器放大器。圖4為不同邊緣算子的檢測(cè)結(jié)果。

圖4 不同算子邊緣檢測(cè)結(jié)果Fig 4 Edge detecting results of different operators

通過對(duì)比圖4(b)，(c)，(d)檢測(cè)結(jié)果可知，相對(duì)于傳統(tǒng)的邊緣檢測(cè)算子圖4(b)，Zernike矩圖4(c)，圖4(d)具有較好的抗噪聲能力，相對(duì)于基于2階方向角的邊緣定位結(jié)果，基于4階方向角的Zernike矩亞像素邊緣檢測(cè)算子具有更好的邊緣定位精度，同時(shí)，待測(cè)對(duì)象邊緣具有更好的連續(xù)性。

4 結(jié)論

針對(duì)理想邊緣檢測(cè)模型，基于Zernike矩旋轉(zhuǎn)不變性，本文深入分析了基于4階方向角Zernike矩邊緣參數(shù)的計(jì)算方法，推導(dǎo)了9×9尺寸模板0～4階Zernike矩的模板系數(shù)并將其存儲(chǔ)下來，通過將其與待計(jì)算像素點(diǎn)的直接卷積來提高定位算法的實(shí)時(shí)性。(曲，高速)以構(gòu)造理想的標(biāo)準(zhǔn)圖片為對(duì)象，通過與2階方向角模型算子的檢測(cè)效果進(jìn)行比較，驗(yàn)證了新算子的邊緣定位精度明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的基于2階方向角的Zernike圖像矩算子。

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