非等間距無偏GM（1，1）模型在建筑沉降預(yù)測中的應(yīng)用

曹 昶，樊重俊

（上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093）

隨著土地資源逐漸減少與人口增長之間矛盾日益突出，高層及超高層建筑越來越多，建筑沉降問題也越來越受到人們的重視。在建筑工程施工中，由于地質(zhì)條件不同和結(jié)構(gòu)荷載變化懸殊等原因，容易產(chǎn)生建筑工程的不均勻沉降。建筑沉降問題直接影響著工程質(zhì)量和建設(shè)周期，而且關(guān)系人們的財產(chǎn)安全和生命安全?？茖W(xué)、準(zhǔn)確、及時地預(yù)測建筑沉降，對建筑工程的施工和運營管理極為重要［1－2］。建筑沉降的影響因素繁多，有地質(zhì)條件、結(jié)構(gòu)荷載、施工環(huán)境、天氣情況等，其中許多因素是不確定的，因此建筑沉降的預(yù)測過程是一個灰色系統(tǒng)。目前，常用的沉降預(yù)測方法有回歸分析、確定函數(shù)法、時間序列法等，但是這些方法都要求有大量樣本［3］。在沉降或變形預(yù)測初期或者觀測頻次較低的情況下無法獲得很多數(shù)據(jù)，因此適合采用所需樣本數(shù)據(jù)少、計算簡單方便的GM（1，1）模型進行預(yù)測［4］。

GM（1，1）模型是以等間距數(shù)列為基礎(chǔ)的，但在實際的工程測量中建筑沉降觀測時間間距往往是非等間距的［5］。本文將非等間距數(shù)列經(jīng)過一定的處理，轉(zhuǎn)化為等間距數(shù)列。最后使用無偏GM（1，1）模型對處理后的數(shù)據(jù)進行建模預(yù)測。通過工程實例，表明此方法具有較高的預(yù)測精度。

1 非等間距數(shù)列的變換

設(shè)非等間距數(shù)列X（0）＝｛x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）｝，將其轉(zhuǎn)換為等間距數(shù)列的步驟如下：

1）計算各觀測周期距首次周期的時間間隔：

其中，Ti為各期的原始觀測時間。

2）求平均時間間隔［6］：

3）求各期的時距ti與平均時距Δt0的單位時間差系數(shù)：

4）求各期的總差值：

其中，x（0）（ti）為ti的原始觀測值。

5）計算等間距點的灰數(shù)值：

得到等間距數(shù)列：

2 基于非等間距的無偏GM（1，1）模型

設(shè) 原 始 數(shù) 列X（0）＝｛x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）｝，且x（0）（k）≥0（k＝1，2，…，n），傳統(tǒng)GM（1，1）建模步驟［7］：

1）對原始數(shù)列X（0）作一次累加生成：

2）對數(shù)列X（1）作緊鄰均值生成。令z（1）（k）＝0.5［x（1）（k）＋x（1）（k－1）］得

3）由一階累加生成序列X（1）建立GM（1，1）模型，對應(yīng)的白化微分方程為

4）在初始條件在x（1）（1）＝x（0）（1），上述方程的離散解為

參數(shù)列β＝（a，b）T由最小二乘法確定

其中

5）還 原 求 出X（0）的 模 擬 值。由得

若原始數(shù)列為嚴(yán)格的指數(shù)序列，即：

按照GM（1，1）建模過程得

最終預(yù)測值為

比較式（1）和式（3）可見兩式存在差異，傳統(tǒng)GM（1，1）模型存在固有偏差。由式（2）得

6）將其還原為非等間距中有關(guān)t的響應(yīng)函數(shù)：

無偏差GM（1，1）模型本身不存在固有偏差，消除了在原始數(shù)據(jù)序列增長過快導(dǎo)致失效的現(xiàn)象，拓廣GM（1，1）模型的使用范圍［8］。

3 實例應(yīng)用

某建筑工程為確保施工安全，在施工過程中進行了沉降監(jiān)測。表1為其中一個監(jiān)測點的部分觀測數(shù)據(jù)。

表1 某沉降點實測數(shù)據(jù)

1）計算各觀測周期距首次周期的時間間隔（以d為單位）：

2）求平均時間間隔：

3）求各期的間距ti與平均時距Δt0的單位時間差系數(shù)：

4）計算各期的總差值：

5）計算等間距點的灰數(shù)值：

6）對數(shù)列A（0）按照GM（1，1）模型建模得：

7）還原為非等間距數(shù)列有關(guān)t的響應(yīng)函數(shù)：

4 模型比較及檢驗

表2為傳統(tǒng)GM（1，1）模型和無偏灰色模型模擬精度的比較。

表2 模型精度比較

1）平均相對誤差為

所以預(yù)測精度為一級。

2）后驗差檢驗［9］為

3）小誤差概率［10］為

根據(jù)模型預(yù)測后續(xù)某些觀測時間的沉降量，并與實際測量值比較，兩種模型預(yù)測效果比較見表3。

表3 模型預(yù)測效果比較

5 結(jié)束語

從表2和表3中可以看出，基于非等間距的無偏灰色模型模擬精度更高，預(yù)測效果更好。本文將非等間距數(shù)列轉(zhuǎn)化為等間距數(shù)列，并運用無偏GM（1，1）模型進行預(yù)測。在具體的工程沉降預(yù)測中，將非等間距實測數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為等時距數(shù)列，并給出了無偏GM（1，1）模型的具體方法。結(jié)果表明，基于非等間距的無偏GM（1，1）模型具有計算量小、需要原始數(shù)據(jù)少、精度高等優(yōu)勢，完全能滿足建筑沉降預(yù)測的需要。在建筑物施工過程中應(yīng)用該建筑沉降模型進行預(yù)測，指導(dǎo)合理的施工工序，加強全過程監(jiān)控。

［1］單瑞，獨知行，劉焱雄.基于等時距數(shù)據(jù)序列的高層建筑沉降預(yù)測［J］.測繪科學(xué)，2010，35（3）：100－102.

［2］張健雄，蔣金豹，張建霞.高層建筑沉降監(jiān)測與灰色預(yù)測［J］.測繪科學(xué)，2007，32（4）：56－59.

［3］孫思忠，王利民.應(yīng)用灰色理論對高層建筑沉降變形進行預(yù)測的研究［J］.建筑科學(xué)，2007，23（11）：13－15.

［4］朱華吉，馬少娟.非等時空距GM（1，1）模型在建筑物沉降預(yù)測中的應(yīng)用［J］.測繪工程，2001，10（4）：39－41.

［5］黃聲享，李志成.工程建筑沉降預(yù)測的非等間距灰色建模［J］.地理空間信息，2004，2（1）：41－43.

［6］唐萬梅，向長合.基于二次插值的GM（1，1）模型預(yù)測方法的改進［J］.中國管理科學(xué)，2006，14（6）：109－112.

［7］吉培榮，黃巍松，胡翔勇.無偏灰色預(yù)測模型［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2000，22（6）：6－7.

［8］王錚，和瑩.灰色系統(tǒng)建模方法的理論困難及其克服［J］.系統(tǒng)工程理論與實踐，1990，10（5）：17－22.

［9］劉思峰，黨耀國，方志耕，等.灰色系統(tǒng)理論及應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，2012.

［10］孫澤信，龐逸群，黃騰.改進的灰色模型在建筑物沉降預(yù)測中的應(yīng)用［J］.測繪工程，2010，19（3）：59－62.