基于組合模型的高程擬合方法及精度分析

王明孝，張之孔

（68029部隊，甘肅 蘭州 730020）

GPS測量已經成為常規(guī)測量的一種主要方式，但是GPS測量的高程是WGS－84坐標系下的大地高H大，表示的是該點至參考橢球面的鉛垂距離。但是在實際工程應用中采用的是正常高程系下的正常高H正，即該點至似大地水準面的鉛垂距離。因此，為便于工程應用，將大地高轉換成正常高就成了現(xiàn)實工作的需要。地面點的大地高H大和H正之間的轉換關系為

式中：ζ表示似大地水準面至參考橢球面的高差，稱為高程異常。顯然要求取正常高就必須測定高程異常值ζ。目前，常用的用于高程轉換的方法有很多。而通過擬合獲取高程異常的方法已得到廣泛應用，但是任何單一的擬合模型都具有一定的缺點，本文采用加權二次曲面擬合和曲面函數(shù)擬合2種模型對控制點的高程異常分別進行擬合，再以LINGO軟件為工具，加入約束條件，同時賦予這2種擬合模型不同的權重，通過線性規(guī)劃求解各模型的權重，從而組成新的擬合模型，再對控制點高程進行重新擬合，得到更為科學準確的擬合結果。

1 加權二次曲面高程擬合

1.1 常規(guī)二次曲面擬合

二次曲面擬合的數(shù)學模型為

式中：x，y分別為點的高斯平面坐標，a0，…，a5為擬合系數(shù)。

由式（2）可知，二次曲面方程有6個待定系數(shù)，因此，至少需要6個高程異常已知點才能進行計算。二次曲面擬合模型是將高程異常近似看作一定區(qū)域內各點坐標的曲面函數(shù)，用已聯(lián)測水準的GPS點的平面坐標和高程異常來擬合這一函數(shù)［1］。

1.2 加權二次曲面擬合

如果加入未知點到已知點的距離倒數(shù)平方這個值作為評價各已知點對整個模型的貢獻度，即進行定權，求出函數(shù)的擬合系數(shù)，進而確定一定區(qū)域高程異常與點的平面坐標的函數(shù)關系，這就是加權二次曲面擬合。其基本思想是：以待求點為計算中心，取擬合半徑內的已聯(lián)測點到中心點的距離的平方倒數(shù)為該已聯(lián)測點的權，即離待求點越近權值越大，反之亦然。利用這個擬合函數(shù)擬合得到待測點的高程異常，從而求出該點的正常高［2］。因此，加權二次曲面擬合是對二次曲面擬合模型的進一步優(yōu)化，設待擬合點的坐標為（xp，yp），則已聯(lián)測點原坐標（xi，yi）簡化為相對坐標）的公式為

假設參與擬合的點數(shù)為n，可列出誤差方程

表示成矩陣形式為

式中：V＝［v1v2…vn］T為改正數(shù)向量，A＝［a0a1a2a3a4a5］T為擬合系數(shù)向量，ζ為高程異常值向量，系數(shù)矩陣

引入距離定權，聯(lián)測點（xp，yp）的權值為

則擬合半徑內的已聯(lián)測點的權陣為

由最小二乘原理VTPεV＝min，如果測區(qū)內已聯(lián)測點的個數(shù)大于6個，用最小二乘原理求得系數(shù)向量為

利用系數(shù)矩陣A和式（2）就可以求出待定點的高程異常ζ（Xp，Yp），再根據(jù)正常高和大地高之間的關系就可以求出正常高。加權二次曲面高程擬合模型的特點是，對于每一個待求點都能根據(jù)其各自權陣構造一個與之對應的二次曲面函數(shù)，實現(xiàn)變系數(shù)二次曲面擬合。

2 多面函數(shù)高程擬合

2.1 多面函數(shù)高程擬合原理

多面函數(shù)法從幾何觀點出發(fā)，解決根據(jù)數(shù)據(jù)點形成一個平差的數(shù)學曲面問題。此方法的基本思想是：任何數(shù)學表面和不規(guī)則的圓滑表面，總可以用一系列有規(guī)則的數(shù)學表面的總和，以任意精度逼近［3］。當參與擬合的點數(shù)為n時，其方程的形式為

式中：ρi為待定參數(shù)，F(xiàn)（x，y，xi，yi）為x，y的二次核函數(shù)，常用的二次核函數(shù)為

式中：δ2為任意常數(shù)，稱為光滑因子。k的取值有多種，比較典型的是當k＝0.5時為正雙曲面函數(shù)，k＝－0.5為倒雙曲面函數(shù)。由此可以看出核函數(shù)的選取不是唯一的。

若有n個已知點，則可以選取其中m個點（m≤n）作為核函數(shù)的中心點，記為（xi，yi），令

則所選的各已知點應該滿足

由此列出誤差方程

表示為向量

采用最小二乘平差得

由式（15）即可求得任意未知點的高程異常ζ，進而求得未知點的正常高。

2.2 多面函數(shù)高程擬合參數(shù)選取

由于多面函數(shù)法基于純數(shù)學的逼近理論，因此，擬合效果與核函數(shù)的選擇密切相關。為計算方便，本文將正雙曲面函數(shù)作為本次實驗的核函數(shù)，并且將光滑因子定義為0.8，得

3 組合模型的建立與求解

組合模型是將不同的GPS高程擬合模型進行組合，且盡可能地提高擬合精度和可靠性。本文所建立的組合模型是在加權二次曲面擬合法和多面函數(shù)擬合法的基礎上，利用最小二乘法原理，以擬合絕對誤差平方和最小為目標，賦予2種擬合模型不同的權重，并規(guī)劃求取權重系數(shù)而建立起新的擬合模型［4］。

設（i＝1，2，…，n；j＝1，2）為高程異常的擬合值，（i＝1，2，…，n；j＝1，2）為高程異常的真值，Pj為第j種方法的權，則有

從式（17）可以看出，建立加權組合模型的關鍵在求取每種單一模型在組合模型中所占的權重。根據(jù)式（18）可得到基于該組合模型的擬合殘差為

矩陣形式為

則有

至此，可以建立起求取最優(yōu)權重的規(guī)劃模型

通過LINGO軟件計算式（21），就可以得出本文所采用的2種幾何模型在擬合絕對誤差平方和最小的條件下的權重，從而建立起基于二次曲面函數(shù)和多面函數(shù)的優(yōu)化組合模型［5］。

4 算例分析

實驗區(qū)為酒泉某千萬千瓦級風電場，區(qū)域地形平坦，控制點分布如圖1所示，16個GPS控制點全部用幾何方法聯(lián)測了其正常高且精度滿足四等水準。本次實驗均勻地選取其中的10個點D33、D34、D35、D38、D48、D50、D51、D52、D54、D66用作擬合模型參數(shù)計算，在進行多面函數(shù)擬合時，將這10個點都作為核函數(shù)的中心點參與計算，擬合點成果如表1所示。其余6個點D36、D37、D47、D49、D53、D65作為檢核點以檢查模型擬合的精度，為了驗證各擬合方法的精度，分別按照加權二次曲面擬合方法、曲面函數(shù)擬合方法計算得到6個檢核點的高程異常，結果如表2所示。

圖1 控制點分布圖

表1 高程異常擬合點成果

表2 高程異常擬合結果統(tǒng)計

從表2可以看出，采用2種不同的方法，在不同的點位，擬合結果與真值的差值均不一致，總體上加權二次曲面法擬合方法要高于多面函數(shù)擬合的內符合精度，但是由于加權二次曲面擬合方法與已知點距離密切相關，當待擬合點在區(qū)域邊緣，精度會受到一定的影響，如果權值最大的已知點位本身存在較大的誤差，那么待擬合點的精度也會下降。而多面函數(shù)擬合法是從幾何觀點出發(fā)，是根據(jù)數(shù)據(jù)點形成一個平差的數(shù)學曲面，而核函數(shù)選取是一個比較困難的問題［6］，因此，擬合結果也會出現(xiàn)個別點較大的誤差，導致2種方法會交叉出現(xiàn)較好的擬合數(shù)值。

為了得到更優(yōu)的擬合結果，通過本文提到的組合模型的方法進行計算。根據(jù)表2和式（20），可以計算出

在LINGO軟件中按式（21）編制計算程序如下：

p1＋p2＝1；

min＝428＊p1＾2＋619＊p2＾2＋274＊p1＊p2；

p1＞＝0；

p2＞＝0；

end

計算得到權重系數(shù)P＝（0.623 544 6，0.376 455 4）?？梢钥闯?，加權二次曲面擬合模型占的權重較大，這也歸于加權二次曲面法擬合方法總體上要高于多面函數(shù)擬合的內符合精度。至此有了2個模型的權重參數(shù)，通過式（18）就可以構建出基于這2個模型的組合模型，進而可計算出基于該組合模型的高程異常擬合值，擬合結果及內符合精度見表3，在此基礎上繪制出較差折線如圖2所示。

表3 基于組合模型的高程異常擬合結果統(tǒng)計

從表2、表3及圖2的對比中可以看出，組合模型擬合的內符合精度較前2種方法都有所提高，雖然從對單個點擬合結果的比較來看，采用組合模型進行擬合可能會導致相對于單個模型有精度損失，但是其數(shù)值整體表現(xiàn)更加平穩(wěn)，不會出現(xiàn)單個模型下擬合出極值的現(xiàn)象，也就是說誤差的跳躍性有所減小，結果更加穩(wěn)定。

圖2 各方法擬合檢核點差值

5 結束語

目前，用于高程異常擬合的方法多種多樣，并且得到越來越廣泛的應用。但高程異常在空間上表現(xiàn)為復雜的不規(guī)則曲面，而任何單一的擬合模型都有其本身的缺點，因此，使用單個模型擬合出的高程異常值往往都會有缺點。本文將加權二次曲面擬合和多面函數(shù)擬合2種方法組合，以擬合絕對誤差平方和最小為目標，賦予各擬合模型不同的權重，利用LINGO軟件規(guī)劃求取權重系數(shù)，從而建立起新的擬合模型。擬合的精度和穩(wěn)定性有一定程度的提高，具有一定的實踐指導意義。而多面函數(shù)擬合法的核函數(shù)選取仍是一個難題，需要在具體實踐中不斷完善。

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